Pozn.: Při řešeních nejsou opakovány všechny použité vzorce. Neurčitý integrál Řešené příklady Nad zvládnutím integrálů jsem strávil nejvíce času ze všech matematických oblastí. Pochopení jsem dosáhl pouze kombinací různých zdrojů, z nichž každý vysvětluje látku trochu jinak. Zvláště doporučuji výuku na webu www.mojeskola.cz . Zvláště kroková metoda s kontrolu virtuálního učitele mi něco dala. J.T. Pozn.: Při řešeních nejsou opakovány všechny použité vzorce.

Výběr metody: Per partes Řešte: x xe dx 6.1 (f´* g) dx = f * g - f * g´ dx Výběr metody: Per partes xe dx = x f´(x) = e g(x) = x f(x) = e dx = e g´(x) = (x)´ = 1 = x * e - e * 1 dx = e ( x – 1) + C O.K. Zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Výběr metody: Per partes 6.2 Řešte: 9 x ln x dx 2x 3 2 f´(x) = x g(x) = ln x ½ f(x) = g´(x) = (ln x)´ = 9 x ln x dx = 9 * x ln x dx = 1 x a * f dx = a f dx (f´* g) dx = f * g - f * g´ dx 2x 3 2 2x 3 2 2x 3 2 2x 3 ½ 9 x ln x dx = 9( 1 x ) = 9 ( Dx ) = * * lnx - * ln x - 2x 3 2 4x 9 2 3 2 3 2 3 2 3 = 9 ( ) Dx = 6x lnx – 4x dx = 2x ( 3 ln x - 2 ) + C * ln x - a + 1 + C x dx = a x Zadání  Úprava zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Výsledek ve scriptech: 2x ( 3 ln x - 4 ) + C

Výběr metody: Per partes 3 sin x cos x dx 2 Výběr metody: Per partes Řešte: 2 u´ = cos x v = sin x u = sin x v´ = 2 sin x 6.3 3 sin x cos x dx = 3 (sin x * sin x - 2 sin x * sin x dx ) = 3 (sin x – 2 sin x dx ) = 2 2 2 3 2 3 = 3 (sin x – 2 * sin x ) = 3 sin x – 2 sin x = sin x + C a * f dx = a f dx Zadání  Úprava zadání (substituce)  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek = u´v = u * v - u * v´ O.K. ln (ln x) x dx f(x) dx = f(t) tx (dx)´ = dt 6.4 Řešte: dx = t = ln x  x = e  dt = (e )´ = e ln (ln x) x t Substituce t Zadání  Úprava zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek * e dt = ln t dt = t * ln t – t = t ( ln t – 1 ) = ln x ( ln (ln x) – 1 ) + C ln t e ln x dx = x * ln x – x + C Pozor: Tento vzorec není v zakoupených vzorečkách, je stáhnutý z webu a je ověřen zkouškou. O.K.

O.K. O.K. 6.6 6.8 1 x ln x Výběr metody: Substituce  Přímá integrace 3 1 x ln x 2 Výběr metody: Substituce  Přímá integrace t = ln x  x = e  dt = (e )´ = e 6.6 Řešte: dx t t t -2 3 -2 3 1 3 3 1 x ln x 2 -t 3 dx = e * t * e dt = t dt = 3 t = 3 ln x + C t Zadání  Úprava zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek O.K. cos x 2 sin x 1 2 1 – sin x sin x 2 Výběr metody: Substituce  přímá integrace 6.8 Řešte: dx = dx = t = sin x  x = arcsin t  dt = (arcsin t)´ = 2 1 2 1 - t t 1 2 1 1 - t 2 -½ 1 2 ½ dt = t dt = * 2 t = sin x + C * Zadání  Úprava zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek O.K.

Výběr metody: Per partes ln x 2 x u´ = v = ln x u = x v = x - 1 1 2 x 6.9 Řešte: dx = Výběr metody: Per partes ½ - 1 -½ = x * ln x - x * x dx = x * ln x - x dx = x * ln x – 2 x = x * ( ln x – 2 ) + C O.K. Zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Substituce t = x  x = t  dt = (t )´ = 2 t 6.13 Řešte: sin x dx = 2 2 u´ = sin t v = t u = - cos t v´ = 1 = sin t * 2 t dt = 2 sin t * t dx = = 2(- t cos t - - cos t * 1 dt) = 2(- t cos t + cos t dt) = -2 t * cos t + 2 sin t = = 2 sin x – 2 x cos x Zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výpočet  zpětná substituce  výsledek O.K. 1 x (ln x)´ =

O.K. 6.10 6.12 t 5 1 5 1 5 Řešte: ln 5x dx = t = 5x  x =  dt = (t)´ = 6.10 dt 5 1 5 1 5 t 5 = ln t = ln t dt = (t * ln t – t) = (ln t – 1) = x (ln 5x – 1) + C O.K. Zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Řešte: arcsin x dx = (protože neznám vzorec pro integraci funkce arcsinus použiji substituci, i když se nejedná o složenou funkci 6.12 arcsin x = t  x = sin t  dt = (sin t)´ = cos t u´ = cos t v = t u = - sin t v´ = t = t * cos t dt = = t * (- sin t) - 1 * (- sin t) dt = t * - sin t + sin t dt = t * - sin t + (- cos t) = = - x * arcsin x – cos (arcsin x) + C Výsledek podle script by měl být x * arcsin x - x - 1, ovšem po ověření zkouškou je můj výsledek blíž, protože se liší pouze znaménkem před funkcí. Správně by mělo vyjít buď x * arcsin x – cos (arcsin x) + C nebo x * arcsin x - 1 - x 2 2