Matice D.: Matice je systém m .n čísel, uspořádaný do m řádků a n sloupců. Je to jenom symbol, nemá to žádnou číselnou hodnotu! Označení: řádek, řádkový vektor Zkrácený zápis: Když m=n … čtvercová matice Prvky tvoří tzv. hlavní diagonálu, tyto prvky vedlejší diagonálu. sloupec, sloupcový vektor dvojice (m,n) … typ matice

Př.: Je typu (2, 3). je první řádek, je třetí sloupec, Na hlavní diagonále leží čísla 1, 1 na vedlejší čísla 0 a 3. Není čtvercová, je obdélníková. Je čtvercová typu (2, 2).

Operace s maticemi Mějme dvě matice téhož typu Rovnost: pro všechna i a j Rovnost matic se tedy realizuje m x n rovnicemi mezi čísly! pro všechna i a j Součet: Sčítají se prvky na stejných místech..

Násobek číslem: je-li k konstanta, potom pro všechna i a j Násobí se tím číslem všechny prvky… Př.: Vypočtěme matici X=2A-3B, kde Jsou obě typu (3, 2)…

Protože podobně jako u vektorů se maticové operace realizují pomocí operací s reálnými čísly, mají tyto operace stejné vlastnosti, tedy platí: komutativní zákon asociativní zákon distributivní zákony Přitom k,l jsou libovolná reálná čísla a A a B libovolné matice téhož typu. To vše se automaticky využívá při počítání s maticemi ….

Násobení matic mezi sebou Matice se násobí mezi sebou trochu komplikovaně, vzniklo to ze skládání zobrazení, to ale neděláme…. Tedy: mějme matici A typu (m, n) a matici B typu (n, p). A i B C n = i m m j p n j p Výsledkem bude matice C typu (m, p). Jsou-li potom je skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B matematicky zapsáno

A je typu (2, 3), Př.: B je typu (3, 2), násobit to jde a výsledná matice bude typu (2, 2) 1.1+3.2+(-1).3, 1.(-1)+3.(-1)+(-1).0 0.1+1.2+(-2).3, 0.(-1)+1.(-1)+(-2).0

B je typu (3, 2), A je typu (2, 3), násobit to jde i obráceně a výsledná matice bude typu (3, 3) 1.1+(-1).0, 1.3+(-1).1, 1.(-1)+(-1).(-2) 2.(-1)+(-1).(-2) 2.1+(-1).0, 2.3+(-1).1, 3.(-1)+0.(-2) 3.1+0.0, 3.3+0.1,

násobení matic mezi sebou není komutativní! Vidíme, že A levo pravo Máme-li tedy matici A, A je toto násobení zprava maticí B B C=A.B a toto násobení zleva maticí B A D=B.A B a obecně Matice pro které platí rovnost, se nazývají komutativní.

Násobení matic není komutativní, ale jiné vlastnosti běžného Platí tedy: asociativní zákon distributivní zákony levý pravý násobení číslem Přitom k je libovolné reálné číslo a A a B libovolné matice, které jdou mezi sebou násobit.

Př.: Znásobme ještě další matice. Víme, že v součinu je na místě ij skalární součin i-tého řádku první matice s j-tým sloupcem druhé. Běžný postup je ten, že vezmu první řádek první matice a udělám jeho součiny se všemi sloupci druhé matice. Tak vytvořím první řádek součinu. Totéž udělám s dalšími řádky první matice a je to…. -6 8 teď obráceně: -4 12 7 -2 -22 Matice nejsou komutativní…

-2 -1 3 1 -3 2 teď zas obráceně: -1 3 -3 -5 -1 -1 -5 3 1 -3 nakonec něco, co nebude čtvercový… -7 1 -3 11 3 1 Výsledek bude typu (2, 4)… teď to obráceně nejde…

Jednotková matice D.: Čtvercová matice se nazývá jednotková, má-li na hlavní diagonále jedničky a jinde nuly. Značí se E. Pro n=3 je Pro n=2 je Matice E funguje při maticovém násobení jako jednička … vůbec násobení neovlivňuje…. V.: Platí pro každou čtvercovou matici A a matici E téhož typu: Př.:

Transponování matic D.: Transponovaná matice k matici A typu (m, n) je matice typu (n, m), která má za řádky sloupce matice A. Značí se A m n n m Transponovaná matice vznikne z matice původní překlopením přes hlavní diagonálu. A

Př.: Transponování má tyto vlastnosti vzhledem k maticovým operacím:

Symetrická matice D.: Čtvercová matice A , pro niž platí se nazývá symetrická. Př.: je symetrická. Podobně Symetrická matice je souměrná podle hlavní diagonály…..

Hodnost matice Není to žádná její hodnota, je to vlastnost jejích řádků (nebo sloupců). D.: Hodnost matice je maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků (nebo sloupců, je to totéž). Značíme ji h(A). Je zřejmě Je –li matice A typu (m, n), platí pro hodnost jasně Počítat, kolik je v dané skupině lineárně nezávislých vektorů umíme, je to to dávání nul pod diagonálu. Teď postup, který už umíme, trochu zformalizujeme….

D.: Matice A je tzv. horní trojúhelníková (ozn. HT), jestliže: 1. všechny její prvky na hlavní diagonále jsou nenulové 2. všechny její prvky pod hlavní diagonálou jsou nulové. Takže: je HT… není HT… HT matice neobsahuje nikdy nulový řádek a má vždycky nejvýše tolik řádků jako sloupců….. musí být nuly a to nejde…

V.: Hodnost HT matice se rovná počtu jejích řádků. Ukažme ne jednoduchém příkladu, proč to tak je: Hodnost h(A)=2, musíme ukázat (z definice), že má nezávislé řádky. Připomeňme definiční rovnici, ze které počítáme ta áčka… Tedy: v souřadnicích: Všechna áčka vyšla nulová, vektory jsou nezávislé.

Ta naše technika tedy spočívá na tom, že libovolnou matici převedeme na HT matici a její hodnost poznáme snadno…. Během toho převodu to ale nesmíme nějak zkazit…. Používáme k tomu tzv. ekvivalentní úpravy matic, které nemění hodnost matic, tj. nemění závislost nebo nezávislost vektorů. D.: Ekvivalentní úpravy matice jsou: 1. Přehození dvou řádků (nebo sloupců) 2. Vynásobení řádku (nebo sloupce) nenulovým číslem Přičtení násobku nějakého řádku nebo sloupce k jinému řádku (nebo sloupci) 4. Vynechání nulového řádku (nebo sloupce) Vznikne-li matice B z matice A provedením několika ekvivalentních úprav, má stejnou hodnost jako matice A, Matice se nazývají ekvivalentní a značí se

Teď to finále….. V.: Každá matice jde postupně pomocí ekvivalentních úprav převést na HT matici. Ten postup už známe … je to to dávání nul pod diagonálu… Př.: Jakou hodnost má matice ? Děláme s jejími řádky totéž, co jsme dělali s vektory… přehodíme druhý a třetí řádek a máme HT matici.. 1 0 -2 1 0 -2 má tři řádky, její hodnost je tři, 0 -1 5 0 0 7 je tedy i h(A)=3. 0 -1 5 0 0 7

Soustavy lineárních rovnic Lineární soustava m rovnic pro n neznámých je toto: neznámé potom: Označíme-li: maticový zápis soustavy A má typ (m,n) má typ (n,1) má typ (m,1) vektor pravých stran vektor neznámých matice soustavy

Př.: vektor neznámých vektor pravých stran 2x+3y-z=2 x+y-2z=0 3x-y+z=-1 2 3 -1 A= 1 1 -2 násobení matic 3 -1 1 2 3 -1 matice soustavy 1 1 -2 3 -1 1 Vektory musíme brát vždy jako sloupce, aby to šlo násobit, ale z důvodu snazšího zápisu je píšeme často jako řádky…

Mějme tedy soustavu když je m=n, je to soustava obdélníková když je m=n, je to soustava čtvercová Dále: když je je to soustava homogenní když je je to soustava nehomogenní jako u diferenciálních rovnic – homogenní vznikne z nehomogenní tak, že vyhodím všechno, kde není neznámá…. ………… y´+ a(x)y=b(x) ………… y´+ a(x)y=0 uvidíme zanedlouho, že podobná analogie je i ve struktuře řešení…..

Řešení soustavy je vektor takový, že když jeho souřadnice do soustavy dosadíme za neznámé , soustava je splněna, tedy 2x-y=2 Řešení je jasně x=1, y=0. Čili Př.: x+y=1 je vektor řešení: Když ho do soustavy dosadíme, je splněna… Matice zkráceně se nazývá rozšířená matice soustavy

Př.: 2x-y=2 U soustavy je a x+y=1 Teď: je –li nehomogenní soustava, nazýváme soustavu se stejnou maticí A homogenní soustavou, přiřazenou této nehomogenní. množinu všech řešení Označme dále nehomogenní soustavy, a množinu všech řešení přiřazené homogenní soustavy. Jsou to vždy nějaké podmnožiny prostoru .

Řešení soustav buď n počet neznámých a hodnost matice h(A)=h má vždy řešení má řešení, jen když platí tzv. Frobeniova věta: Soustava má řešení právě když platí: Dále pak platí pro oba typy soustav: 1. je-li h=n, soustava má jen jedno řešení. 2. je-li h<n, soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž počet lineárně nezávislých je n-h, všechny ostatní se z těchto dají vytvořit pomocí lineárních kombinací

Poznámky k předchozímu: 1. víme, že h >n není možné… 2. Frobeniova věta říká, že soustava má řešení jestliže se dá sloupec pravých stran vytvořit ze sloupců matice A…. hodnost je totiž také (jak víme) maximální počet nezávislých sloupců a rozšířená matice má o jeden víc než matice A… ukažme si to na konkrétním příkladě: 2x-y=2 Mají-li být x a y řešení, musí soustavě vyhovovat, x+y=1 čili musí platit tohle, a to mohu napsat taky takhle a to je právě to… 3. Je jasně protože matice A 1 je menší než ta rozšířená…. to je ta kombinace…

Homogenní soustavy Konkrétní postup při hledání všech řešení je zase to známé dávání nul pod diagonálu… Tedy: a) homogenní soustava 1. má vždy řešení 2. vypočteme hodnost matice soustavy h(A)=h 3. Je-li h=n … počtu neznámých, má soustava jenom to jedno řešení a žádné jiné! 4. Je-li h<n, má soustava nekonečně mnoho řešení. Pro snazší řešení ji napíšeme v HT tvaru, který je s původní soustavou ekvivalentní.

Schematicky pak vypadá soustava takto: n Potom: h n-h neznámých zvolíme za parametry (ty budou u nezávislých řešení) n-h a dáme členy s nimi na druhou stranu… h z takto vzniklé soustavy vypočteme jednoznačně zbylých h neznámých = h jako kombinace těch zvolených za parametry.

Soustava je v HT tvaru, na diagonále nejsou nuly. Z poslední rovnice spočítáme poslední neznámou, tu dosadíme do předposlední rovnice a z ní vypočteme předposlední neznámou, atd. až k první neznámé… h Tomuto postupu se někdy říká zpětný chod… = h Parametry jsou libovolná reálná čísla, řešení je tudíž nekonečně mnoho...

3 Př.: Je jasné že řešení jsou x+2y+2z=0 x+3y+4z=0 x=0, y=0, z=0. 2 Vypočtěme h(A): x -2z=0 h(A)=2=h 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 4 0 1 2 neznámé jsou n=3 1 0 -2 0 -2 -4 =- 2 Čili h<n … nekonečně mnoho řešení, volíme n-h=1 neznámou za parametr. Soustava v HT tvaru je: x+ 2y+2z=0 x+2y=-2t x-4t=-2t x=2t y=-2t y+2z=0 y=-2t ,dáme členy s t na druhou stranu a uděláme zpětný chod.. Zvolíme z=t

Takže: Pomocí tohoto vektoru vytvořím kterékoliv řešení, je to ta báze prostoru řešení, jeho dimenze je jedna (báze je jen jeden vektor), množina řešení je vlastně přímka, která prochází počátkem…(pro t=0)

Př.: Homogenní soustava, x+2y+3z=0 má vždy řešení x=y=z=0 2x-y+2z=0 Jde vždy o to, zda má i jiná…. x- y+ z=0 To záleží na tom, jakou hodnost má matice A… 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 -1 2 0 -5 -4 0 -5 -4 h(A)=h=3 1 -1 1 0 -3 -2 0 0 -2 počet neznámých n=3, h(A)=3, tedy h=n…. Soustava má tedy jen jedno řešení a to to nulové. Pro žádnou trojici nenulových čísel soustava není splněná….

Nehomogenní soustavy b) nehomogenní soustava 1. má řešení pouze tehdy, když platí Vypočteme proto hodnost rozšířené matice soustavy, z ní určíme hodnost matice A a rozhodneme, zda platí . Rovnost neplatí, jestliže má rozšířená matice řádek, který je celý z nul až na poslední místo, které odpovídá sloupci pravých stran… (0, 0, …., 0 nenula) Když rovnost neplatí, soustava nemá žádné řešení a jsme hotovi.

Př.: Řešme soustavu x+2y+3z=1 x–y +2z=0 Spočtěme nejdřív hodnost rozšířené matice: x+5y+4z=-2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 0 -3 -1 -1 0 -3 -1 -1 1 -1 2 0 0 0 0 -4 1 5 4 -2 0 3 1 -3 A h(A)=2 soustava nemá žádné řešení a je to …

Když rovnost =h platí, postupujeme stejně jako v homogenním případě: 2. Je-li h=n … počtu neznámých, má soustava jenom jedno řešení tentokrát nenulové. Soustavu napíšeme v HT tvaru a zpětným chodem spočítáme všechny neznámé, počínaje poslední.. n = n

Př.: Řešme soustavu x+2y+3z=1 Spočtěme hodnost rozšířené matice: x+y +2z=0 x+5y+z=-1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 1 1 2 0 0 0 -5 -5 1 5 1 -1 0 3 -2 -2 A h(A)=3 soustava má řešení h(A)=h=n=3 řešení je jenom jedno, jedna trojice čísel. Napišme ji v HT tvaru. x+2y+3z=1 x=-2 -y-z=-1 y=0 Řešení: -5z=-5 z=1

3. Je-li h<n, má soustava nekonečně mnoho řešení. Postupujeme úplně stejně jako v homogenním případě: n n-h neznámých zvolíme za parametry (ty budou u těch nezávislých řešení) h a dáme členy s nimi na druhou stranu… n-h z takto vzniklé soustavy vypočteme jednoznačně zbylých h neznámých zase zpětným chodem… h = - h budou to kombinace těch zvolených za parametry. Parametry jsou libovolná reálná čísla…řešení je tudíž nekonečně..

Př.: Řešme soustavu x+y+4z=3 x-y=1 Spočtěme hodnost rozšířené matice: 3x- y+4z=5 1 1 4 3 1 1 4 3 1 1 4 3 0 -2 -4 -2 0 -2 -4 -2 1 -1 0 1 0 0 0 0 3 -1 4 5 0 -4 -8 -4 A h(A)=2 soustava má řešení, a protože h<n …3 neznámé, volíme n-h=1 ..jednu neznámou jako parametr, stejně jako u homogenní soustavy

Napíšeme zase soustavu v HT tvaru 1 1 4 3 0 -2 -4 -2 3 x+y+ 4z= 3 0 0 0 0 -2y -4z=-2 2 Zvolíme z=t dáme členy s ním na druhou stranu a uděláme zpětný chod 1 x+y = 3 – 4t 2 2y= 2 -4t 2 = - Řešení je tedy

Takže: Toto je pevný bod a toto je zase báze prostoru řešení, jeho dimenze je jedna (báze je jen jeden vektor), množina řešení je vlastně přímka, která prochází bodem (pro t=0) t=1 t=2 t=-1 atd….

Toto jsou všechna řešení nehomogenní soustavy, jako u diferenciálních rovnic se tomu říká obecné řešení. Podívejme se teď na vektory a z jiného hlediska: naše soustava přiřazená homogenní Vektor je řešením naší soustavy. x+y+4z=3 x+y+4z=0 x-y=1 Co řeší vektor ? x-y=0 Dosaďme ho sem: 3x- y+4z=5 3x- y+4z=0 Co teď vektor ? -2-2+4=0 Udělejme totéž. 2+1+0=3 Je tedy vidět, jaká je struktura všech řešení nehomogenní soustavy: 2-1=1 -2+2=0 3.2-1+0=5 3.(-2)-(-2)+4=0 Je to řešení naší soustavy Je to řešení přiřazené homogenní soustavy

To je ta nejteoretičtější věc, kterou se v tomto kurzu dovíte: Struktura řešení všech lineárních rovnic je stejná: obecné řešení homogenní rovnice obecné řešení nehomogenní rovnice jedno řešení nehomogenní rovnice lineární soustavy diferenciální rovnice nehomogenní rovnice y´+ a(x)y=b(x) homogenní rovnice y´+ a(x)y=0 obecné řešení

Poslední poznámka k řešení soustav: Ať je soustava homogenní nebo nehomogenní, a má jakýkoliv rozměr, zpětný chod se dělá vždy pro čtvercovou soustavu která má rozměr h X h! Na to navážeme při řešení soustav pomocí determinantů. h = h

Př.: Jakou hodnost má matice ? 1 -1 1 -1 Máme HT matici, má dva řádky, tedy h(B)=2. 1 -1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 0 Př.: Jakou hodnost má matice ? 1 -1 -2 1 -1 -2 h(A)=3 0 2 5 0 2 5 0 4 12 0 0 2