Teorie ICT

Úvod Tomáš Vaníček Stavební fakulta ČVUT, Thákurova 7, Praha Dejvice, B407 vanicek@fsv.cvut.cz Na ČZU kancelář 414, stará budova PEF

Obsah přednášek Množiny, operace s množinami, kardinalita, fuzzy množiny Relace a operace Logika, jazyk PROLOG Formální jazyky Konečné automaty, regulární jazyky Jiné formální modely výpočtu Výpočetní složitost algoritmů Grafy Analýza konkrétních algoritmů: grofové algoritmy, třídění, hledání extrémů, heuristiky

Literatura Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Teoretické základy informatiky, Kernberg Publishing, 2007 Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Mathematical Foundation of Computer Science, Kernberg Publishing, 2008

Teorie množin Množina je dobře definovaný soubor prvků Otázka, zda prvek náleží množině, či ne, musí být jednoznačně zodpověditelná. Prvek x náležímnožině A, x  A. Objekt může být prvkem množiny, nebo ne. Objekt nemůže být prvkem množiny vícekrát.

Třídy a množiny Množiny mohou být prvky jiných množin Russelův paradox Mathematika potřebuje pracovat s přesně definovanými pojmy. Pro pevné základy matematiky je nutná axiomatická teorie množin.

Rovnost množin, podmnožiny Dvě množiny jsou si rovny, pokud mají stejné prvky. Množina bez prvků se nazývá prázdná: ø Množina A je podmnožinou mnoožiny B, pokud každý prvek A je i prvkem B. Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, pokud je A podmnožinou B a A není rovno B.

Describing of sets By enumeration of elemnts B={Prague, Vienna, Budapest, Bartislava} C={1,2,1,2,3,4,1}={1,2,3,4}={1,3,4,2} By distinctive predicate A={x|P(x)} A={x|x N, x<4} B={x|x is capital of central European country} By using already defined set C={x N| x<4}

Common set notations Z… Set of Integers Z+ … Set of positive integers N… Set of nonnegative integers (natural numbers) Q… Set of rational numbers R… Set of real numbers C… Set of complex numbers R+, R-, Q+,…

Operace s množinami Sjednocení Průnik Doplněk Symetrická diference Potenční množina

Uspořádaná dvojice Uspořádaná dvojice (a,b) je množina {{a,b},a}. a je první prvek dvojice. Uspořádaná n-tice (a1,a2,…,an) může být zavedena pomocí indukce: Pro n=2 je to uspořádaná dvojice (a1,a2) Pro n>2 it je to uspořádaná dvojice obsahující uspořádanou (n-1)-tici (a2,…,an) a prvek a1.

Kartézský součin Kartézský součin A x B je množina všech uspořádaných dvojic (a,b), kde A je z množiny A a b je z množiny B. Kartézský součin konečného systému množin A1xA2x…xAn je množina všech n-tic (a1,…,an) kde ai je z Ai.

Zobrazení Zobrazení z množiny A do množiny B: pro některé prvky A existuje přesně jeden obraz v B. Zobrazení (totální) množiny A do množiny B: Pro všechny prvky A existuje přesně jeden obraz v B. Zobrazení z množiny A na množinu B (surjekce): Každý prvek z B má svůj vzor v A, m(a)=b

Zobrazení Prosté zobrazení (injektivní)): pro různé vzory a1,a2 dostaneme různé obrazy b1,b2. Bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) je prosté zobrazení A na B.

Mohutnost množin Dvě konečné množiny A,B mají stejnou mohutnost, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. Mohutnost množiny A se značí card(A), |A|, moh(A) Pokud card(A)≤card(B), pak existuje prosté zobrazení A do B. Pokud card(A)≥card(B), pak existuje zobrazení A na B.

Mohutnost nekonečných množin Dvě nekonečné množiny A,B mají stejnou mohutnost, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. card(N) = card(Z) = card(Q) = aleph0 Množina všech (nekonečných) posloupností 0,1 (L) má větší mohutnost než aleph0. card(L)=card(R). card(2M)>card(M)

Mlhavost Možné příčiny nejistoty: Stochastický charakter jevu (zítra bude pršet). Kvantová nejistota (teplota vody v umyvadle je 10 stupňů) Mlhavost pojmů (jsem vysoký člověk)

Fuzzy množiny Klasická teorie množin : prvek do množiny patří, nebo nepatří. Exisstuje charakteristická funkce množiny A A, MA. MA = 1, pokud x  A, MA = 0, pokud není x  A. Fuzzy množina je určena svou charakteristickou funkcí μA z univerza U na interval <0,1> μA (x)= 1, pokud x je určitě v A. μA (x)= 0, pokud x určitě není v A. μA je mezi 0 a 1, pokud nevíme jistě, zda x je v A, nebo není.

Fuzzy množiny Nosič A: supp(A)={xU|μA (x) > 0}. Jádro A: supp(A)={xU|μA (x) = 1}. Výška fuzzy množiny: sup(supp(A)). Normální fuzzy množina: Výška je rovna 1. α-hladina fuzzy množiny A {xU|μA (x) ≥ α}. Α-řez fuzzy množiny A {xU|μA (x) = α}.

Operace s fuzzy množinami A je podmnožina of B: μA (x) ≤ μB(x) B je doplněk of A: μB(x) = 1 - μA(x) C je (standardní) sjednocení A a B: μC(x)=max(μA(x), μB(x)) C je (standardní) průnik A a B: μC(x)=min(μA(x),μB(x))

Fuzzy čísla Nechť a≤b≤c≤d jsou 4 reálná čísla, která splňují: μA(x)=0 , pro x<a and x>d μA(x)=1 , pro x mezi b a c μA(x) je rostoucí mezi a a b. μA(x) je klesající mezi c a d. Takovou množinu A nazýváme fuzzy interval. Pokud b=c nazýváme tuto množinu fuzzy číslo.