SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Na konci úrokovacího období se připíše úrok za uplynulé období a v příštím úrokovacím období se počítá úrok nejen z původní jistiny, ale také z připsaných úroků. 1 1

Ukázkový příklad: n = a0 = p = an = 4 roky 40 000,- Kč 10 % p.a. ? Na jakou částku vzroste za 4 roky hodnota jednorázového vkladu 40 000,- Kč při 10 % p.a.? Zápis: n = a0 = p = an = 4 roky 40 000,- Kč 10 % p.a. ? 2

úrok (10 %) / Kč za 1. rok za 2. rok za 3. rok za 4. rok z v k l a d u z úroků z v k l a d u z úroků z v k l a d u z úroků z v k l a d u vklad 4 000 400 4 000 40 400 4 000 an 2x 3x 3x 40 000 4 000 400 4 000 40 400 4 000 4 40 400 4 000 Za daných podmínek vzroste za 4 roky uložená částka na hodnotu 58 564,– Kč.

ODVOZENÍ VZORCE (složené úrokování) 4

Úrok za stejné úrokovací doby se mění a vypočítává se nejen z původní jistiny, ale také z předešle připsaných úroků. úročení 1. vkladu je stejné jako u jednoduchého úrokování vytkněte 5

počáteční jistina je prvním členem GP jednotlivé jistiny tvoří členy GP počáteční jistina je prvním členem GP kvocient GP Při složeném úrokování roste jistina exponenciálně (rychle). 6

Amortizace majetku (odpis) vyjadřuje opotřebení příslušné položky dlouhodobého majetku v důsledku používání (fyzický odpis) „nepoužívání“ – zastarávání (morální odpis) tohoto majetku se určí obdobně jako nárůst hodnoty – ale naopak z původní ceny odečítáme hodnotu

ÚROČITEL, ozn. r je kvocient GP pro nárůst hodnoty pokles hodnoty úročení vkladu připisujeme úroky ú pokles hodnoty amortizace majetku upisujeme odpisy o Velikost jistiny za n úrokovacích období pro nárůst i pokles hodnoty tak můžeme zapsat zjednodušeně pomocí hodnoty úročitele: 8

VZORCE Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost jistiny po n letech, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin: počáteční jistina, a0 počet let, po které se jistina úročí, n úroková míra, kterou se jistina úročí, p 9

a0 = ? n = ? neznámá v exponentu  rovnici logaritmujeme 10

p = ?  r = ? 11

Označení definovaných veličin odpovídá označení v MFCHT: strana 29, Vzorce finanční aritmetiky. 12

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Příklad 1: Na jakou částku vzroste vklad 30 000,- Kč za 5 let při 2 % p.a.? Řešení: a0 = 30 000,- Kč n = 5 let p = 2 % p.a. an = ?  r = 1,02 (nárůst)

Příklad 2: Stroj ztrácí opotřebením každoročně 5 % své ceny Příklad 2: Stroj ztrácí opotřebením každoročně 5 % své ceny. Jaká bude jeho cena za 10 let, když původně stál 110 000,- Kč? Řešení: p = 5 % p.a. n = 10 let a0 = 110 000,- Kč an = ?  r = 0,95 (pokles)

Příklad 3: Jakou částku musíme dnes uložit, aby nám vzrostla za 10 let na 130 000,- Kč při 1,7 % p.a? Řešení: n = 10 let an = 130 000,- Kč p = 1,7 % p.a. a0 = ?  r = 1,017 (nárůst)

Příklad 4: Kolik by musel dnes stát přístroj, jehož hodnota by po 15 letech byla 100,-Kč? Odpisy činí 14 % p.a. Řešení: n = 15 let an = 100,- Kč p = 14 % p.a. a0 = ?  r = 0,86 (pokles)

Příklad 5: Za jak dlouho se jistina ztrojnásobí při 2,4 % p.a.? Řešení: a0 an = 3a0 p = 2,4 % p.a. n = ? a0 = 1,- Kč nebo zvolte a0 a dopočtěte an: an = 3,- Kč  r = 1,024 (nárůst) (46 let a 4 měsíce)

Příklad 6: Za jak dlouho klesne hodnota stroje o čtvrtinu při každoročních odpisech 20 % své původní ceny? Řešení: a0 an = 0,75a0 p = 20 % p.a. n = ? a0 = 4,- Kč nebo zvolte a0 a dopočtěte an: an = 3,- Kč  r = 0,80 (pokles)

Příklad 7: Jaké jsou každoroční odpisy stroje, když jeho cena za 30 let klesla na pětinu své původní ceny? Řešení: a0 an = 0,2a0 n = 30 let p = ? a0 = 10,- Kč nebo zvolte a0 a dopočtěte an: an = 5,- Kč  r = ? (pokles)

Příklad 8: Jakou úrokovou míru poskytuje banka, když vklad 25 000,- Kč vzrostl za 8 let na hodnotu 98 000,- Kč? Řešení: a0 = 25 000,- Kč an = 98 000,- Kč n = 8 let p = ?  r = ? (nárůst)

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

9. Na jakou částku vzroste vklad 25 000,-Kč za 8 let při 2,5 % p.a.? 10. Stroj ztrácí opotřebením každoročně 15 % své ceny. Jaká bude jeho cena za 5 let, když původně stál 150 000,- Kč? 11. Na jakou částku by vzrostlo 1 000,- Kč za 50 let při 4,5 % p.a.? [30 460,- Kč] [66 556,- Kč] [9 033,- Kč] 23

14. Za jak dlouho se jistina zdvojnásobí 12. Jakou částku musíme dnes uložit, aby nám vzrostla za 10 let na 150 000,-Kč při a) 1,2 % p.a., b) 2,3 % p.a., c) 3,5 % p.a.? 13. Za jak dlouho vzroste jistina 50 000,-Kč na 200 000,-Kč při a) 1,0 % p.a., b) 2,1 % p.a., c) 3,2 % p.a.? 14. Za jak dlouho se jistina zdvojnásobí při 3,5 % p.a.? [a) 133 133,- Kč, b) 119 491,- Kč , c) 106 338,- Kč] [a) 139 let a 4 měsíce, b) 66 let a 8 měsíců, c) 44 let] [20 let a 2 měsíce] 24

15. Za jak dlouho klesne hodnota stroje na polovinu při každoročních odpisech 10 % své ceny? 16. Za jak dlouho vzroste jistina o třetinu své původní hodnoty při 3,0 % p.a.? 17. Za jak dlouho klesne hodnota stroje na třetinu při každoročních odpisech 12 % své původní ceny? [6 let a 7 měsíců] [9 let a 9 měsíců] [8 let a 7 měsíců] 25

18. Za jak dlouho vzroste jistina o 35 % své původní hodnoty při 2,5 % p.a.? 19. Jaké jsou každoroční odpisy stroje, když jeho cena za 3 roky klesla o čtvrtinu své původní ceny? 20. Jakou úrokovou míru by musel poskytovat bankovní ústav, když by se hodnota našeho vkladu za 6 let měla ztrojnásobit? [12 let 2 měsíce] [9,14 % p.a.] [20,09 % p.a.] 26

Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 3, s. 41–69