Modifikace úmrtnostních tabulek v pojišťovnictví: generační a unisex tabulky Mgr. Petr Smetana Seminář z aktuárských věd, MFF UK 11. 11. 2005

Obsah generační úmrtnostní tabulky důchodové nedůchodové úmrtnostní tabulky bez závislosti na pohlaví (unisex tabulky) tvorba výpočty a použití – porovnání důsledky – Fair Value

Generační úmrtnostní tabulky Generační úmrtnostní tabulky – proč? 1/2 tvorba složitějších produktů nejen životní pojištění (např. výpočet doživotní renty po úrazu) náročnější na vytvoření a udržování vývoj výpočetní techniky (lepší možnosti výpočtů) pro důchodová pojištění zejména pro (doživotní) zajištění kvůli změnám v průměrné délce života – např. pro penzijní fondy (potřeba plánovat v desítkách let dopředu – cca 50 let) penzijní reforma v ČR potřeba pro co nejpřesnější vyjádření (malé rozdíly mají větší dopad – např. po dobu 40 let)

Generační úmrtnostní tabulky Generační úmrtnostní tabulky – proč? 2/2 pro nedůchodová pojištění opačné riziko – smrt vyšší riziko než standardní úmrtnostní tabulky bezpečnostní rezerva omezení underwritingu: snížení nákladů zahrnutí větší skupiny osob do pojištění zjednodušení produktu (např. vytvoření "flat-rate" pravděpodobností z generačních úmrtnostních tabulek dlouhodobé trvání pojištění pravděpodobnosti úmrtí v generacích klesají – nižší ceny pro mladší generace

Generační úmrtnostní tabulky Projekce a selekce dlouhodobost pojištění x zjednodušení pojištění selekce oceňování zdravotního stavu vliv underwritingu na strukturu pojistného kmene zdravější lidé – negativum pro důchodová pojištění, pozitivum pro riziková pojištění) náklady na underwriting (prohlídky atd.)

Generační úmrtnostní tabulky Zdrojová data úmrtnostní tabulky v českých zemích od roku 1899 jen pro některé roky/generace data po cca 10 letech (do roku 1990) data po jednom roku (od roku 1990) od 0 do 103 let jednoroční intervaly

Generační úmrtnostní tabulky Regrese 1/2 přes 100 let a přes 10 let (t) koeficienty , resp. koeficienty upravené koeficienty s rostoucím věkem nerostoucí úmrtnost žen by měla být nižší než mužů

Generační úmrtnostní tabulky Regrese (graf pro ženy) 2/2

Generační úmrtnostní tabulky Bazická tabulka – selekce 1/2 základní, z ní se bude vše počítat zde zohlednění selekce (váhy) Münich Re Komerční pojišťovna - skutečný počet zemřelých ve věku x v kalendářním roce t - celkový počet osob ve věku x v kalendářním roce t

Generační úmrtnostní tabulky Bazická tabulka – selekce 2/2 data z Komerční pojišťovny cca 136 000 člověkoroků fxKP = fyKP fx_init a LinTrend(fx_init) data z Münich Re cca 367 000 člověkoroků pro muže, cca 442 000 člověkoroků pro ženy fxMR = fyMR celkové váhy dle celkového počtu osob ve kmeni

Generační úmrtnostní tabulky Selekce graficky

Generační úmrtnostní tabulky Bezpečnostní přirážka bazické pravděpodobnosti: bezpečnostní přirážku lze tvořit více způsoby postup doporučovaný kanadskými pojistnými matematiky: kde c je konstanta s doporučenou hodnotou 0,015

Generační úmrtnostní tabulky Výsledné generační pravděpodobnosti pro pravděpodobnost úmrtí ve věku x a v kalendářním roce t platí: názornější je ovšem následující tvar (úmrtnost muže z generačního ročníku t):

Generační úmrtnostní tabulky Ukázky tabulek a grafů – muži Příklad: generační pravděpodobnosti úmrtí (muži - ročníky 1952, 1962, 1972)

Generační úmrtnostní tabulky Ukázky tabulek a grafů – ženy Příklad: generační pravděpodobnosti úmrtí (ženy - ročníky 1952, 1962, 1972)

Generační úmrtnostní tabulky Příklady rizikového poj Generační úmrtnostní tabulky Příklady rizikového poj. pro různé generace Věk Trvání Jednorázové pojistné   1952 1962 1972 20 40 12 494 7 273 4 289 30 8 829 5 681 3 683 7 472 5 140 3 535 50 10 5 187 3 739 2 690 Věk Trvání Roční pojistné   1952 1962 1972 20 40 522 291 168 30 427 269 173 482 327 223 50 10 590 422 302

Unisex úmrtnostní tabulky Úmrtnostní tabulky nezávislé na pohlaví unisex tabulky Proč? zákaz používání pohlaví při stanovení výše pojistného důvodem bylo tvrzení o diskriminaci žen (nižší důchody) Vývoj v EU - diskuse Závěr: směrnice o rovném přístupu ke zbožím a službám požadavky na nepoužívání pohlaví

Unisex úmrtnostní tabulky Varianty konstrukce tabulek průměr tabulek mužů a žen vážený průměr tabulek mužů a žen použití metodologie ČSÚ společná zdrojová data metodologie

Unisex úmrtnostní tabulky Metodologie ČSÚ interní, není veřejně publikována rekonstrukce této metody diplomová práce na MFF UK (1996) úprava metody zdrojová data ČSÚ – počty žijících osob ČSÚ – počty zemřelých osob

Unisex úmrtnostní tabulky Použité pojmy a zdrojová data střední stav průměrný počet jedinců za sledované období značí se většinou se bere dle stavu v polovině období soubor zemřelých třetího řádu počet zemřelých v daném věku z generací narozených v ve dvou po sobě následujících letech (tj. ti, kteří se daného věku v daném roce právě dožili nebo se ještě těsně nestihli dožít věku o jeden rok vyššího)

Unisex úmrtnostní tabulky Demografická síť - Lexisův diagram

Unisex úmrtnostní tabulky Postup 1/3 specifická míra úmrtnosti: výpočet pravděpodobností úmrtí pomocí Novoselského formule II: pouze pro věky 1 – 86 let má tvar modifikovaný tvar pro věk 0: (NZ je počet narozených v daném roce)

Unisex úmrtnostní tabulky Postup 2/3 klouzavé průměry sedmého řádu: pravděpodobnosti dožití: pro věky 1 – 85 let vyšší ročníky – ?

Unisex úmrtnostní tabulky Postup 3/3 extrapolace hodnot pomocí Gompertzovy-Makehamovy formule: pro věky 85 let a výše obecný tvar: metoda Kinga-Hardyho z maximálních intervalů mezi věky 60 – 83 let: „intervalová metoda odhadu“ (posun o rok) 61 – 68, 69 – 76, 77 – 84 výsledkem jsou hodnoty pro věky 75 – 103 neostré navázání pomocí vážených přechodů

Unisex úmrtnostní tabulky Navázání (King-Hardy)

Unisex úmrtnostní tabulky Další spočtené parametry tabulkový počet dožívajících tabulkový počet zemřelých tabulkový počet žijících počet let života, které má tabulková generace (tedy nikoliv jednotlivec) v daném věku ještě před sebou střední délka života (naděje dožití)

Unisex úmrtnostní tabulky Výsledek – tabulka, graf tabulka ve tvaru publikovaném ČSÚ graf v logaritmickém měřítku porovnání se samostatnými pravděpodobnostmi pro muže a pro ženy

Unisex úmrtnostní tabulky Graf – unisex pravděpodobnosti

Unisex úmrtnostní tabulky Praktické výsledky – vzorové tarify Definice vzorových pojištění: smíšené pojištění: pojistnou událostí je smrt pojištěného do určitého (předem daného) věku nebo dožije-li se pojištěný určitého (předem daného) věku rizikové pojištění (dočasné pojištění pro případ smrti): pojistnou událostí je pouze smrt do určitého (předem daného) věku v případě, že ke smrti pojištěného nedojde, nic se nevyplácí důchodové pojištění: v případě dožití se určitého věku je pojištěnému od tohoto věku vyplácen (zpravidla) měsíční (zpravidla) doživotní důchod důchod je stanoven na počátku

Unisex úmrtnostní tabulky Smíšené pojištění - nettopojistné U smíšeného pojistného vliv úmrtnostních tabulek není významný, zejména jedná-li se o jednorázové pojistné: potřeba dosáhnout na konci pojištění na cílovou částku převáží riziko smrti. Věk Doba trvání Jednor. poj. – uni (U) Jednor. poj. – muži (M) Jednor. poj. – ženy (F) Poměr U/M (%) Poměr U/F (%) Poměr M/F (%) 20 40 40 065 Kč 40 617 Kč 39 492 Kč 98,64 % 101,45 % 102,85 % 30 50 381 Kč 50 876 Kč 49 871 Kč 99,03 % 101,02 % 102,02 % 63 364 Kč 63 792 Kč 62 930 Kč 99,33 % 100,69 % 101,37 % 50 10 79 476 Kč 79 715 Kč 79 241 Kč 99,70 % 100,30 % 100,60 % Věk Doba trvání Roční poj. - uni (U) Roční poj. - muži (M) Roční poj. - ženy (F) Poměr U/M (%) Poměr U/F (%) Poměr M/F (%) 20 40 1 567 Kč 1 603 Kč 1 530 Kč 97,73 % 102,42 % 104,80 % 30 2 380 Kč 2 427 Kč 2 332 Kč 98,03 % 102,06 % 104,10 % 4 054 Kč 4 129 Kč 3 979 Kč 98,17 % 101,88 % 103,78 % 50 10 9 076 Kč 9 211 Kč 8 947 Kč 98,54 % 101,44 % 102,95 %

Unisex úmrtnostní tabulky Smíšené pojištění – nettorezerva jednorázová

Unisex úmrtnostní tabulky Smíšené pojištění – nettorezerva běžná

Unisex úmrtnostní tabulky Rizikové pojištění - nettopojistné U rizikového pojištění použití unisex tabulek nezávislých na pohlaví výrazně zdraží pojistné pro ženy a naopak výrazně zlevní pojistné pro muže. Věk Doba trvání Jednor. poj. – uni (U) Jednor. poj. – muži (M) Jednor. poj. – ženy (F) Poměr U/M (%) Poměr U/F (%) Poměr M/F (%) 20 40 5 863 Kč 8 262 Kč 3 599 Kč 72,17 % 165,68 % 229,58 % 30 6 860 Kč 9 443 Kč 4 229 Kč 72,65 % 162,20 % 223,27 % 7 594 Kč 10 461 Kč 4 712 Kč 72,59 % 161,17 % 222,03 % 50 10 6 701 Kč 9 361 Kč 4 100 Kč 71,58 % 163,43 % 228,31 % Věk Doba trvání Roční poj. - uni (U) Roční poj. - muži (M) Roční poj. - ženy (F) Poměr U/M (%) Poměr U/F (%) Poměr M/F (%) 20 40 233 Kč 326 Kč 139 Kč 71,51 % 167,27 % 233,92 % 30 324 Kč 451 Kč 198 Kč 71,92 % 163,87 % 227,84 % 486 Kč 677 Kč 298 Kč 71,74 % 163,08 % 227,32 % 50 10 765 Kč 1 082 Kč 463 Kč 70,74 % 165,30 % 233,65 %

Unisex úmrtnostní tabulky Rizikové pojištění – nettorezerva jednorázová

Unisex úmrtnostní tabulky Rizikové pojištění – nettorezerva běžná

Unisex úmrtnostní tabulky Důchodové pojištění - nettopojistné U důchodového pojištění se nejvíce projevuje skutečnost, že se počítá s pravděpodobnostmi úmrtí až do vysokých věků (tj. výrazně se projeví efekt snížení či zvýšení pravděpodobností úmrtí v důsledku toho, že se nepoužije pohlaví jako vstupní parametr). Tento efekty je zde ale samozřejmě opačný než v ostatních případech. Věk Doba trvání Jednor. poj. – uni (U) Jednor. poj. – muži (M) Jednor. poj. – ženy (F) Poměr U/M (%) Poměr U/F (%) Poměr M/F (%) 20 40 58 629 Kč 50 595 Kč 71 864 Kč 115,88 % 81,58 % 70,40 % 30 74 821 Kč 64 791 Kč 91 382 Kč 115,48 % 81,88 % 70,90 % 95 880 Kč 83 397 Kč 116 564 Kč 114,97 % 82,26 % 71,55 % 50 10 125 114 Kč 110 017 Kč 150 445 Kč 113,72 % 83,16 % 73,13 % Věk Doba trvání Roční poj. - uni (U) Roční poj. - muži (M) Roční poj. - ženy (F) Poměr U/M (%) Poměr U/F (%) Poměr M/F (%) 20 40 2 293 Kč 1 997 Kč 2 784 Kč 114,81 % 82,36 % 71,74 % 30 3 534 Kč 3 091 Kč 4 272 Kč 114,33 % 82,72 % 72,35 % 6 134 Kč 5 398 Kč 7 370 Kč 113,62 % 83,23 % 73,25 % 50 10 14 287 Kč 12 712 Kč 16 986 Kč 112,40 % 84,12 % 74,84 %

Unisex úmrtnostní tabulky Důchodové poj. – nettorezerva jednorázová

Unisex úmrtnostní tabulky Důchodové pojištění – nettorezerva běžná

Unisex úmrtnostní tabulky Jiný způsob tvorby unisex hodnot pomocí kombinací na úrovni výsledků – (vážené) průměry pojistných na úrovni vstupních parametrů – (vážené) průměry pravděpodobnostní úmrtí např. takto kde k jsou poměry mužů a žen v portfoliu ( 0<= k <= 1 )

Unisex úmrtnostní tabulky Vážené průměry – jednorázové smíšené poj.

Unisex úmrtnostní tabulky Vážené průměry – běžné smíšené pojištění

Unisex úmrtnostní tabulky Vážené průměry – jednorázové rizikové poj.

Unisex úmrtnostní tabulky Vážené průměry – běžné rizikové pojištění

Unisex úmrtnostní tabulky Vážené průměry – jednorázové důchodové poj.

Unisex úmrtnostní tabulky Vážené průměry – běžné důchodové pojištění

Unisex úmrtnostní tabulky Fair Value Tato metoda pracuje s budoucími finančními toky, které z jednotlivých pojistných smluv mohou vyplynout. Zahrnuje v sobě mj.: skutečné chování pojistného kmene (stornovost, úmrtnost apod.); skutečnou nákladovost v pojišťovně (náklady na jednotlivé pojistné smlouvy v jednotlivých letech trvání těchto smluv atd.); očekávané chování finančních trhů (zda a jak bude pojišťovna schopna vydělat investováním svěřených prostředků (jako rozdíl oproti garantované technické úrokové míre)) Výsledkem je hodnota, kterou by měla pojišťovna považovat za rezervu – je to částka, kterou by měla v budoucnu vydat na pokrytí svých závazků plynoucích z uzavřených pojistných smluv.

Unisex úmrtnostní tabulky Komentáře k Fair Value 1/2 Složitý způsob výpočtu: komplikované modely (náročná kontrola správnosti) část portfolia Nepřesnost výpočtu: zprůměrované portfolio Časová náročnost výpočtu: nedostatečné softwarové nástroje (důvodem je např. cena) použití např. MS Excelu (rychlost výpočtu není dostatečná)

Unisex úmrtnostní tabulky Komentáře k Fair Value 2/2 Nestálost výpočtu: vstupní parametry jsou nepřesné - jsou použity parametry, které jsou pouze odhadovány nutné opakování pro zmírnění nepřesností (dále jsou též prováděny testy citlivosti) porovnání spočtené hodnoty FV s "klasickým" výpočtem bruttorezervy pomocí standardních aktuárských vztahů aktuárské výpočty jsou stabilní (nemění se v čase) – kvůli obezřetnosti jsou porovnávány s FV např.: Jsou-li spočtené hodnoty FV větší než spočtené hodnoty klasických rezerv, použijí se do bilance (účetnictví, výkazů atd.) hodnoty spočtené pomocí FV. Jsou-li však spočtené hodnoty FV menší než spočtené hodnoty klasických rezerv, z důvodu obezřetnosti jsou do výkazu použity vyšší hodnoty spočtené klasicky.

Unisex úmrtnostní tabulky Testy citlivosti FV Některé důvody pro provádění testů citlivosti: eliminace nestálosti upřesnění výsledků závislost na vstupních parametrech kdy má smysl se je snažit zpřesnit a kdy ne Způsoby provádění testů citlivosti: změna vstupních parametrů změna pouze jednoho parametru x změna více parametrů najednou multiplikativní efekty Odborná směrnice č. 3 České společnosti aktuárů varianty testů pro různé vstupní parametry doporučené testy citlivosti

Unisex úmrtnostní tabulky Další test citlivosti FV Směrnice EU hrozící možnost implementace v ČR test dopadů v ČR – na jaké typy pojištění jsou největší? Použití unisex úmrtnostních tabulek shodné pojistné i rezervy pro muže i ženy Skutečná úmrtnost mužů a žen bude různá výhoda: více mužů nebo více žen? Test citlivosti na strukturu portfolia změna poměru mužů a žen relativní i absolutní změny

Unisex úmrtnostní tabulky Analýza na reálných datech Tři druhy portfolií smíšené pojištění rizikové pojištění pro případ smrti důchodové pojištění Základem jsou upravená reálná portfolia několik set pojistných smluv v každém portfoliu struktura mužů a žen odpovídá realitě testy změn struktury mužů a žen (změna poměru) M / Ž ---> 0% / 100% 10% / 90% 20% / 80% … 100% / 0%

Unisex úmrtnostní tabulky Vlastní výpočet FV = příjmy – výdaje (ve smlouvě i) příklad pro smíšené pojištění:

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – smíšené pojištění (graf)

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – smíšené pojištění (hodnoty) Podíl (M/F) Fair Value Podíl (%) Rozdíl 0:100 9 968 868 88,80% 1 256 768 10:90 10 302 454 91,78% 923 182 20:80 10 477 067 93,33% 748 569 30:70 10 642 683 94,81% 582 953 40:60 10 902 535 97,12% 323 101 50:50 11 026 553 98,23% 199 083 56:44 11 225 636 100,00% 60:40 11 312 024 100,77% -86 388 70:30 11 438 283 101,89% -212 647 80:20 11 564 653 103,02% -339 017 90:10 11 689 649 104,13% -464 013 100:0 11 841 444 105,49% -615 808

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – smíšené pojištění (komentář) Použití unisex úmrtnostních tabulek v sobě implikuje to, že v pojistném kmeni bude přibližně polovina mužů a polovina žen. Jakákoli odchylka od tohoto stavu má za následek odchýlení pojišťovny od ideálních výsledků. Bylo-li by v portfoliu pojišťovny 100% mužů, pojišťovna by měla tvořit nejvyšší rezervy. Naopak: pojistila-li by pojišťovna pouze ženy (za unisexové pojistné), vydělala by na tom. Rozdíl FV mezi oběma krajními hodnotami činí přibližně 16%, což je již dostatečné číslo na to, aby toto bylo třeba vzít do úvahy. Dále je třeba vzít do úvahy to, že zkoumané portfolio bylo relativně malé – pojišťovny mohou běžně mít portfolio o desetinásobné velikosti a v tom případě už by se v absolutních částkách mohlo jednat o docela velké obnosy.

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – rizikové pojištění

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – rizikové pojištění (hodnoty) Podíl (M/F) Fair Value Podíl (%) Rozdíl 0:100 -30 843 134 142,32% -9 170 864 10:90 -29 567 450 136,43% -7 895 180 20:80 -28 521 216 131,60% -6 848 946 30:70 -27 195 707 125,49% -5 523 437 40:60 -25 499 722 117,66% -3 827 452 50:50 -23 999 365 110,74% -2 327 094 60:40 -22 697 603 104,73% -1 025 332 70:30 -21 672 270 100,00% 80:20 -20 353 019 93,91% 1 319 251 90:10 -18 940 739 87,40% 2 731 531 100:0 -17 464 042 80,58% 4 208 228

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – rizikové pojištění (komentář) Záporná hodnota FV znamená, že pojištění je ziskové a vydělává (resp. že by nebylo třeba tvořit rezervy) - je to způsobeno mj. nastavením vyšších nákladových parametrů. Prakticky to znamená, že čím vyšší absolutní hodnota FV, tím je to pro pojišťovnu výhodnější. Nejmenší hodnota (ale největší v absolutních číslech) pro portfolio, kde jsou pouze ženy znamená, že pojišťovna by mohla chtít stejně jako v případě smíšeného životního pojištění pojišťovat pouze ženy ale za unisexové pojistné. Rozdíl FV mezi oběma krajními hodnotami činí přibližně 62%, což je způsobeno tím, že zde není žádná spořící složka, která by tyto extrémy vyvažovala. Velké rozdíly byly vidět již dříve při porovnání nettopojistných. Opět je třeba vzít do úvahy to, že zkoumané portfolio bylo relativně malé – pojišťovny mohou běžně mít portfolio několikanásobně větší a pak už se mohlo v absolutních číslech jednat o výrazné rozdíly v částkách.

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – důchodové pojištění

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – důchodové pojištění (hodnoty) Podíl (M/F) Fair Value Podíl (%) Rozdíl 0:100 83 987 516 100,75% 623 903 10:90 83 862 740 100,60% 499 128 20:80 83 768 551 100,49% 404 938 30:70 83 661 506 100,36% 297 894 40:60 83 554 502 100,23% 190 889 50:50 83 447 986 100,10% 84 373 60:40 83 363 613 100,00% 70:30 83 260 535 99,88% -103 078 80:20 83 166 174 99,76% -197 438 90:10 83 076 309 99,66% -287 304 100:0 82 994 258 99,56% -369 354

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – důchodové poj. (komentář) 1/2 Pro důchodové pojištění přibylo období výplaty důchodu, pro které je třeba počítat rezervu. O různé hodnotě FV pro muže a ženu rozhoduje pouze toto období a v něm použitá skutečná úmrtnost. To vede k tomu, že v portfoliu, kde je více žen, budou důchody vypláceny delší dobu a tedy to bude pojišťovnu stát více, než bylo kalkulováno pomocí unisex tabulek. V případe důchodového pojištění jsou výsledky opačné než v případě smíšeného pojištění a to odpovídá též opačnému poměru pojistných oproti smíšenému pojištění. Nejmenší hodnota pro portfolio, kde jsou pouze muži, znamená, že pojišťovna by mohla chtít rozdílně oproti smíšenému životnímu pojištění pojišťovat pouze muže ale za unisexové pojistné.

Unisex úmrtnostní tabulky Citlivost FV – důchodové poj. (komentář) 2/2 Rozdíl FV mezi oběma krajními hodnotami činí přibližně 1%, což je způsobeno zejména konstrukcí produktu – výplata je pouze v případě dožití se věku nápadu důchodu toto pojištění se prakticky skládá ze dvou částí, které působí proti sobě a částečně se navzájem vyrovnávají: do věku nápadu důchodu je výhodnější pojistit ženu (menší pravděpodobnost úmrtí) po věku nápadu důchodu je výhodnější mít v portfoliu muže (zemřou spíše než ženy) Pozn.: To 1% je však v absolutních číslech více než osminásobná částka oproti výše uvedenému smíšenému pojištění (cca 80 mil. proti cca 10 mil.).

Unisex úmrtnostní tabulky Závěrečná doporučení "V případě, že je k tvorbě pojistného použit unisex přístup, je třeba provést stress-test struktury portfolia a o tyto testy rozšířit odpovídající část Odborné směrnice č. 3." Empiricky byl ukázán jeden z možných testů. Příklad doporučení je v následující tabulce: Druh pojištění % mužů % žen % posunu Smíšené pojištění 60 % 40 % +/- 10 % Rizikové pojištění 85 % 15 % Důchodové pojištění 20 % 80 %

Děkuji za pozornost.