FII Elektřina a magnetismus I. Elektrostatika

FII-1 Elektrický náboj. Gaussova věta.

Hlavní body Proč se zabýváme elektrostatikou? Příklady elektrostatických jevů. Elektrický náboj a jeho vlastnosti. Coulombův zákon a jeho použití Elektrické pole a elektrická intenzita Tok elektrické intenzity a Gaussova věta. Hustota náboje. Užití Gaussovy věty k výpočtu speciálních polí

Proč se zabýváme elektrostatikou? Mnoho důležitých vlastností přírody existuje jako důsledek interakcí nabitých částic. Nejprve se budeme zabývat náboji a poli, které jsou statická, tedy v klidu. Je to pro zjednodušení, ale taková pole skutečně po dosažení rovnováhy, jehož detaily se nezabýváme, existují.

Příklady elektrostatických jevů I Hřeben, kterým jsme si právě prohrábli vlasy přitahuje malé kousky papíru. Jedná se o dalekodosahovou sílu, která může být i odpudivá. Pozorované síly přiřazujeme vlastnosti částic, kterou nazýváme elektrický náboj. Většinou se tělesa projevují elektricky neutrálně. Aby na sebe silově působila docílíme buď jejich nabitím nebo přerozdělením jejich náboje.

Příklady elektrostatických jevů II Přerozdělení náboje lze docílit působením na dálku, nazývaným indukce. To se někdy mylně považuje také za nabití. Nabítí je možné jen vedením náboje neboli kondukcí a vyžaduje vodivý kontakt. Jím se na těleso přivede dodatečný náboj nebo se z něj naopak odvede. Pomocí materiálů, zvaných vodiče, lze náboje snadno přenášet. Pomocí jiných, zvaných izolátory, je to obtížné nebo nemožné.

Hlavní vlastnosti náboje Protože existují přitažlivé i odpudivé elektrické síly, náboje musí být dvojího druhu, pozitivní a negativní. Shodné náboje se odpuzují a rozdílné přitahují. Náboje jsou kvantovány - existují jen v násobcích elementárního náboje e = C. Ve všech známých procesech náboje vznikají nebo zanikají pouze v párech (+q a -q), takže se celkový náboj zachovává. Náboj je invariantní vůči Lorentzově transformaci.

Hlavní vlastnosti elektrostatických interakcí Nabité částice na sebe působí silami. Síly : jsou dalekodosahové – zprostředkované elektrickým polem splňují princip superpozice Vzájemnou interakci dvou bodových nábojů v klidu popisuje Coulombův zákon.

Coulombův zákon I Mějme dva bodové náboje Q 1 a Q 2 ve vzdálenosti r od sebe. Potom je velikost síly, kterou na sebe navzájem působí rovna :velikost F = k Q 1 Q 2 / r 2 jednotkou náboje v soustavě SI je 1 Coulomb [C] k = 1/4  0 = Nm 2 /C 2   0 = C 2 / Nm 2 je permitivita vakua

Coulombův zákon II Protože síly jsou vektory, je důležitá i informace o jejich směru. Úplnou informaci dostaneme, umístíme-li bodový náboj Q 1 do počátku a poloha druhého Q 2 bude určena polohovým vektorem. Pro sílu, působící na Q 2 platí : síly působí ve směru spojnice síly působící na oba náboje jsou akce a reakce positivní síla je odpudivá

*Coulombův zákon III Nejobecnější vztah dostaneme, popíšeme-li polohu každého náboje Q i (i=1, 2) jeho vlastním polohovým vektorem. Potom je síla působící na náboj Q 2 rovna : Protože síla závisí jen na rozdílu polohových vektorů, je poloha počátku libovolná.

Srovnání elektrostatického a gravitačního působení Formálně je Coulombův zákon podobný Newtonovu gravitačnímu zákonu. ale elektrostatická síla je ~ (!) krát silnějšísilnější tak slabá síla přesto dominuje ve vesmíru, protože hmota je obvykle neutrálníneutrální nabít nějaké těleso znamená nepatrně porušit obrovskou rovnováhu obrovskou

Koncepce pole Je-li náboj umístěn v určitém bodě prostoru, “vysílá” kolem sebe informaci o své pozici, polaritě a velikosti. Tato informace se šíří rychlostí světla. Může být “zachycena” jiným nábojem. Výsledkem interakce náboje a elektrostatického pole je silové působení.

Elektrická intenzita I Elektrické pole by bylo možné popsat pomocí vektoru síly, která by působila na jistý testovací náboj Q v každém bodě, který by nás zajímal. Tento popis by ale závisel na velikosti a polaritě testovacího náboje, který by se musel uvádět jako doplňující informace. Jinak by byl popis nejednoznačný.

Elektrická intenzita II Vydělením testovacím nábojem je definována elektrická intenzita, která již je jednoznačnou funkcí popisovaného pole : Číselně je rovna síle, která by v daném bodě působila na jednotkový kladný náboj. Intenzita ale nemá rozměr pouhé síly.

Elektrická intenzita III Vydělením testovacím nábojem se informace, jak pole tento náboj “cítí” stává objektivní informací o vlastnosti pole. Je nutné si uvědomit, že vzhledem k dvojí polaritě nábojů, působí síly vyvolané stejným polem na náboje různých polarit silami dokonce opačně orientovanými.

Elektrické siločáry I Elektrické pole je trojrozměrné vektorové pole, které se v obecném případě obtížně znázorňuje. V jednoduchých symetrických příkladech, lze užít siločáry. Jsou to křivky, které jsou v každém bodě tečné k vektorům elektrické intenzity. Velikost se znázorňuje délkou nebo hustotou těchto siločar.

Elektrické siločáry II Kladný náboj nepatrné hmotnosti by se pohyboval po určité siločáře. Záporný by se pohyboval také po siločáře, ale v opačném smyslu. Siločáry se nemohou protnout!

Tok elektrické intenzity Tok elektrické intenzity je definován jako :. Popisuje množství elektrické intenzity, která proteče kolmo ploškou, která je tak malá, aby se intenzita na ní dala považovat za konstantní a je popsána svým vnějším normálovým vektorem. Zopakujme si skalární součin.skalární

Gaussova věta I Celkový tok elektrické intenzity skrz libovolnou uzavřenou plochu je roven celkovému náboji, který plocha obepíná dělený permitivitou vakua Věta je ekvivalentní tvrzení, že siločáry elektrického pole začínají v kladných a končí v záporných nábojích.

Gaussova věta II V nekonečnu mohou siločáry začínat i končit. Gaussova věta platí protože intenzita klesá s r 2, což je v toku intenzity kompenzováno růstem plochy jako r 2. Skalárním součinem je ošetřena vzájemná orientace siločar a plošek.

Gaussova věta III Neuzavírá-li plocha žádný náboj, musí siločáry, které do objemu vstoupí zase někde vystoupit. Je-li celkový uzavřený náboj kladný více siločar vystoupí než vstoupí. Je-li naopak celkový uzavřený náboj záporný více siločar vstoupí než vystoupí. Pozitivní náboje jsou zdroji a negativní propadly. Nekonečno může být i zdrojem i propadlem.

Gaussova věta VI Gaussova věta může být považována za základ elektrostatiky podobně jako Coulombův zákon. Dokonce je obecnější! Gaussova věta je užitečná : pro teoretické úvahy V případech speciální symetriesymetrie

Hustota náboje V reálných situacích obvykle nepracujeme s bodovými náboji, ale s nabitými tělesy. Potom je vhodné zavést nábojovou hustotu, tedy náboj na jednotku objemu, plochy nebo délky, podle symetrie problému. Hustota je obecně funkcí polohy. Jednoduše je použitelná v případě, že tělesa jsou nabita rovnoměrně, jako v případě nabité vodivé roviny.

Pole bodového náboje I Jako Gaussovu plochu volíme povrch koule, v jejímž středu je bodový náboj. Intenzita je v každém bodě kolmá k této ploše, takže je paralelní (nebo antiparalelní) s její vnější normálou. Navíc je její velikost na celé ploše konstantní. Tedy :

Pole bodového náboje II Pro velikost intenzity tedy dostáváme stejný vztah jako z Coulombova zákona : Zde je patrný důvod, proč se v Coulombově zákoně objevuje člen

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát I Nekonečný vodivý drát z rovnováze musí být nabit rovnoměrně a stav jeho nabití tedy můžeme popsat hustotou náboje na jednotkovou délku. Obě veličiny mohou být nekonečné, ale jejich poměr může být konečný. Drát je osou symetrie problému.

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát II Intenzita leží v rovinách kolmých k drátu a je radiální. Jako Gaussovu plochu zvolíme povrch rotačního válce jisté délky L, souosého s drátem. Intenzita je v každém bodě kolmá k plášti válce, čili je paralelní (nebo antiparalelní) s vnější normálou každé plošky, kterou prochází. Současně je velikost intenzity na celém plášti konstantní.

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát III Tok podstavami je nulový, protože zde je vektor intenzity k normálám kolmý. Tedy :

Nekonečný rovnoměrně nabitý drát VI Tím, že je jeden rozměr nabitého tělesa nekonečný, klesá intenzita pouze s první mocninou vzdálenosti. Opět bychom mohli získat stejný výsledek použitím Coulombova zákona, principu superpozice a integrací, ale bylo by to poněkud obtížnější! poněkud

Nekonečná nabitá rovina I Můžeme-li předpokládat rovnoměrné nabití, můžeme definovat plošnou hustotu náboje : Obě veličiny mohou být opět nekonečné, ale mít konečný podíl. Ze symetrie musí být intenzita všude kolmá k nabité rovině.

Nekonečná nabitá rovina II Za Gaussovu plochu zvolíme opět válec, tentokrát kolmý k rovině, tak, aby ho půlila. Tok pláštěm libovolného tvaru bude nulový, nenulový bude jenom tok podstavami o ploše S :

Nekonečná nabitá rovina III Tentokrát intenzita nezávisí na vzdálenosti. Protože má všude stejnou velikost i směr, vytváří nekonečná nabitá rovina speciální, takzvané homogenní pole. Jak se ukáže později homogenní pole je možné popsat jediným parametrem a má velký teoretický i praktický význam.

Dvě paralelní nabité roviny Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou , druhá s hustotou - . Intenzita mezi deskami bude E i a intenzita vně E o. Co platí? A)E i = 0, E o =  /  0 B)E i =  /  0, E o =0 C)E i =  /  0, E o =  /2  0

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin průmětu jednoho vektoru do směru druhého a jeho velikosti. ^

Gaussova věta Přesná definice: V případech speciální symetrie můžeme najít integrační plochu, na níž je velikost E všude stejná a vektor je všude paralelní s vnější normálou. Potom jednoduše: ^

Nekonečný drát z C.z. Intenzita má nenulovou jen radiální složku E r : Všechny proměnné vyjádříme pomocí  a integrujeme od 0 do  : Co je snažší? ^

Dva elektrony 1 m od sebe Jsou elektrostaticky odpuzovány, ale gravitačně přitahovány. Která síla bude větší? ^

Jeden elektron a proton m od sebe To odpovídá jejich vzdálenosti v atomu vodíku. Takovou sílu je principiálně možné změřit makroskopicky! To je tajemství, proč hmota drží pohromadě. ^

Oddělme elektrony a protony z 1 g vodíku a dejme je na póly Země. 1 g je 1 gram-molekula H, takže máme N A = obou typů částic. ^ To je tíha naloženého nákladního vagónu.

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj? Přebytečný náboj : Celkový a přebytečný /celkový náboj : ^