Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

Doc. Ing. Milada Lagová, CSc. Konzultační hodiny: Čtvrtek 9:30 – 12:30 hod. Místnost NB 433 E-mail: lagova@vse.cz Web: http://jana.kalcev.cz/vyuka/ © L&K

LITERATURA Povinná literatura: Doporučená literatura: Lagová, M., Jablonský, J.: Lineární modely, VŠE, Praha 2004 Lagová, M., Kalčevová,J.: Matematické programování v příkladech, VŠE, Praha 2007 Doporučená literatura: Jablonský, J.: Operační výzkum, Professional Publishing, Praha 2003 Lauber, J., Jablonský, J.: Programy pro matematické modelování, VŠE, Praha 1997 Pelikán, J.: Diskrétní modely v operačním výzkumu, Professional Publishing, Praha 2003 © L&K

PROGRAMOVÉ SYSTÉMY Povinné: - LinPro - LPPro Doporučené: - MS Excel - Řešitel - Lindo - Lingo a další © L&K

ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 1. PŘEDNÁŠKA ÚVOD DO LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ © L&K

OSNOVA PŘEDNÁŠKY 1. Úvod do matematického modelování 2. Lineární programování (LP) 3. Ekonomický model úlohy LP 4. Matematický model úlohy LP 5. Grafické řešení úlohy LP 6. Typické úlohy LP a jejich formulace 7. Analýza výsledků © L&K

VYUŽITÍ MATEMATIKY V EKONOMII Teoretické poznatky již v 17. a 18. století (anglický klasický ekonom William Petty – ekonometrie, francouzský ekonom Francois Quesnay – strukturní analýza) Praktické aplikace souvisí se dvěma událostmi: 2. světová válka zavedení počítačů Během druhé světové války byly matema-tické metody využívány pro řízení vojen-ských operací – „Operační výzkum“ © L&K

OPERAČNÍ VÝZKUM Není to jednotná vědní disciplína, skládá se z řady odvětví Zabývá se řízením složitých systémů po-mocí formulace a řešení matematických modelů Model budeme obecně chápat jako zobra-zení těch rysů skutečnosti, které jsou pod-statné z hlediska sledovaného cíle Modelování využívá různých prostředků (fyzikální, verbální, deskriptivní, analogové atd.) kadeřník, neurochirurg, kloboučník © L&K

Model hromadné obsluhy Doba mezi příchody 1/λ Doba obsluhy 1/μ Matematický model: NF(c) = k1 N + k2 c Obr. 1.1 − Optimalizace v teorii front © L&K

MATEMATICKÝ MODEL Matematický model (MM) popisuje sle-dovaný systém pomocí vyjadřovacích prostředků matematiky Ty mohou být různě složité – čím složi-tější, tím je model přesnější Klasifikace matematických modelů: - MM lineární x MM nelineární - MM deterministické x MM stochastické - MM statické x MM dynamické - MM mikroekonomické x MM makro- ekonomické např. jednotkové náklady nezávisí na objemu výroby lineárně – část nákladů je fixní, úroda závisí na počasí, systémy se mění v čase atd. © L&K

MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ Matematický model je tvořen: - soustavou vlastních omezení - podmínkami nezápornosti - účelovou funkcí Na množině nezáporných řešení soustavy vlastních omezení hledáme extrém (ma-ximum nebo minimum) účelové funkce Řešení maximalizující, popř. minimalizující hodnotu účelové funkce je optimální (pro-to optimalizační model - OM) Je jedním z nejstarších odvětví OV © L&K

Modely matematického programování jsou: - lineární nebo nelineární - deterministické - statické Řešením modelů tohoto typu se zabývá: - lineární programování - nelineární programování - vícekriteriální programování Nejjednodušší jsou lineární optimalizační modely (LOM) © L&K

ŘEŠENÍ LOM Řeší se jednoduchým matematickým aparátem, jehož základem je lineární algebra Řešení praktického problému pomocí ma-tematických metod není jednorázovou záležitostí Jde o dlouhodobý proces, který je možno rozdělit do několika fází Celý postup znázorníme schematicky Na řešení každé fáze se různou mírou podílí: - odborníci z praxe - odborníci z oboru matematického modelování - počítače Různý podíl odborníků © L&K

Definice 1. Formulace ekonomického modelu 2. Formulace matematického modelu 3. Řešení matematického modelu 4. Rozbor výsledného řešení Obr. 1.2 − Fáze řešení LOM © L&K

1. Formulace ekonomického modelu Řešení problému LP začíná jeho definicí, tj. ujasněním problému Touto definicí je ekonomický model Popisuje: − procesy neboli činnosti − činitele neboli podmínky − cíl optimalizace Dále musí být v EM stanoveny všechny kvantitativní vztahy mezi procesy, činiteli a cílem a jednotky, ve kterých je měříme © L&K

2. Formulace matematického modelu Matematický model MM) obsahuje: - proměnné (strukturní): xj , j = 1, 2, ..., n - omezení vlastní: nerovnice typu ≤, ≥, = - omezení nevlastní (podmínky nezápor- nosti): xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n - účelovou funkci, jejíž maximum nebo minimum hledáme Verbální ekonomický model převedeme do vy-jadřovacích prostředků matematiky © L&K

Vztah EM a MM − kapacity, požadavky Ekonomický model Procesy − činnosti Činitelé − kapacity, požadavky Cíl − kriterium optimality Matematický model Proměnné xj Omezení nerovnice ≤ ,≥, = podmínky nezápornosti Účelová funkce maximalizační minimalizační © L&K

3. Řešení matematického modelu Univerzální metodou řešení úloh LP je simplexová metoda (SM) Tato etapa je většinou záležitostí počítačů, jen malé úlohy se dají řešit ručně V současné době je součástí softwarové-ho vybavení všech počítačů (např. Řešitel neboli Optimizer v Excelu) Existují i metody pro řešení speciálních problémů LP, jako je např. dopravní problém Počítačové systémy ale používají řadu modifikací simplexového algoritmu © L&K

4. Rozbor výsledného řešení Řešení matematického modelu je třeba analyzovat: 1. ekonomicky je interpretovat 2. verifikovat je 3. analyzovat vliv změn v modelovaném problému 1. Ekonomická interpretace: Matematické výsledky řešení MM převe- deme do termínů EM x1=1000 praktikům nic neříká © L&K

Numerické výsledky je třeba srovnat s po- 2. Verifikace výsledků Numerické výsledky je třeba srovnat s po- žadavky v definici problému - pokud ne- souhlasí, je zřejmě špatně naformulováno odpovídající omezení MM 3. Analýza výsledků Model také umožňuje analyzovat výsled- ky, tj. zkontrolovat, zda jsou reálné, a růz- ně s nimi experimentovat – vyčíslit, co by se stalo s optimálním řešením, kdyby se změnily výchozí podmínky Např. x1= housky a x2=rohlíky. Požadujete 2x tolik rohlíků než housek, ale vyjde vám x1=100, x2=50 Podklady pro postoptimalizační analýzu poskytují všechny profesionální programové systémy řešící úlohy LP © L&K

Příklad 1.1 Firma vyrábí šroubky a matice Šroubky i matice jsou lisovány – vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Šroubky i matice balí do krabiček, ve kte-rých je pak prodává - krabička šroubků se balí 1 minutu, krabička matic 4 minuty Firma má k dispozici 2 hodiny času pro li-sování a 3 hodiny času pro balení výrobků © L&K

Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubků Zisk z jedné krabičky šroubků je 40 Kč, z jedné krabičky matic 60 Kč Firma nemá potíže s odbytem výrobků Kolik krabiček šroubků a matic má fir-ma vyrobit, chce-li dosáhnout maximál-ního zisku? © L&K

Ekonomický model Procesy Jednotky Výroba šroubků (Š) 1 krabička (kr.) Výroba matic (M) 1 krabička Činitelé na straně vstupu Čas na lisu 1 min. Čas pro balení 1 min. Činitelé na straně výstupu 3. Vztah počtu KŠ a KM 1 krabička 4. Max. počet KŠ 1 krabička Cíl Maximální zisk Kč © L&K

Kvantitativní vztahy v modelu Je vhodné je uspořádat do tabulky: Tab. 1.1 © L&K

Formulace MM Šroubky – x1 Matice – x2 1 x1 LIS 1 min 2 min + 2 x2 £ [krabička] [krabička] 1 x1 LIS 1 min 2 min + 2 x2 £ 120 min 2 hodiny 3 hodiny BALENÍ 1 min 4 min 1 x1 4 x2 180 min ³ POPTÁVKA 1 x1 - 1 x2 90 krabiček £ ŠROUBKY 1 x1 + 0 x2 110 krabiček NEZÁPORNOST x1, x2 ³ 0 ZISK 40 Kč 60 Kč 40 x1 + 60 x2 … max Kč ³ Z technických důvodů nelze vyrobit více než 110 krabiček šroubů POPTÁVKA: šroubků stejně nebo více než matic + 90 x1 x2 Firma maximalizuje zisk z prodeje svých výrobků: - Z každé prodané krabičky šroubků má zisk 40 Kč - Z každé prodané krabičky matic má zisk 60 Kč Firma má k dispozici 2 hodiny času pro lisování a 3 hodiny času pro balení výrobků Nelze vyrábět záporné množství výrobků Vzhledem k poptávce je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubů více než matic Šroubky i matice jsou lisovány – vylisování krabičky šroubků trvá 1 minutu, krabička matic je lisována 2 minuty Výrobky jsou pak baleny – krabička šroubků 1 minutu, krabička matic 4 minuty Šroubky i matice balí do krabiček, ve kterých je pak prodává Firma vyrábí šroubky a matice © L&K

Srovnání EM a MM Ekonomický model: Procesy Činitelé Cíl Výroba Š [KŠ] Výroba M [KM] Činitelé Čas na lisu [min.] Čas balení [min.] Poptávka [krabičky] Max. KŠ[krabičky] Cíl Maximální zisk [Kč] jednotky v EM jednotky v MM Matematický model: Proměnné x1 [KŠ] x2 [KM] Omezení spotřeba ≤ 120 [min.] spotřeba ≤ 180 [min.] KŠ – KM ≥ 90 [krabičky] KŠ ≤ 110 [krabičky] Účelová funkce Maximální zisk [Kč] © L&K

3. Řešení MM Jednoduchou úlohu vyřešíme graficky: - zvolíme souřadnicový systém os x1 a x2 - znázorníme všechna omezení modelu - najdeme jejich průnik v prvním kvadrantu - znázorníme účelovou funkci - rovnoběžně ji posuneme tak, aby se dotkla průniku množin (shora nebo zdola) - v bodě (popř. bodech) dotyku účelové funkce a množiny přípustných řešení je optimální řešení © L&K

Množina přípustných řešení x2 60 45 40 OPTIMUM x1 60 90 110 120 180 (2) (1) Zmax (4) Množina přípustných řešení x1, x2 ³ 0 40 x1 + 60 x2 … max 1 x1 - 1 x2 ³ 90 1 x1 + 0 x2 £ 110 Osy x1 a x2 1 x1 + 4 x2 £ 180 1 x1 + 2 x2 £ 120 (3) -90 Obr. 1.3 − Grafické řešení úlohy LP © L&K

Optimální řešení zadané úlohy leží na průsečíku dvou hraničních přímek omezení (1) a (4): x1 + 2x2 = 120 x1 = 110 Odtud je x1 = 110, x2 = 5 Bod optimálního řešení je tedy O≡[110, 5] Hodnota účelové funkce je po dosazení z = 40x1 + 60x240·110 + 60·5 = 4700 © L&K

4. Rozbor výsledků 1. Ekonomická interpretace Matematický model ● Proměnné x1 = 110 x2 = 5 Ekonomický model ● Procesy vyrábí se 110 krabi-ček šroubků vyrábí se 5 krabiček matic ● Účelová funkce 40x1 + 60x2 = 4700 ● Cíl Max. zisku je 4700 Kč © L&K

Omezení Činitelé 1. x1 + 2x2 ≤ 120 120 – (x1 + 2x2 ) = 0 kapacita lisu je 120 min. kapacita lisu je celá vyčerpána kapacita balicí linky je 180 min. na balicí lince zbývá 50 min. krabiček šroubků má být alespoň o 90 více než krabiček matic krabiček šroubků je o 15 více než požadavek 90 maximum krabiček šroubků 110 vyrobí se jich přesně 110 © L&K

(1) Kapacita lisu je celá využita 2. Verifikace OŘ (1) Kapacita lisu je celá využita (2) Na balicím zařízení zbývá 50 minut (3) Je třeba vyrobit alespoň o 90 krabiček šroubků více než krabiček matic: x2 = 5, tj. vyrábí se 5 krabiček matic, takže krabiček šroubků musí být alespoň 95: x1 = 110, podmínka je splněna (4) x1 = 110, krabiček šroubků se vyrábí přesně povolené množství © L&K

Jednodušší závěry vyplývají z grafického řešení na obr. 1.3 3. Analýza OŘ Jednodušší závěry vyplývají z grafického řešení na obr. 1.3 Např. změna pravé strany omezení (4) ze 110 na 116 posune hraniční přímku doprava a způsobí i změnu OŘ: x1 = 116, x2 = 2, z = 4760 Z obrázku je také zřejmé, že zvýšit hor- ní limit počtu krabiček šroubků nad 120 je zbytečné, protože omezení se stává redundandní Podklady poskytuhá softwarové produkty © L&K

TYPICKÉ ÚLOHY LP Skupiny klasických úloh: - úlohy výrobního plánování - směšovací problémy - úlohy o optimálním dělení materiálu - distribuční úlohy Další aplikace: - úlohy finančního plánování, plánování reklamy, rozvrhování pracovníků, úlohy LP s podmínkami celočíselnosti (problém batohu, problém obchodního cestujícího, pžiřazovací problém) atd. © L&K

1. Úlohy výrobního plánování Úkolem je určit druh a množství výrobků, které se budou vyrábět z celkové nabídky Je třeba respektovat omezené kapacity Je třeba dodržet požadavky Cílem optimalizace bývá obvykle maxima-lizace zisku, tržeb nebo množství výrobků, popř. minimalizace nákladů apod. Proměnná označuje druh výrobku, její hodnota určuje množství vyráběného výrobku ve stanovených jednotkách např. suroviny, strojový čas, energie, lidská práce atd. - např. dolní a horní hranice nebo poměr množství výrobků, kvalita výrobků atd. © L&K

2.  Směšovací problémy Obecně jde o vytvoření směsi požadova-ných vlastností Je dána nabídka složek (komponent) Je omezeno disponibilní množství složek Jsou určeny požadované vlastnosti směsi: např. váha, obsah složky v %, obsah vý-živné látky Cílem je většinou minimalizovat náklady na vytvoření směsi Proměnné určují použité složky a jejich množství např. krmná směs pro drůbež, např. vybraná krmiva jako je kukuřice, melasa, ječmen, benzin požadovaného oktanového čísla © L&K

Příklad 1.2 Hříbárna v Nišovicích u Volyně nakupuje na zimu krmivo: SENO a OVES Výživné hodnoty krmiv a požadované den-ní dávky pro jedno hříbě jsou v tabulce 1.2 Každé hříbě musí v krmné dávce denně dostat alespoň 2 kg ovsa Průměrná cena včetně dopravy činí 1,80 Kč za1 kg sena a 1,60 Kč za 1 kg ovsa Sestavte denní dávku krmení pro jedno hříbě tak, aby náklady byly minimální © L&K

g / kg seno oves Sušina 841 860 SNL 53 123 Škrob 0,348 0,868 Vápník 6 1,6 Fosfor 2,8 3,5 Sodík 0,2 1,4 POŽADAVKY Alespoň 6200 g Nejvýše 1150 g Nejvýše 5,35 g Alespoň 30 g Nejvýše 44 g Přibližně 7 g Cena 1,80 1,60 Tab. 1.2 © L&K

Formulujte MM úlohy LP: ? © L&K

Zadání vstupních údajů Obr. 1.4 – Vstupní tabulka © L&K

Optimální řešení Obr. 1.5 – Souhrnné výsledky © L&K

INTERPRETUJTE VÝSLEDKY ? Optimální řešení: x1 = 3,9 x2 = 4,3 z = 13,82 INTERPRETUJTE VÝSLEDKY ? Analyzujte podle obrázku 1.5, jak jsou splněny jednotlivé podmínky úlohy ......................... ? © L&K

Interpretace: © L&K

3. Řezné problémy Jinak „Úlohy o optimálním dělení materiálu“ Řeší se problém dělení větších celků na menší části V LP jde o jednorozměrné celky (délka) např. provazy, tyče, trubky apod. Je známa délka dělených kusů a jejich počet Je určena délka a počet požadovaných kusů Přitom je třeba respektovat požadavky na to, v jakém poměru mají vzniklé menší části být, kolik minimálně resp. maximálně jich má vzniknout, kolik je k dispozici větších kusů apod. © L&K

Cílem je většinou minimalizace odpadu, ale také minimalizace spotřeby materiálu nebo nákladů Každý větší celek lze na menší části rozřezat celou řadou způsobů – je známo nebo je třeba sestavit tzv. “řezné schéma” Procesem a tudíž i proměnnou je zde použití jednoho z možných způsobů dělení většího celku, hodnota proměnné ukazuje četnost jeho použití Úloha o dělení materiálu může být i vícerozměr-ná, tzn. dělení plošných nebo prostorových předmětů. V tomto případě již nejde o úlohy LP © L&K

Příklad 1.3 Na vnitřní dřevěné obložení chaty je třeba: maximálně 120 ks prken délky 35 cm 180 až 330 ks prken délky 120 cm alespoň 30 ks prken délky 95 cm Koupit lze jen prkna délky 4 metry Celkový odpad nesmí být větší než 360 cm Náklady na koupi prken musí být minimální © L&K

Řezné schéma Způsob 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120 cm 0 0 95 cm 1 0 35 cm 10 11 120 cm 0 0 95 cm 1 0 35 cm 8 11 Odpad 30 20 10 25 15 Pozn.: Řezné schéma je vhodné uspořádat tak, aby způsoby řezání i nařezané kusy byly seřazeny podle velikosti © L&K

Formulujte MM úlohy LP: ? © L&K

Optimální řešení Obr. 1.8 – Souhrnné výsledky © L&K

INTERPRETUJTE VÝSLEDKY Optimální řešení: x1 = 60 x7 = 2,5 x9 = 10 x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = = x8 = x10 = x11 = 0 z = 72,5 INTERPRETUJTE VÝSLEDKY © L&K

Interpretace: © L&K

KONEC © L&K