UMOŘOVÁNÍ DLUHU Užití GP v praxi 1

Nejjednodušší případ, kterým se budeme zabývat v hodinách matematiky Splácení dluhu a z něho plynoucích úroků pravidelnými, stále stejně velkými částkami, po dobu několika úrokovacích období. 2

Důležité pojmy: dluh roční splátka, anuita úroková míra úročitel 3

Roční splátka, anuita, ozn. s Dluh, ozn. K finanční hodnota, kterou musíme splatit (umořit) za n úrokovacích obdobích Roční splátka, anuita, ozn. s pravidelně placená částka, vždy koncem úrokovacího období Úroková míra, ozn. p výše odměny vyjádřená v procentech Úročitel, ozn. r 4

Označení definovaných veličin odpovídá označení v MFCHT: strana 29, Vzorce finanční aritmetiky.

Ukázkový příklad: Za jak dlouho umoříme (splatíme) dluh 5 000,- Kč při úročení 10 % p.a. ročními anuitami (splátkami) 1 150,- Kč placenými koncem roku? Zápis: K = p = s = n = 5 000,- Kč 10 % p.a.  r = 1,1 1 150,- Kč ? 6

rok dluh zač. roku Kč anuita Kč úrok (10%) Kč skutečná splátka Kč dluh (konec roku) Kč – – 1. 5 000,– 1 150,– 500,– 650,– 4 350,– – – 2. 4 350,– 1 150,– 435,– 715,– 3 635,– – – 3. 3 635,– 1 150,– 364,– 786,– 2 849,– – – 4. 2 849,– 1 150,– 285,– 865,– 1 984,– – – 5. 1 984,– 1 150,– 198,– 952,– 1 032,– – – 6. 1 032,– 1 150,– 103,– 1 047,– –15,– Za daných podmínek umoříme dluh za necelých 6 let. K 7

ODVOZENÍ VZORCE (umořování dluhu) 8

Dluh = součet všech skutečných splátek součet n členů GP: a1 q = r (každý následující sčítanec – člen GP je r krát větší) zúročený vklad + 2. zúročený vklad + ... + poslední zúročený vklad 9

VZORCE Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost dluhu, jenž můžeme za n let umořit, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin: roční splátka, anuita, s počet let, po které dluh splácíme, n 10

s = ? strany nejprve zaměníme pro lepší orientaci 11

n = ? hledáme převrácenou hodnotu pravé strany  je vhodné mít levou stranu také ve tvaru jednoduchého zlomku 12

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Příklad 1: Jaký dluh umořím za 7 let pravidelnými ročními anuitami 15 000,- Kč při 25 % p.a.? Řešení: n = 7 let s = 15 000,- Kč p = 25 % p.a. K = ?  r = 1,25

Příklad 2: Kolik musí činit každoroční anuity, abychom zaplatili dluh 90 000,- Kč za 10 let při 21 % p.a.? Řešení: K = 90 000,- Kč n = 10 let p = 21 % p.a. s = ?  r = 1,21 Všimněte si, že splátka je vždy větší než část, kterou si „bere“ banka: s  21 % z 90 000,- Kč, tzn. s  18 900,- Kč

Příklad 3: Za jak dlouho umořím dluh 50 000,- Kč při 15 % p. a Příklad 3: Za jak dlouho umořím dluh 50 000,- Kč při 15 % p.a. pravidelnými ročními anuitami 9 000,- Kč? Řešení: K = 50 000,- Kč p = 15 % p.a. s = 9 000,- Kč n = ? !! s  15 % z 50 000,- Kč, tzn. s  7 500,- Kč  r = 1,15

Příklad 4: Za jak dlouho umořím dluh 200 000,- Kč při 17 % p. a Příklad 4: Za jak dlouho umořím dluh 200 000,- Kč při 17 % p.a. pravidelnými ročními anuitami 30 000,- Kč? Řešení: K = 200 000,- Kč p = 17 % p.a. s = 30 000,- Kč n = ? !! s  17 % z 200 000,- Kč, tzn. s  34 000,- Kč  r = 1,17 Za daných podmínek dluh nelze splatit.

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

180 000,- Kč za a) 5 let, b) 7 let, c) 9 let? Jaký dluh umořím za 20 let pravidelnými ročními anuitami 60 000,- Kč při a) 17 % p.a., b) 12 % p.a., c) 7 % p.a.? Kolik musí činit každoroční anuity, abychom při 11 % p.a. zaplatili dluh 180 000,- Kč za a) 5 let, b) 7 let, c) 9 let? [a) 337 666,- Kč, b) 448 167,- Kč, c) 635 641,- Kč] [a) 48 703,- Kč, b) 38 199,- Kč, c) 32 508,- Kč ] 19

Za jak dlouho umořím dluh 500 000,- Kč při 8 % p. a Za jak dlouho umořím dluh 500 000,- Kč při 8 % p.a. pravidelnými ročními anuitami a) 50 000,- Kč, b) 70 000,- Kč, c) 100 000,- Kč? Za jak dlouho umořím dluh 100 000,- Kč pravidelnými ročními anuitami 15 000,- Kč při a) 17 % p.a., b) 12 % p.a., c) 8 % p.a.? [a) 20 let a 11 měsíců, b) 11 let, c) 6 let a 8 měsíců] [a) dluh nelze splatit, b) 14 let a 2 měsíce, c) 9 let a 11 měsíců] 20

Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 3, s. 78–85