EU-8-51 – DERIVACE FUNKCE VII Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-51 – DERIVACE FUNKCE VII (derivace inverzní funkce, derivace cyklometrických funkcí) Anotace Zopakování pojmu inverzní funkce k elementárním funkcím, odvození vztahu mezi derivací funkce f v bodě x0 a derivací k ní inverzní funkce f-1 v bodě y0 = f(x0). Použití vztahu k odvození derivací cyklometrických funkcí. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák chápe pojem inverzní funkce a myšlenku obecného odvození derivace inverzní funkce pomocí znalosti derivace dané funkce. Žák chápe odvození derivace cyklometrických funkcí, odvozené vzorce dovede používat při řešení úloh. Intuitivně chápe pojem nevlastní derivace na základě animací. Klíčová slova Inverzní funkce a její derivace, derivace cyklometrických funkcí. Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 3. 1. 2013

PŘIPOMENUTÍ POJMU INVERZNÍ FUNKCE Osová souměrnost podle osy prvního a třetího kvadrantu (y = x) nabízí rozšíření elementárních funkcí o funkce tzv. inverzní. Pokud je funkce f prostá (rostoucí, klesající) v D(f), existuje k ní inverzní funkce f -1. Platí: D(f -1) = H(f), H(f -1) = D(f); [x; y]  f  [y; x]  f -1; y = f(x)  x = f -1(y). PŘÍKLAD 1: Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 2 x + 1.

PŘÍKLAD 2: Inverzní funkce k lineární lomené funkci.

PŘÍKLAD 3: Funkce y = arcsin x je inverzní funkce k funkci y = sin x.

PŘÍKLAD 4: Funkce y = arccos x je inverzní funkce k funkci y = cos x.

PŘÍKLAD 5: Funkce y = arctg x je inverzní funkce k funkci y = tg x.

PŘÍKLAD 6: Funkce y = arccotg x je inverzní funkce k funkci y = cotg x.

PŘÍKLAD 7: Derivace inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí rozšíříme o derivace cyklometrických funkcí (y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x), exponenciálních a logaritmických funkcí. Pro usnadnění odvození derivací těchto funkcí se pokusíme „objevit“ vztah mezi derivací funkce y = f(x) a funkce k ní inverzní. Podívejte se na následující obrázek. Víme, že f ' (x0) = tg a, (f -1) ' (y0) = tg (90°- a). Jaký je vztah mezi těmito derivacemi?

PŘÍKLAD 8: Derivace funkce y = arcsin x. OTÁZKY: 1. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arcsin x v bodě 1 zleva? 2. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arcsin x v bodě - 1 zprava?

PŘÍKLAD 9: Derivace funkce y = arccos x. OTÁZKY: 1. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arccos x v bodě 1 zleva? 2. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arccos x v bodě - 1 zprava?

PŘÍKLAD 10: Derivace funkce y = arctg x.

PŘÍKLAD 11: Derivace funkce y = arccotg x.

SHRNUTÍ

SHRNUTÍ

PŘÍKLAD 12 Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arcsin x v bodě T [ 0,5; ? ].

AUTOTEST 1. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arccos x v bodě T [ – 0,5; ? ]. 2. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arctg x v bodě T [ 1 ; ? ]. 3. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arccotg x v bodě T [ – 1 ; ? ]. 4. Derivujte funkce: f: y = arcsin x + arccos x f: y = arctg x + arccotg x Řešení úlohy 1:

Řešení úlohy 2:

Řešení úlohy 3:

Řešení úlohy 4a: Řešení úlohy 4b: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.