KEE/POE 8. přednáška Numerický výpočet derivace a integrálu Ing. Milan Bělík, Ph.D.

Numerická derivace Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření => „neumíme“ derivovat f(x) je složitá => pracná derivace Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případ

Metody založené na na derivování Lagrangeova interpolačního polynomu Pn(x) Derivujeme na intervalu mezi uzly <a, b> Chyba aproximace v uzlovém bodě xs:

Pravidla numerického derivování Uzly xi jsou ekvidistantní s krokem h xi=x0+ih, h=1,2,3,… uzly se nečíslují, ale vyjadřují pomocí kroku h

1. derivace polynomu Pn(x)

2. Derivace polynomu Pn(x)

Parciální derivace Principiálně stejné jako derivace Derivujeme podle zvolené proměnné Ostatní proměnné „ignorujeme“ dopředná diference:

Zaokrouhlovací chyba Teoretická formule: Skutečnost: Výsledek:

Chování chyb 1. sčítanec = formule výpočtu 2. sčítanec = diskretizační chyba Velký vliv zaokrouhlovacích chyb: ve vstupních datech během výpočtu Pro malá h jde o špatně podmíněnou úlohu

Odhad chyby Celková chyba: E = Ed + Er Optimální délka kroku h – minimum funkce g(x): Při numerickém výpočtu derivace s optimálním krokem h dochází ke ztrátě přibližně poloviny platných číslic

Zpřesnění výpočtu Richardsonova extrapolace Příklad – výpočet derivace f(x) = cos(x), x = 1, h = 0,8, chyba = 10-5 (přesná hodnota = -0,84147098)

Numerická integrace Známe hodnoty y=f(x) - změřené, ale neznáme analytické vyjádření => „neumíme“ integrovat f(x) je složitá => pracná integrace Známe hodnoty ý=f(x) jen v několika bodech – diskrétní případ

Pravidla numerického integrování Integrujeme aproximaci „integrované“ funkce Za přibližnou hodnotu považujeme hodnotu tohoto integrálu Q(f) se nazývá kvadraturní formule Diskretizační chyba Q(f): Kvadraturní formule je řádu r, jestliže přesně integruje polynomy stupně r a nikoliv r+1

Základní formule obdélníková lichoběžníková Simpsonova Booleova Složené formule – dělení intervalu - ekvidistantní

Obdélníková formule Vzorec formule: Chyba metody:

Lichoběžníková formule Vzorec formule: Chyba metody:

Simpsonova formule Vzorec formule: Chyba metody:

Booleova formule Vzorec formule: Chyba metody:

Složené formule Ekvidistantní dělení intervalu Použití základních formulí (stejných) Obdélníková Lichoběžníková Simpsonova Booleova Délka dělení = krok dělení - h

Složená obdélníková formule Součet jednoduchých obdélníkových formulí na podintervalech Vzorec formule: Chyba metody:

Složená lichoběžníková formule Součet jednoduchých lichoběžníkových formulí na podintervalech Vzorec formule: Chyba metody:

Složená Simpsonova formule Sudý počet subintervalů Součet jednoduchých simpsonových formulí na „dvojitých“ intervalech 2h: <x0, x2>, <x2, x4> Vzorec formule: Chyba metody:

Přesnost výpočtu Zadaná (zvolená) chyba ε Odhad chyby složené obdélníkové formule: Odhad chyby složené lichoběžníkové formule: Odhad chyby složené Simpsonovy formule: Výpočet počtu subintervalů n = (b – a)/h: Takto zjištěný počet je zbytečně velký

Metoda polovičního kroku Výpočet integrálu s krokem h Výpočet integrálu s krokem h/2 Kombinací výsledků získáme odhad chyby

Další metody Rombergova metoda Adaptivní integrace Extrapolace složené lichoběžníkové formule Adaptivní integrace Nerovnoměrné dělení intervalu podle „hladkosti“ funkce Numerická integrace je dobře podmíněná úloha

Příklad algoritmu – lichoběžníková f.

Příklad algoritmu – Simpsonova f.