DPS 2008 Didaktika matematiky Přednáška 3 Rozvoj induktivního a deduktivního myšlení

O čem budeme dnes hovořit? Co je induktivní myšlení Co je deduktivní myšlení Jak podněcovat jejich rozvoj Co jsou induktivní důkazy?

Jaké jsou charakteristické znaky induktivního myšlení? Indukce Jaké jsou charakteristické znaky induktivního myšlení?

Hledání pravidelnosti Doplňte další členy posloupnosti: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ………….. 2, 4, 8, 16, 32, 64, …………. 1, 4, 9, 16, 25, 36, …………. 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ……….. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ……….

Uměli byste členy posloupností vyjádřit nějakým vzorcem? 1, 3, 5, 7, 9, 11, ………. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ……. 1, 4, 9, 16, 25, 36, ……. 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, …. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … an = 2n - 1 an = 2 n an = n 2 an+1 = an + n Fn+2 = Fn+1 + Fn

Uměli byste „kreslit ornament dál“?

Obrovská čísla v kombinatorice Problém: Kolik černých obrazců může být ve hře GO? Řešení bude opět induktivní: 1 pole ………. 2 obrazce 2 pole ………. 4 obrazce 3 pole ………. 8 obrazců 4 pole ………. 16 obrazců 5 polí ………. 32 obrazců atd. A závěr? Obrazců je 2 169 . Dokážete si nějak představit, jak velké je to číslo?

Záclonová čísla Záclony věšíme na háčky postupně tak, že zachycujeme středy vytvářejících se oblouků. Několik prvních záclonových čísel je: 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , atd. Dokážete vymyslet, jak lze pro libovolné přirozené číslo n vypočítat n-té záclonové číslo Zn ? Zn = 2 n + 1

Rekurentní definice a explicitní vyjádření Při vytváření dalších čísel v posloupnosti Zn jsme užívali vztahu Zn+1 = Zn + ( Zn – 1 ) = 2Zn – 1 . Tzv. rekurentní definice, která umožňuje počítat čísla Zn postupně, je tedy tato: Z1 = 3 a pro n > 0 platí Zn+1 = 2Zn – 1 . Naproti tomu vzorec Zn = 2 n + 1 umožňuje počítat všechna čísla přímo (bez znalosti předchozích členů), je to tzv. explicitní vyjádření čísel Zn .

Počty vrcholů, stěn a hran tělesa Označme u každého tělesa: počet vrcholů symbolem V, počet stěn symbolem S   a počet hran symbolem H.

Počty V, S, H u n-bokých jehlanů Výsledky jsou v tabulce: n 3 4 5 6 7 atd. V 8 … n+1 S H 10 12 14 2n Sestavte podobnou tabulku i pro hranoly a antihranoly.

Dokážeme objevit Eulerovu větu? Předchozí zkoumání dalo tyto výsledky: n jehlany hranoly antihranoly V n+1 2n S n+2 2n+2 H 3n 4n Hledaný vztah mezi čísly V, S, H je: V + S = H + 2

V čem tedy spočívá princip induktivního myšlení? Při induktivním myšlení nalézáme při zkoumání jednodušších konkrétních případů pomocí abstrakce jejich společnou obecnou zákonitost. Tuto zákonitost objevujeme obvykle intuitivně. Pravdivost této zákonitosti je ale třeba (v oblasti matematiky) dokazovat.

Jaké jsou charakteristické znaky deduktivního myšlení? Dedukce Jaké jsou charakteristické znaky deduktivního myšlení?

Ukázali jsme si tento důkaz Pythagorovy věty: Jaké další důkazy můžeme ve vyučování uplatnit: pomocí Eulkeidovy věty, pomocí tvarových změn.

Problém z dělitelnosti (idea důkazu) Jaký je výsledek tohoto součinu? D(a;b) . n(a;b) = ??? Příklad: 24 = 2.2.2.3 = 23 . 31 108 = 2.2.3.3.3 = 22 . 33 D(24;108) = 2.2.3 = 22 . 31 = 12 n(24;108) = 2.2.2.3.3.3 = 23 . 33 = 216

Jak je definován zlatý řez? Rozdělme úsečku na dvě části tak, že bude platit: Poměr délky celé úsečky ku délce větší části je roven poměru délky větší části ku délce kratší části. Zapíšeme to rovnicí: Odtud pak plyne, že:

Zlatý trojúhelník Definice: Zlatým trojúhelníkem nazýváme každý rovnoramenný trojúhelník, který má úhel proti základně velikosti 360. Jaké má zlatý trojúhelník vlastnosti? Zlatý trojúhelník.fig Zlatý řez nalezneme mnohokrát v pentagonu. (Proč??)

Jak řešit rovnici x2 – x – 1 = 0 ? Dosazením do vzorce získáme: Přitom platí tyto důležité vztahy:

Co je základem deduktivního přístupu v matematice? Snažíme se nalézat logické souvislosti mezi matematickými tvrzeními. Sled správných logických úsudků od vymezených předpokladů k závěrečnému tvrzení nazýváme důkazem. Pozici deduktivního přístupu postupně ve vyučování matematice posilujeme.

Jak provádíme důkazy „indukcí“? Induktivní důkazy Jak provádíme důkazy „indukcí“?

Obvody polymin Všechna polymina můžeme vytvořit ze základního útvaru - monomina – postupným přidáváním jednoho čtverečku:

Jak se při přidání čtverečku změní obvod? o + 4 - 2 o + 4 – 4 o + 4 – 6 zvětší se o 2 nezmění se zmenší se o 2 Co jsme objevili a zároveň dokázali?

Symetrická čísla Všechna šesticiferná symetrická čísla, například 624426, jsou dělitelná jedenácti. K důkazu si stačí uvědomit, že: čísla 11, 1001 a 100001 jsou dělitelná jedenácti, je-li libovolné číslo dělitelné jedenácti, pak i jeho přirozený násobek je dělitelný jedenácti, a jsou-li dvě libovolná čísla dělitelná jedenácti, pak i jejich součet je dělitelný jedenácti.

Jak dokázat, že platí V + S = H + 2 ? Tělesa budeme reprezentovat „mapami“, které vzniknou tak, že „povrch tělesa“ obkreslíme na „pružnou blánu“ a tu pak rozvineme do roviny. čtyřstěn krychle

Základní objekt a operace Nejjednodušším tělesem je čtyřstěn. Z jeho mapy pak můžeme vytvořit mapu každého tělesa topologicky podobného kouli vhodným postupným opakováním těchto dvou operací:     „Rozpůlení hrany přidáním dalšího nového uzlu.“ „Spojení dvou uzlů další novou hranou.“ Přesvědčíme se o tom!

Užití základních operací Jak získáme z mapy čtyřstěnu mapu krychle ?

První krok důkazu Co se děje s počty vrcholů, stěn a hran, použijeme-li na nějakou mapu operaci „rozpůlení hrany přidáním nového uzlu“ ? Počet stěn S se nezmění, počet vrcholů V se zvětší o jeden na V+1 a počet hran H se také zvětší o jednu na H+1. Platí-li tedy Eulerova věta V + S = H + 2 v původní mapě, bude platit i v nové mapě, protože (V+1) + S = (H+1) + 2 . Tato operace tedy „nemění platnost Eulerovy věty“.

Druhý krok důkazu Co se děje s počty vrcholů, stěn a hran, použijeme-li na nějakou mapu operaci „spojení dvou uzlů novou hranou“ ? Počet stěn S se zvětší o jednu na S+1 , počet vrcholů V se nezmění a počet hran H se také zvětší o jednu na H+1. Platí-li tedy Eulerova věta V + S = H + 2 v původní mapě, bude platit i v nové mapě, protože V + (S +1) = (H+1) + 2 . Tato operace tedy „nemění platnost Eulerovy věty“.

Dokončení důkazu Víme tedy, že platí tato tři tvrzení: Eulerova věta V + S = H + 2 platí pro čtyřstěn, protože 4 + 4 = 6 + 2 . Z mapy čtyřstěnu můžeme získat mapu libovolného tělesa jen pomocí dvou operací: „rozpůlení hrany uzlem“ a „spojení dvou uzlů hranou“. Obě tyto operace „zachovávají platnost Eulerovy věty“. Co z těchto tří tvrzení vyplývá? Eulerova věta platí pro libovolné těleso (topologicky podobné kouli).

Co by si měli žáci uvědomit? Uvažují-li o množině objektů, jejíž každý prvek je vytvořitelný z několika základních objektů pomocí daných operací, mohou používat tento indukční princip: Jestliže: všechny základní objekty mají určitou vlastnost, a všechny operace „přenášejí“ tuto vlastnost ze svých operandů na výsledek, pak mají tuto vlastnost všechny objekty množiny.

Matematická indukce Jak děláme důkazy „matematickou indukcí“? Je to speciální případ induktivních důkazů.

Vysvětlení principu Základní situace je tato: Pracujeme s nekonečnou řadou korálků a na základě určitých podmínek usuzujeme, jakou mají barvu.

Například: Počáteční korálek je červený. Jestliže je kterýkoliv z korálků červený, pak následující korálek je modrý. Jestliže je kterýkoliv z korálků modrý, pak následující je žlutý. Jestliže je kterýkoliv z korálků žlutý, pak následující je červený.

Nebo můžeme stanovit tyto podmínky: Počáteční korálek je červený. Jestliže je kterýkoliv z korálků červený, pak následující korálek je modrý. Jestliže je kterýkoliv z korálků modrý, pak následující je červený.

Je zřejmé, k čemu směřujeme. Co když budou splněny tyto podmínky? Počáteční korálek je červený. Jestliže je kterýkoliv z korálků červený, pak následující korálek je také červený.

Právě jsme odhalili princip důkazu matematickou indukcí: Jestliže zjistíme dva fakty: přirozené číslo 1 má určitou vlastnost a jestliže tuto vlastnost má nějaké přirozené číslo n, pak ji má i následující přirozené číslo n + 1, pak můžeme tvrdit, že tuto vlastnost mají všechna přirozená čísla.

Důkaz matematickou indukcí - Příklad 1 Dokazujme tuto větu: Pro každé přirozené číslo n platí, že: číslo n 3 – n je násobkem 3. Důkaz: 1. Nejprve dokážeme, že: číslo 1 3 – 1 je násobkem 3. 2. Pak dokážeme, že: je-li číslo n 3 – n násobkem 3 , pak i číslo (n+1) 3 – (n+1) je násobkem 3.

Důkaz matematickou indukcí - Příklad 2 Dokazujme tuto větu: Pro každé přirozené číslo n platí, že: n-té záclonové číslo má tvar Zn = 2 n + 1. Důkaz: 1. Nejprve dokážeme, že: první záclonové číslo má tvar Z1 = 2 1 + 1. 2. Pak dokážeme, že: má-li n-té záclonové číslo tvar Zn = 2 n + 1, pak (n+1)-ní číslo má tvar Zn+1 = 2 n+1 + 1.

Děkuji vám za pozornost.