Robustní vyrovnání Věra Pavlíčková, únor 2014

Stručně o vyrovnání Při měření sítí jsou změřeny nadbytečné veličiny Abychom dosáhli jediného výsledku, měření opravíme tak, aby opravy vyhovovaly stanovené podmínce Nejčastěji se používá vyrovnání metodou nejmenších čtverců

Metoda nejmenších čtverců Opravy vyhovují podmínce Σpv2 je minimální Výhody Jednoduchý výpočet Nevytváří příliš velké opravy ->výsledky se příliš neliší od měřených hodnot Metoda je všeobecně známá, používaná a tedy prověřená Nevýhody Správné fungování MNČ předpokládá normální rozdělení chyb I malé odchylky od normálního rozdělení pravděpodobnosti mají značný vliv na kvalitu výsledku->jen několik hrubých chyb může znehodnotit jinak kvalitní měření.

Normální rozdělení Náhodné chyby odpovídají normálnímu rozdělení Oscilují kolem nulové hodnoty Pravděpodobnost výskytu kladné a záporné chyby určité velikosti je stejná

Robustní statistické metody Oproti klasickým metodám si zachovávají funkčnost v určitém okolí normálního rozdělení neselžou při „mírném“ nesplnění požadavku na normální rozdělení chyb, tj. pokud jsou správná měření kontaminována odlehlými měřeními Čím větší odolnost vůči odlehlým měřením, tím robustnější metody

Robustní vyrovnání Využívá se pro vyhledání hrubých chyb a jejich vyloučení z výpočtu Samotné vyrovnání je následně provedeno metodou nejmenších čtverců Malé množství chybných měření lze odhalit testy odlehlých měření, v případě vyšší kontaminace je vhodné (nutné) použít pro jejich identifikaci robustní vyrovnání

rozdělení Nejrozšířenější třídy odhadů robustní statistiky jsou: M-odhady jsou založeny na metodě maximální věrohodnosti (maximum-likelihood) L-odhady jsou založeny na výpočtu lineárních kombinací pořadových statistik a R-odhady jsou založeny na neparametrických testech

M-odhady

M-odhady Hledá řešení, které je nejpravděpodobnější Jako podezřelá měření bere měření s největší opravou Normovaná chyba Normovaná oprava Korekční člen w představuje určitou váhu měření, jejichž velikost je přímo závislá na velikosti normované opravy, tj.

M-odhady Koeficienty w se sestaví do diagonální váhové matice W Tato matice se použije jako matice vah ve zprostředkujícím vyrovnání Váhy wi závisí na opravách vi, tj. na odhadu neznámých x. Odhad tedy musí být určován iterativně, jako první aproximaci lze použít výsledek metody nejmenších čtverců.

Huberův M-odhad Až na násobný koeficient se jedná o metodu nejmenších čtverců a metodu nerobustní, váha je konstantní wi = 1. Volí se konstanta c, která závisí na četnosti odlehlých měření Vlivová funkce ψ při MNČ Vlivová funkce ψ při Huberově M-odhadu

Huberův M-odhad Váhy se volí podle předpisů Odvození je pro případ, kdy jsou všechna měření stejně přesná. Pokud máme různě přesná měření, wi se použije jako násobný koeficient.

Použitá literatura 18. Metody robustního odhadu. IngGeo - portál inženýrské geodézie. Dostupné z: http://inggeo.fsv.cvut.cz/wiki/doku.php?id= 04_teorie_chyb:0418_robustni_odhad Prezentace diplomové práce: Kontrola stability sítě v reálném čase pomocí přístroje Leica TCA2003, Petr Polák. Dostupné z: svambor.borec.cz/diplomka/poli.ppt Česká statistická společnost. Dostupné z: http://www.statspol.cz/robust

Děkuji za pozornost Konference ROBUST je nejvýznamnějším setkáním statistiků pořádaným Českou statistickou společností (pořádaná poprvé v r. 1980 a dále každý sudý rok jako letní či zimní škola, původně organizovaná JČSMF, později JČMF za podpory ČStS).