58. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Nadreálná čísla Jiřetín 2008

O čem budeme dnes večer hovořit? Seznámíme se s matematickou teorií, která: se zabývá některými hrami pro dva hráče, ukáže například, jak lze tyto hry „sčítat“, zavede např. kladné hry pomocí herní strategie, nazve jisté speciální hry čísly, vysvětlí, jak se hry-čísla násobí a odmocňují, a konečně odhalí, že tyto hry-čísla obsahují nejenom všechna reálná čísla, ale mnoho dalších nekonečně malých i nekonečně velkých čísel.

Úvod Důležité teorie, které předcházely teorii nadreálných čísel (Dedekind a Cantor)

Jak Dedekind tvoří iracionální čísla? Vychází z množiny všech racionálních čísel … Q. Při tvorbě nového (iracionálního) čísla rozloží množinu Q na dvě neprázdné podmnožiny A, B tak, že: pro každá dvě čísla a  A, b  B platí, že a  b, množina A nemá maximum, množina B nemá minimum. Uspořádané dvojici množin (A;B) říká řez v množině Q.

Příklad jednoho iracionálního čísla: Definujme množiny A, B takto: B =  b  Q  b  0  b 2  2 , A = Q – B Jsou obě množiny neprázdné? Proč tvoří rozklad množiny Q? Proč pro každá dvě čísla a  A, b  B platí, že a  b? Opravdu nemá množina B své minimum? Jak odůvodnit, že množina A nemá maximum? Tento řez (A;B) množině Q definuje iracionální číslo, kterému říkáme „druhá odmocnina ze dvou“.

Jak Cantor tvoří přirozená a ordinální čísla? Ordinální čísla (mezi něž patří i přirozená čísla) jsou postupně vytvářena takto: Každé ordinální číslo je množina všech již dříve vytvořených ordinálních čísel. 0 =   1 =  0  2 =  0  1  3 =  0  1  2  atd.  =  0  1  2  3  ……   +1 =  0  1  2  3  …     +2 =  0  1  2  3  …     +1  atd.

Představa ordinálních čísel 0, 1, 2, …., ω, ω+1, ω+2,...., ω+ω = ω.2, ω.2+1, ω.2+2, ω.2+3, …., ω.2+ω = ω.3, …., ω.4, …, ω.5, ……., ω.ω = ω 2, ω 2 +1, ω 2 +2, …., ω 2 +ω, …, ω 2 +ω.2, ….., ω 2 +ω.3, ….., ω 2 +ω.ω = ω 2 +ω 2 = ω 2.2, ω 2.2+1, ….., ω 2.3, …, ω 2.4, …, ω 2.ω = ω 3, …, ω 4, …, ω 5, …, ω ω, ω ω +1, …., ω ω +ω, …., ω ω +ω.2, …., ω ω +ω 2, …., ω ω +ω 3, …., ω ω +ω ω = ω ω.2, …., ω ω.3, …., ω ω.ω, …………………………………

Základní představa her Jakými objekty se vlastně budeme zabývat? Jaký význam pro nás bude mít slovo „hra“?

Pojďme si zahrát nějakou hru! Budeme hrát na „stromečkovém schématu“: L-hráč táhne vždy vlevo nahoru, R-hráč táhne vždy vpravo nahoru. Tahy na sebe navazují. Kdo nemůže dál táhnout, prohrává. R ► L L ► L tj. ► L

Hra a její subhry Je-li ve hře x na tahu levý hráč, může táhnout do libovolné subhry x L, analogicky pravý hráč může táhnout do libovolné subhry x R. Hra x je zcela určena svými subhrami, píšeme x   x L  x R .

Hry jako matematické objekty Základní konstruktivní definice Induktivní důkazy Opačné hry Sčítání her

Konstruktivní definice her Jestliže jsou dány dvě libovolné množiny her (prvky první množiny budeme označovat x L a prvky druhé množiny x R ), pak můžeme zkonstruovat novou hru x   x L  x R . Všechny hry jsou konstruovány tímto způsobem. 0. den našeho „tvoření nemáme k dispozici zatím žádnou hru, ale můžeme vytvořit hru, která bude mít obě své podmnožiny subher prázdné! Později ukážeme, že je vhodné označit: 0    

A co dál? 1. den našeho tvoření již máme k dispozici jednu hru 0 a můžeme tedy vytvořit tři nové hry: 1   0   -1    0  *   0  0  2. den našeho tvoření již máme k dispozici čtyři hry a můžeme vytvořit řadu dalších nových her, například: 1/2   0  1     0  *   0; 1; *  -1; *  atd.

Jak budeme dokazovat tvrzení o hrách? Protože všechny hry x   x L  x R  jsou vytvořeny ze svých subher x L a x R, a proces „tvoření“ začíná hrou 0, můžeme obecná tvrzení o hrách dokazovat indukcí. Pro důkaz věty tvaru „pro každou hru x platí tvrzení T(x)“ stačí ukázat, že platí: (1) tvrzení T(x) platí pro hru 0, (2) platí-li tvrzení T(x) pro všechny subhry x L a x R, platí i pro hru x   x L  x R .

Opačné hry Vymění-li si levý a pravý hráč své role, projeví se to na stromečku tak, jakoby se otočil kolem svislé osy o Definice Ke hře x   x L  x R  definujeme opačnou hru takto: -x   -x R  -x L .

Zahrajme si „simultánku“! Hraje se na dvou stromečcích zároveň. Je-li hráč na tahu, dělá dovolený tah buď v jednom anebo v druhém stromečku.

Součet her x + y   x L + y ; x + y L  x R + y; x + y R  Je zřejmé, jaké má nová hra subhry, nazveme ji součtem her x a y.

Některé jednoduché věty Dokažme například následující věty: x + 0  x - (-x)  x x + y  y + x - ( x + y )  (-x) + (-y) Důkaz první věty:     +         0 x + 0   x L  x R  +      x L + 0  x R + 0    x L  x R   x

Strategická interpretace relací Které hry jsou kladné či záporné? Které hry jsou rovny nule? Můžeme každé dvě hry porovnat podle velikosti?

Vztahy her k nule Definujme následující relace: x > 0  EVS pro levého hráče x < 0  EVS pro pravého hráče x = 0  EVS pro druhého hráče x || 0  EVS pro prvního hráče Pak třeba snadno dokážeme: 0 = 0, * || 0,  > 0, -1 < 0 (  x) x + (-x) = 0 atd.

Relace mezi hrami Definice x R y  x + (-y) R 0 Pak můžeme třeba dokázat, že platí 1/2 + 1/2 = 1 atd. Speciálně:x > y  x + (-y) > 0 x < y  x + (-y) < 0 x = y  x + (-y) = 0 x || y  x + (-y) || 0

Nadreálná čísla Které hry budeme nazývat nadreálnými čísly? Jak definovat součin čísel? Jak čísla postupně vznikají?

Které hry nazveme „nadreálnými čísly“ ? Definice Hru x   x L  x R  budeme nazývat (nadreálným) číslem právě tehdy, když (i) každá její subhra je nadreálné číslo, (ii) (  x L ) (  x R ) x L < x R. Příklady: Hry 0, 1, -1, 1/2, atd. jsou nadreálnými čísly, hry *, , atd. nejsou nadreálnými čísly. Věta Pro každé nadreálné číslo x   x L  x R  platí: (  x L ) (  x R ) x L < x < x R.

Definice násobení čísel Motivace: Víme, že pro každá dvě čísla x   x L  x R  a y   y L  y R  a jejich subhry platí tyto nerovnosti: x – x L  0, x – x R < 0, y – y L  0, y – y R < 0. Odtud pak plyne, že by „mělo být“ (x – x L ).(y – y L )  0  x.y  x L.y + x.y L – x L.y L, (x – x L ).(y – y R ) < 0  x.y < x L.y + x.y R – x L.y R, atd. x.y   x L.y + x.y L – x L.y L, x R.y + x.y R – x R.y R  x L.y + x.y R – x L.y R, x R.y + x.y L – x R.y L 

Některé věty a výpočty x.0   x L  x R .         0x.y  y.x 0.1   .  0        0 x.1   x L  x R .  0     x L.1 + x.0 – x L.0  x R.1 + x.0 – x R.0    x L  x R   x 2. 1/2   1  .  0  1  = 1, atd. x.y   x L.y + x.y L – x L.y L, x R.y + x.y R – x R.y R  x L.y + x.y R – x L.y R, x R.y + x.y L – x R.y L 

Historie vzniku čísel  =  0  1  2  3  …    =  0  1  1/2  1/4  … 

Na závěr několik příkladů Podivuhodné formule pro nekonečně malá a nekonečně velká čísla

Formule pro nekonečně velká čísla Například:  +1=      -1=  0  1  2  3  …     +1/2 =     +1   -1/2 =   -1    2.  =     +1   +2   +3  …    2 =    2.   3.   4.   …    /2 =  0  1  2  …     -1   -2  …   /4 =  0  1  …   /2   /2 -1  …   =  0  1  …     /2   /4  … 

Formule pro nekonečně malá čísla Například:  = 1/   /2 =  0     /4 =  0   /2   2 =  0     /2   /4  …  2.  =    1  1/2  1/4  …  3.  =  2.   1  1/2  1/4  …   =    2.   3.   …  1  1/2  1/4  …  Představme si strukturu nadreálných čísel !

Kde se můžete dozvědět více? Conway J.H. : On Numbers and Games, Academic Press, London 1926 Cihlář J., Vopravil V. : Hry a čísla, PF UJEP, Ústí nad Labem

Závěr Seznámili jsme „letmo“ s Conwayovou teorií her a nadreálných čísel. Ukázali jsme, jak lze hry porovnávat podle velikosti a jak je můžeme sčítat. Dozvěděli jsme se, že některé hry můžeme považovat za čísla, která jdou násobit či odmocňovat, atd. Zjistili jsme, že mezi těmito čísly jsou i čísla nekonečně malá a nekonečně velká, a že i s „nekonečnými“ čísly lze provádět výpočty. Reálná čísla jsou jenom malou částí čísel nadreálných.

Děkuji vám za pozornost.