Exponenciální rovnice Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 1

Exponenciální rovnice Je obecné označení pro rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu (mocniteli, resp. v odmocniteli). Typů těchto rovnic je celá řada. Při jejich řešení se používají následující postupy: běžné ekvivalentní i neekvivalentní úpravy rovnic (sečtení členů, vytknutí před závorku, přičtení výrazu k rovnici, vynásobení nenulovým výrazem apod.), úprava výrazů pomocí vzorečků pro počítání s mocninami, zlogaritmování rovnice, zavedení substituce. Poznámka: – jednotlivé postupy se nemusí použít všechny, – postupy nemusí být použity právě v tomto pořadí, – stejný typ postupu se při řešení rovnice může vyskytnout několikrát.

Běžné úpravy Cílem těchto úprav je rovnici zjednodušit a/nebo převést do součinového tvaru, tedy do tvaru, kdy jsou obě strany rovnice tvořeny jedním členem nebo součinem dvou (či více) výrazů. Součinový tvar je výhodný z toho důvodu, že na součin lze aplikovat vzorce pro práci s mocninami (viz následující strana) nebo zlogaritmování (a následně použití vzorců pro práci s logaritmy), a tím rovnici dále zjednodušit. Příklad zjednodušení exponenciální rovnice pomocí běžných úprav: Dořešení rovnice je již triviální (x = 3).

Úpravy rovnice pomocí vzorců pro práci s mocninami Cílem těchto úprav je opět rovnici zjednodušit. Lze použít tyto vzorce: Příklad zjednodušení exponenciální rovnice pomocí vzorců:

Zlogaritmování rovnice Cílem je převedení neznámé z exponentu „na řádek“ pomocí vzorce logabx = x·logab (tím převedeme exponenciální rovnici na lineární či kvadratickou. Lze použít i další vzorce pro úpravu logaritmů. Jelikož neexistují vzorce pro logaritmus součtu a rozdílu, má smysl logaritmovat pouze rovnici upravenou do tvaru, ve kterém se nevyskytuje sčítání či odčítání. Zpravidla se zlogaritmování rovnice provádí až v okamžiku, kdy jiné úpravy nejsou možné, tedy na rovnici maximálně zjednodušenou. Příklad zlogaritmování rovnice:

Substituce Smyslem substituce je zpřehlednit zápis rovnice tím, že místo složitého výrazu zapisujeme zpravidla pouze nějaké písmeno. Po vyřešení zjednodušené rovnice je nutné substituci „vrátit“ a dopočítat původní neznámou! Příklad užití substituce:

Aplikace a praktické využití exp. rovnic Exponenciální rovnice lze v praxi využít tam, kde se vyskytuje exponenciální růst či pokles, např. amortizace, zhodnocování, úmrtnost atd. Příklad: Cena uměleckého předmětu meziročně roste o 5 %. Za jak dlouho bude jeho cena trojnásobná? Řešení: Cenu předmětu označme jak c, počet roků jako x. Cena předmětu bude vždy 105 % z ceny, kterou měl předmět před rokem, tedy 1,05 násobek původní ceny. Sestavme rovnici: Odpověď: Předmět bude mít trojnásobnou cena asi za 22 a půl roku.

Shrnutí Při řešení exponenciálních rovnic používáme několika postupů. Jejich smyslem je rovnici co nejvíce zjednodušit a upravit do tvaru ab = c, případně přes substituci převést na rovnici jiného (jednoduššího) typu. Pomocí jednotlivých postupů se snažíme sjednotit exponenty v rovnici, nebo sjednotit základy mocnin (pak můžeme použít vzorce pro práci s mocninami), v ideálním případě sjednotit obojí a zavést substituci. Pokud rovnice obsahuje pouze součiny a podíly, lze logaritmovat, ale vhodnější je logaritmovat až po vyčerpání jiných postupů. Podmínky řešitelnosti nevyplývají ze samotného exponentu, jelikož v exponentu může být libovolné číslo. Podmínky však mohou vyplývat ze zlomků a odmocnin (viz definiční obory), obdobně jako u jiných typů rovnic.