Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP © L&K

OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina přípustných řešení úlohy LP Optimální řešení úlohy LP Rozbor řešitelnosti úlohy LP Standardní tvar MM úlohy LP Přídatné proměnné v modelu úlohy LP © L&K

OBECNÁ FORMULACE MM Na soustavě vlastních omezení a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn R b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn R b2 . . . (2.1) am1x1+ am2x2 + . . . + amnxn R bm a podmínek nezápornosti xj ≥ 0 , j = 1, 2, ..., n (2.2) nalézt extrém účelové funkce z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn (2.3) © L&K

xj ... proměnná modelu (strukturní) aij ... strukturní koeficient kde je xj ... proměnná modelu (strukturní) aij ... strukturní koeficient bi ... pravá strana i-tého omezení cj ... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R ... jedno z relačních znamének ≤, ≥, = n ... počet strukturních proměnných mo- delu m ... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n © L&K

EKONOMICKÁ INTERPRETACE xj ... úroveň j-tého procesu (počet jedno- tek j−té činnosti) bi ... úroveň i-tého činitele (maximální nebo minimální možná hodnota) aij ... norma spotřeby, popř. produkce i-tého činitele na jednotku j-tého pro- cesu cj ... cena j-tého procesu i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n © L&K

Příklad 2.1 Formulujte MM úlohy z příkladu 1.1 ve tvaru (2.1) – (2.3): na množině řešení omezení x1 + 2x2 ≤ 120 x1 + 4x2 ≤ 180 x1 − x2 ≥ 90 x1 ≤ 110 xj ≥ 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x1 + 60x2 © L&K

x1, x2 ... strukturní proměnné, a11=1, a12=2, a21=1, a22=4, kde jsou: x1, x2 ... strukturní proměnné, a11=1, a12=2, a21=1, a22=4, a31=1, a32=-1, a41=1, a42=0 ... strukturní koeficienty, b1=120, b2=180, b3= 90, b4=110 ... pravé strany omezení, c1=40, c2=60 ... cenové koeficienty © L&K

Další způsoby formulace MM Vektorový zápis Maticový zápis Zápis pomocí sumací Různé způsoby zápisu budeme ilustrovat na kapacitní úloze z příkladu 1.1 © L&K

Vektorový zápis obecného MM Nalézt na soustavě vlastních omezení a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn R b (2.4) a podmínek nezápornosti x ≥ 0 (2.5) extrém účelové funkce z = cTx ... max (min.) (2.6) © L&K

R ... vektor relačních znamének ≤, ≥, = kde je: x =(x1, x2, ..., xn)T ... vektor struktur- ních proměnných a1=(a11, a21, ..., am1)T a2=(a12, a22, ..., am2)T ... vektor struktur- ních koeficientů an=(a1n, a2n, ..., amn)T b =(b1, b2, ..., bm)T ... vektor pravých stran omezení cT=(c1, c2, ..., cn) ... vektor cen R ... vektor relačních znamének ≤, ≥, = © L&K

Příklad 2.2 Vektorový zápis modelu: Dosaďme z příkladu 2.1 vektory a1, a2, b, R, x, cT: R = © L&K

Vektorová formulace modelu: na množině omezení nalézt extrém účelové funkce © L&K

Rozepište tento vektorový model: ......... ? © L&K

Maticový zápis MM Nejstručnější je maticový zápis MM: za podmínek Ax R b (2.7) x ≥ 0 maximalizovat (minimalizovat) účelovou funkci z = cTx (2.8) © L&K

x = (x1, x2, ..., xn)T ... vektor strukturních proměnných, kde je: x = (x1, x2, ..., xn)T ... vektor strukturních proměnných, A = [aij]mxn ... matice strukturních koeficientů, b = (b1, b2, ..., bm)T... vektor pravých stran omezení, cT = (c1, c2, ..., cn) ... vektor cenových R ... je vektor relačních znamének ≤, ≥, = © L&K

Příklad 2.3 Z příkladu 2.1 dosadíme Formulujeme maticový zápis A, b, R, cT, x : Formulujeme maticový zápis © L&K

maximalizovat účelovou funkci Na množině omezení maximalizovat účelovou funkci © L&K

Rozepište tento maticový model: ........... ? © L&K

Zápis MM pomocí sumací Za podmínek maximalizovat účelovou funkci (2.9) j = 1, 2, ..., n maximalizovat účelovou funkci (2.10) © L&K

POZOR ! Při psaní vzorců je nutné dodržovat určitá elementární pravidla Není možno kombinovat libovolně různé způsoby zápisu Je nutno respektovat pravidla maticového počtu Je třeba definovat všechny použité symboly Je nutno určit definiční obor všech použitých indexů © L&K

CHYBY V ZÁPISU VZORCŮ Chybný zápis Správný zápis aijxj = bi, i=1, ..., m Axj = b z = x.cT z = cT.x A.x = b x.A = b B.uT = xj uTB = x ti = bi/ci, i=1, ..., m t = b/c © L&K

Přípustné řešení úlohy LP Nezáporné řešení soustavy vlastních ome-zení (2.1) nazveme přípustné řešení (PŘ) Úloha LP má: - nekonečně mnoho přípustných řešení - žádné přípustné řešení Množina PŘ je: - konvexní s konečným počtem krajních bodů (definujte !) omezená nebo neo- mezená - prázdná množina © L&K

Pokud je množina PŘ omezená, je to konvexní polyedr (definujte !) Která ze zobrazených množin je konvex-ním polyedrem ....................................... ? © L&K

Optimální řešení úlohy LP Mezi nekonečným množstvím přípustných řešení hledáme to, které je nejlepší, tj. maximalizuje (popř. minimalizuje) hodnotu účelové funkce Takové řešení nazveme optimální (OŘ) Úloha LP má: - jedno optimální řešení - nekonečně mnoho optimálních řešení - žádné optimální řešení © L&K

Rozbor řešitelnosti Je-li množinou PŘ konvexní polyedr, má úloha LP vždy optimální řešení Účelová funkce může na této množině nabývat jak svého maxima, tak minima Optimální řešení může být: - jedno (obrázek 2.2) - nekonečně mnoho (obrázek 2.3) © L&K

Jediné OŘ je ve vrcholu (krajním bodu) konvexní množiny PŘ Má−li úloha LP nekonečně mnoho OŘ, je účelová funkce rovnoběžná s hranicí (hranou, stěnou, nadrovinou) konvexní množiny • Optimálním řešením je každý bod této hra-nice – konvexní obal krajních bodů Ve dvourozměrném prostoru je to množina konvexních kombinací dvou krajních bodů této hranice (tj. úsečka mezi nimi) © L&K

Obrázek 2.2 − Jediné OŘ úlohy LP z ... max. C x2 D OPTIMUM B A x1 Obrázek 2.2 − Jediné OŘ úlohy LP © L&K

Obrázek 2.3 − Nekonečně mnoho OŘ úlohy LP z ... max. C x2 OPTIMUM D OPTIMUM B E A x1 Obrázek 2.3 − Nekonečně mnoho OŘ úlohy LP © L&K

2. Neomezená množina PŘ Obsahuje alespoň jednu polopřímku Na této množině může mít úloha LP: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ 1. Jedno OŘ leží ve vrcholu množiny PŘ 2. Nekonečně mnoho OŘ tvoří ve dvouroz- měrném prostoru polopřímku (paprsek) © L&K

- konvexní množina PŘ je neomezená ve 3. OŘ neexistuje: - konvexní množina PŘ je neomezená ve směru zadaného extrému účelové funkce (obrázek 2.7) - účelová funkce může na této množině nabývat neomezených hodnot - v tomto případě existuje nekonečně mnoho přípustných řešení - nelze ale určit optimální hodnotu účelo- vé funkce © L&K

Obrázek 2.4 − Neomezená množina PŘ, jedno OŘ z ... max. x2 C B D OPTIMUM A x1 Obrázek 2.4 − Neomezená množina PŘ, jedno OŘ © L&K

Obrázek 2.5 − Neomezená množina PŘ, nekonečně mnoho OŘ OPTIMUM x2 z ... max. C B D OPTIMUM A x1 Obrázek 2.5 − Neomezená množina PŘ, nekonečně mnoho OŘ © L&K

Obrázek 2.6 − Neomezená množina PŘ, „neexistuje“ OŘ z ... max. C B A x1 Obrázek 2.6 − Neomezená množina PŘ, „neexistuje“ OŘ © L&K

3. Prázdná množina PŘ Soustava vlastních omezení MM je ne-konzistentní Neexistuje přípustné řešení úlohy LP Množina PŘ je prázdná Tudíž neexistuje optimální řešení této úlohy © L&K

Obrázek 2.7 − Prázdná množina PŘ úlohy LP © L&K

ŘEŠENÍ MM Pro zjednodušení výkladu přijmeme na začátku kurzu tyto dva předpoklady: 1. Všechna omezení modelu jsou zadána jako nerovnice: - rovnici převedeme na dvě nerovnice opačného typu, např.: 3x1 + 2x2 = 60 vyjádříme jako 3x1 + 2x2 ≤ 60 3x1 + 2x2 ≥ 60 © L&K

Budeme uvažovat MM s maximalizační účelovou funkcí Minimalizační funkci f(x) upravíme na maximalizační z(x) podle z(x) = − f(x) ... max. kde min (f) = − max (z) Např. funkci f = 20x1 + 10x2 ... min. převedeme na tvar z = −20x1 − 10x2 ... max. © L&K

ÚPRAVA MM K VÝPOČTU Metody řešení úloh LP pracují se sousta-vou rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic Proč ? Je proto třeba vlastní omezení zadaná ve tvaru nerovnic převést na rovnice Jak ? Model rozšíříme o další proměnné, které nazveme přídatné proměnné © L&K

ai1x1+ ai2x2 + . . . + ainxn + xn+i = bi Nerovnice typu ≤: ai1x1+ ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi K levé straně nerovnice přičteme pří- datnou proměnnou: ai1x1+ ai2x2 + . . . + ainxn + xn+i = bi Odtud je xn+i = bi – (ai1x1+ ai2x2 + . . . + ainxn) Např. první omezení v příkladu (2.1) x1 + 2x2 ≤ 120 upravíme na: x1 + 2x2 + x3 = 120 © L&K

Od levé strany nerovnice typu ≥ odečte-me přídatnou proměnnou: ai1x1+ ai2x2 + . . . + ainxn − xn+i = bi Odtud je xn+i = ai1x1+ ai2x2 + . . . + ainxn − bi Např. třetí omezení v příkladu 2.1 x1 − x2 ≥ 90 upravíme na: x1 − x2 − x5 = 90 © L&K

Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, kte-rá je odvozena od ekonomické interpreta-ce omezení Přídatná proměnná v omezení typu  uka-zuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ≥ uka-zuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k je-jí ekonomické interpretaci rovna nule © L&K

Příklad 2.4 Uvažujme soustavu vlastních omezení kapacitní úlohy z příkladu 2.1: x1 + 2x2 ≤ 120 x1 + 4x2 ≤ 180 x1 − x2 ≥ 90 x1 ≤ 110 © L&K

Nerovnice vyrovnáme na rovnice pomocí přídatných proměnných: x1 + 2x2 + x3 = 120 x1 + 4x2 + x4 = 180 x1 − x2 − x5 = 90 x1 + x6 = 110 Dosadíme x1 = 110, x2 = 5 (viz př. 1.1) Hodnoty přídatných proměnných .......? Ekonomická interpretace .....................? © L&K

Ekonomická interpretace: x3 = x4 = x5 = x6 = Ekonomická interpretace: x5 = © L&K

Vstupní údaje úlohy zadáme v LinPru: Obr. 2.8 – vstupní tabulka příkladu 1.1 © L&K

Úlohu vyřešíme: Obr. 2.9 – výsledky řešení © L&K

Hodnota účelové funkce: z = 4700 Hodnoty strukturních proměnných : x1 = 110, x2 = 5, Hodnoty přídatných proměnných: x3 = 0, x4 = 50, x5 = 15, x6 = 0 Stručněji: x = (110, 5, 0, 15, 0)T Hodnota účelové funkce: z = 4700 © L&K

Zvýšíme čas lisu o 1 minutu: Obr. 2.10 – změna pravé strany © L&K

KONEC © L&K