Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.3.2008 Modely úrokových sazeb - teorie a praxe Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.3.2008

Obsah přednášky Základní proměnné a základní dělení modelů Okamžitá úroková míra Affiní časové struktury Vašíčkův model Hull-Whiteův model Dlouhodobé sazby Kalibrace

Obsah Základní proměnné a základní dělení modelů

Základní proměnné R(t,T) – spojitě úročená spotová sazba v čase t pro splatnost T P(t,T) – cena dluhopisu s nulovým kupónem v čase t se splatností v čase T P(t,T) = exp(-R(t,T) (T-t)) r(t) – okamžitá úroková sazba v čase t

Modely úrokových sazeb 1.) Jednofaktorové - modeluje okamžitou úrokovou sazbu - pouze jeden zdroj nejistoty - Dothanův model, Vašíčkův model, Hull-Whiteův model, Ho-Lee model, Heath-Jarrow-Mortonův model 2.) Dvoufaktorové -Brennan-Schwartzův model, CIR2 model 3.) Mnohofaktorové?

Mnohofaktorové modely Kolik zdrojů nejistoty je postačujících pro kvalitní model výnosové křivky? => Analýza hlavních komponent pro JPY, USD a DEM První komponenta - 68% - 92% celkového rozptylu Druhá komponenta - 93% - 99.1% => Dvoufaktorové modely jsou dostačující

Obsah Okamžitá úroková míra

Okamžitá úroková míra Pracujeme s tzv. okamžitou úrokovou mírou (angl. instantenous interest rate) – Co ji reprezentuje na trhu? Je vhodné zvolit nejkratší sazbu, která existuje (O/N sazba) jako vhodného reprezentanta celé výnosové křivky? Příliš krátké sazby však vykazují určité anomálie (poměrně dlouhá období relativně stabilních sazeb střídají silné skokové pohyby jako důsledek externích šoků v podobě zásahů centrální banky) Řešení problému: použití metody mnohorozměrné statické analýzy

Shluková analýza rozklad souboru dat na několik relativně homogenních podsouborů (shluků) tak, aby objekty uvnitř jednotlivých shluků si byly co nejvíce podobné a objekty patřící do různých shluků si byly podobné co nejméně. cij – korelace mezidenních změn tenorů i a j Míra nepodobnosti dij:

Závěr O/N sazba (a 1W sazba) nemohou být považovány za vhodné reprezentanty výnosové křivky, protože ve srovnání s ostatními tenory vykazují nezanedbatelnou anomálii => Vhodnější použít 2W, 1M, 3M nebo dokonce 6M sazby

Obsah Affiní časové struktury

Afinní časové struktury Pro každý model je žádoucí vyjádřit cenu dluhopisu P(t,T) s nulovým kupónem: 1.) odvození ze vztahu 2.) řešení Black-Scholes-Mertonovy PDE 3.) využití tzv. Afinní časové struktury Afinní časová struktura <=> Hodnota dluhopisu P(t,T) má tvar A(t,T), B(t,T) jsou deterministické funkce r(t) je okamžitá úroková sazba R(t,T) je afinní funkcí r(t)

Podmínky afinní časové struktury Model okamžité úrokové míry: Postačující podmínka: koeficienty ve tvaru => Rovnice pro A(t,T) a B(t,T):

Jednofaktorové modely Základní rovnice Dothanova modelu: Ekvivalentní s modelem akcie (?motivace, intuice?) Potřeba hypotézy => Požadavky na model: Výstupy modelu kladné sazby {r(t)>0} pro všechna t Explicitní vzorce pro ceny dluhopisů (=> spotové, forwardové a swapové sazby) a pro úrokové deriváty Rozdělení krátké sazby r(t) Návratnost ke středu Zahrnutí forwardových sazeb

Obsah Vašíčkův model

Vašíčkův model Základní rovnice Časově homogenní model (nebere v úvahu forwardové sazby) Endogenní model (výnosová křivka není vstupem, ale spíše výstupem) Kalibrace na tržní data - málo parametrů – nemusí odpovídat aktuální výnosové křivce nebo cenám úrokových derivátů r(t) mohou být záporné

Vyjádření r(t) ve Vašíčkově modelu Vyjádření r(t), známe-li r(s): Dosadíme (2) do (1): Integrace od s do t: r(t) ~ N(r(s)e-k(t-s) + q(1-e-k(t-s)),s2/2k (1-e-2k(t-s)))

Záporné sazby ve Vašíčkově modelu Zápornost r(t) – z normality r(t) plyne Příklad: k = 0.1, q = 0.025, s = 0.006 => Tabulka pstí:

Afinní struktura Vašíčkova modelu Splňuje podmínky afinní časové struktury: => Odvodíme: Dají se odvodit explicitní vzorce pro ceny opcí na bezkupónové dluhopisy a ceny úrokových opcí

Obsah Hull-Whiteův model

Hull-Whiteův model Exogenní model: výnosová křivka je vstupem do modelu J(t) - zohlednění forwardových sazeb - Jak stanovit? f M(0,T) – okamžitá forwardová sazba v čase 0 pro čas T Podmínka: PM(0,T) = P(0,T)

Hull-Whiteův model r(t) Forwardová křivka

Vyjádření r(t) ve HW modelu Obdobně jako pro Vašíčkův model odvodíme r(t) má normální rozdělení

Záporné sazby v H-W modelu

Afinní struktura H-W modelu Model má affiní strukturu: Explicitní vzorce pro opce na dluhopisy (i kupónové), úrokové opce i swapce

HW model cena opce na dluhopis t S T Cena evropské call-opce v čase t a splatností v T na zero-bond se splatností v S a realizační cenou K:

HW model cena úrokové opce Ceny úrokových opcí – odvození z cen opcí na dluhopisy Cena úrokové put-opce v čase t a splatností v T na sazbu s tenorem t a realizační sazbou X – odvození ze ZBC: t S T i

Obsah Dlouhodobé sazby

Dlouhodobé sazby Úloha: Model pro krátkou sazbu => Dlouhá sazba První myšlenka: Zřetězení budoucích krátkých sazeb tzn. máme-li k dispozici krátké sazby r(t) v časových periodách t=t1,…tn, dlouhá sazba R(t) se stanoví: f(R(t)) = (1+r(t1) Dt)*(1+r(t2) Dt)*…*(1+r(tn) Dt)-1

Dlouhodobé sazby => Problém: Sazba R(t) má neinterpretovatelnou volatilitu Příklad: Opce vyplácí 1, pokud za 1 měsíc bude 5Y sazba vyšší než 6%. Předpokládejme, že dnes 5Y sazba = 4% => Cena opce je téměř 0. Při modelování 5Y sazby pomocí 1M sazeb však dostaneme cenu významně větší než 0 => Používat přístup zřetězení není vhodné Dlouhá sazba má být stanovena pomocí ceny bezkupónového dluhopisu pro konkrétní model Problém: Cenu dluhopisu není pro některé modely možné explicitně odvodit

Nevýhoda affiních modelů Korelace mezi dvěma tenory T1 a T2 pro jednofaktorový afinní model: Produkt s výplatní funkcí f(R(t,T1),R(t,T2)) není vhodné oceňovat afinními modely s jedním zdrojem nejistoty

Obsah Kalibrace

Kalibrace Pro kvalitní aplikaci modelů je důležité mít k dispozici správné hodnoty parametrů 1.) Dynamická metoda odhadu parametrů – používá historické hodnoty (~ historická volatilita) – prakticky použitelné pouze pro endogenní modely 2.) Statická metoda odhadu parametrů – Kalibrace se provádí na základě aktuálních tržních dat (~ implikovaná volatilita)

Příklad dynamické kalibrace Vašíčkův model - r(t) má normální rozdělení Odhady metodou maximální věrohodnosti (s může být snadno odvozeno z V2):

Statická kalibrace a BS model Kalibrace z tržních dat => fundamentální pojmy: Opční prémie = F(f, i, X, t, s) Black-Scholesův model Cena capu = Fcap (f, i, X, t, s) Cena flooru = Ffloor (f, i, X, t, s) Implikovaná volatilita Známé Hledané

Budoucí ceny dluhopisů Budoucí ceny dluhopisů Statická kalibrace Exogenní modely Implikované volatility Ceny derivátů (Úr. opce, Swapce) BS model Kalibrovaný model Výstupy: Budoucí sazby Budoucí ceny dluhopisů Budoucí ceny derivátů … Parametry modelu Výnosová křivka Endogenní modely Implikované volatility Ceny derivátů (Úr. opce, Swapce) BS model Kalibrovaný model Parametry modelu Výnosová křivka Výstupy: Budoucí sazby Budoucí ceny dluhopisů Budoucí ceny derivátů …

Příklad- Statická kalibrace HW -0.068 s 0.0046

Příklad- Statická kalibrace HW Fixované k 0.01 s 0.0051

Dynamická x Statická kalibrace Dynamická kalibrace: + téměř vždy rozumné hodnoty parametrů + exaktní výpočet - nemusí odpovídat reálné situaci na trhu - aplikovatelné pouze pro endogenní modely Statická kalibrace + parametry odhadnuty z aktuálních tržních dat - věrohodnost parametrů - příklad: odhad parametrů ve Vašíčkově modelu z cen dluhopisů q 0.00079 k 0.92766 s -0.81E-08

Otázky? Děkuji za pozornost.