Dělitelnost přirozených čísel Podmínky používání prezentace Stažení, instalace na jednom počítači a použití pro soukromou potřebu jednoho uživatele je zdarma. Použití pro výuku jako podpůrný nástroj pro učitele či materiál pro samostudium žáka, rovněž tak použití jakýchkoli výstupů (obrázků, grafů atd.) pro výuku je podmíněno zakoupením licence pro užívání software E-učitel příslušnou školou. Cena licence je 250,- Kč ročně a opravňuje příslušnou školu k používání všech aplikací pro výuku zveřejněných na stránkách www.eucitel.cz. Na těchto stránkách je rovněž podrobné znění licenčních podmínek a formulář pro objednání licence. Pro jiný typ použití, zejména pro výdělečnou činnost, publikaci výstupů z programu atd., je třeba sjednat jiný typ licence. V tom případě kontaktujte autora (info@eucitel.cz) pro dojednání podmínek a smluvní ceny. OK © RNDr. Jiří Kocourek 2013

Dělitelnost přirozených čísel © RNDr. Jiří Kocourek 2013

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b Zápis: b | a Čteme: „a je dělitelné b“, nebo „b dělí a“.

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b Zápis: b | a Čteme: „a je dělitelné b“, nebo „b dělí a“. Příklady: 5 | 35 ; 2 | 5 468 ; 1 | 29 ; 91 | 91 ; ........

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b Zápis: b | a Čteme: „a je dělitelné b“, nebo „b dělí a“. Příklady: 5 | 35 ; 2 | 5 468 ; 1 | 29 ; 91 | 91 ; ........ Poznámka: Číslo 1 je dělitelem každého přirozeného čísla n. Každé přirozené číslo n je dělitelem sama sebe 1 | n ; n | n

Soudělná čísla: Čísla a,b nazýváme soudělná, jestliže mají společného dělitele většího než jedna. Příklady: 4, 12 .... společný dělitel 2 125, 35 .... společný dělitel 5 13, 143 .... společný dělitel 13

Soudělná čísla: Nesoudělná čísla: Čísla a,b nazýváme soudělná, jestliže mají společného dělitele většího než jedna. Příklady: 4, 12 .... společný dělitel 2 125, 35 .... společný dělitel 5 13, 143 .... společný dělitel 13 Nesoudělná čísla: Čísla a,b nazýváme nesoudělná, jestliže jejich společným dělitelem je pouze číslo jedna. Příklady: 4, 11 ; 15, 28 ; 11, 37

Dělení se zbytkem: Libovolné přirozené číslo n lze pomocí přirozeného čísla b vyjádřit jako: n = k·b + z , kde k a z jsou přirozená čísla nebo nula a z < b z .... zbytek po dělení čísla n číslem b

Dělení se zbytkem: Libovolné přirozené číslo n lze pomocí přirozeného čísla b vyjádřit jako: n = k·b + z , kde k a z jsou přirozená čísla nebo nula a z < b z .... zbytek po dělení čísla n číslem b Příklady: 15 = 2·6 + 3 „zbytek po dělení čísla 15 číslem 6 je 3“ 121 = 11·11 + 0 „zbytek po dělení čísla 121 číslem 11 je 0“

Dělení se zbytkem: Libovolné přirozené číslo n lze pomocí přirozeného čísla b vyjádřit jako: n = k·b + z , kde k a z jsou přirozená čísla nebo nula a z < b z .... zbytek po dělení čísla n číslem b Příklady: 15 = 2·6 + 3 „zbytek po dělení čísla 15 číslem 6 je 3“ 121 = 11·11 + 0 „zbytek po dělení čísla 121 číslem 11 je 0“ Libovolné přirozené číslo n lze vyjádřit jedním ze způsobů: n = 2k, n = 2k+1 nebo n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k +2 nebo n = 4k, n = 4k +1, n = 4k +2, n = 4k +3 ..... atd.

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti) Dělitelnost šesti: Číslo je dělitelné zároveň dvěma a třemi (4 109 640, je dělitelné šesti 4+1+0+9+6+4+0=24)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti) Dělitelnost šesti: Číslo je dělitelné zároveň dvěma a třemi (4 109 640, je dělitelné šesti 4+1+0+9+6+4+0=24) Dělitelnost devíti: Ciferný součet je dělitelný devíti (315 288, je dělitelné devíti 3+1+5+2+8+8=27)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti) Dělitelnost šesti: Číslo je dělitelné zároveň dvěma a třemi (4 109 640, je dělitelné šesti 4+1+0+9+6+4+0=24) Dělitelnost devíti: Ciferný součet je dělitelný devíti (315 288, je dělitelné devíti 3+1+5+2+8+8=27) Dělitelnost deseti: Poslední cifra je 0 (34 077 120 je dělitelné deseti)

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 12 13 64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 13 64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 .... 1,3,9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 .... 1,3,9 231 .... 1,3,7,11,21,33,77,231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 .... 1,3,9 231 .... 1,3,7,11,21,33,77,231 233 .... 1,233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 .... 1,3,9 231 .... 1,3,7,11,21,33,77,231 233 .... 1,233 Každé přirozené číslo n > 1 má alespoň dva dělitele: 1 a n

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 .... 1,3,9 231 .... 1,3,7,11,21,33,77,231 233 .... 1,233 Každé přirozené číslo n > 1 má alespoň dva dělitele: 1 a n Prvočísla jsou všechna přirozená čísla, která mají právě dva dělitele. Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která mají alespoň tři dělitele.

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 .... 1,2,4 5 .... 1,5 12 .... 1,2,3,4,6,12 13 .... 1,13 64 .... 1,2,4,8,16,32,64 9 .... 1,3,9 231 .... 1,3,7,11,21,33,77,231 233 .... 1,233 Každé přirozené číslo n > 1 má alespoň dva dělitele: 1 a n Prvočísla jsou všechna přirozená čísla, která mají právě dva dělitele. Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která mají alespoň tři dělitele. Poznámka: Číslo 1 není ani prvočíslo, ani číslo složené.

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 5 12 13 64 9 231 233

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2·2 5 = 5 12 = 2·2·3 13 = 13 64 = 2·2·2·2·2·2 9 = 3·3 231 = 3·7·11 233 = 233

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2·2 5 = 5 12 = 2·2·3 13 = 13 64 = 2·2·2·2·2·2 9 = 3·3 231 = 3·7·11 233 = 233 Libovolné přirozené číslo lze zapsat jako součin prvočísel.

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2·2 = 22 5 = 5 12 = 2·2·3 = 22·3 13 = 13 64 = 2·2·2·2·2·2 = 26 9 = 3·3 = 32 231 = 3·7·11 233 = 233

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2·2 = 22 5 = 5 12 = 2·2·3 = 22·3 13 = 13 64 = 2·2·2·2·2·2 = 26 9 = 3·3 = 32 231 = 3·7·11 233 = 233 Základní věta aritmetiky: Každé přirozené číslo n >1 lze napsat jediným způsobem ve tvaru: , kde p1 , p2 , .... , pk jsou prvočísla a r1 , r2 , .... , rk jsou přirozená čísla.

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260,1 176) 1 260 = 1 176 =

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 =

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72 Prvočíselný rozklad největšího společného dělitele obsahuje jen prvočísla, která se vyskytují v rozkladech obou čísel, a to vždy v nejmenší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje.

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72 Prvočíselný rozklad největšího společného dělitele obsahuje jen prvočísla, která se vyskytují v rozkladech obou čísel, a to vždy v nejmenší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. D(1 260,1 176) = 22 · 3 · 7 = 84

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72 Prvočíselný rozklad největšího společného dělitele obsahuje jen prvočísla, která se vyskytují v rozkladech obou čísel, a to vždy v nejmenší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. D(1 260,1 176) = 22 · 3 · 7 = 84 Poznámka: Obdobným způsobem určujeme největší společný dělitel tří a více čísel.

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260,1 176) 1 260 = 1 176 =

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 =

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72 Prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku obsahuje všechna prvočísla, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu, a to vždy v nejvyšší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje.

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72 Prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku obsahuje všechna prvočísla, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu, a to vždy v nejvyšší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. n(1 260,1 176) = 23 · 32 · 5 · 72 = 17 640

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a,b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260,1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 3 · 72 Prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku obsahuje všechna prvočísla, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu, a to vždy v nejvyšší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. n(1 260,1 176) = 23 · 32 · 5 · 72 = 17 640 Poznámka: Obdobným způsobem určujeme nejmenší společný násobek tří a více čísel.