Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace 10.3.1 ZS – 2010/2011 reg-3 - l © 2010 - Ing. Václav Rada, CSc.

TEORIE ŘÍZENÍ … „druhá část“ tématu předmětu pokračuje …. KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR TEORIE ŘÍZENÍ … „druhá část“ tématu předmětu pokračuje …. A … oblastí matematických „pomůcek“ nezbytných k řešení příslušných problémů. © VR - ZS 2010/2011

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Principem je náhrada zápisu časové derivace funkce jedné pro-měnné v diferenciálních rovnicích pomocí operátoru D a to ve tvaru, který není součinem: f´ = D f (t) kde D ... je lineární diferenciální operátor. Formálně tato úprava vypadá následovně … A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Pro diferenciální rovnici (zachycující časově proměnnou skuteč-nost systému prezentované jednoduchou rovnicí) ve tvaru: y“ + a * y´ + b * y = f nebo d2y / dt2 + a * dy / dt + b * y = f (t) A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace bude zápis pomocí operátoru D ve tvaru: (D2 + a * D + b ) * y = f a řešení nespočívá ve vydělení funkce mnohočlenem v závorce. A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Pokud budou derivace nahrazeny součtem nekonečně mnoha tlumených funkcí – exponenciálních ve tvaru: f (t) = ∫ F (p) * eat * dp kde a ... konstanta pak operátor D bude představovat násobení konstantou a. A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Pak lze také vyjádřit derivace časové funkce pomocí integrálu závislého na parametru p vztahem: f (t) = ∫ F (p) * e-pt * dp a tedy následnou derivací za integrálem přejde do tvaru: f´(t) = D f (t) = ∫ p * F (p) * e-pt * dt. A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Za podmínek, že bude pro funkci f (t) platit (musí splnit tyto podmínky): f (t) … je jednoznačná a pro t < 0 identicky nulová (v čase před t = 0 jakoby neexistovala) f (t) ... je v každém konečném intervalu po částech hladká (spojitá) f (t) ... je exponenciálního tvaru, tzn., že existuje takové číslo (hranice konvergence) c > 0 pro které platí: e-pt * f (t) < M kde M ... je konečná kladná konstanta a dále, že následujíc integrál existuje pro všechna p, pro které platí: Re p > c. A © VR - ZS 2009/2010

F (p) = L [ f (t) ] = ∫ f (t) * e-pt * dt = f (t) * e-pt * dt . KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace A Za uvedených podmínek platnosti a existence lze všechny funkce významné v technické praxi vyjádřit ve tvaru: f (t) = ∫ F (p) * e-pt * dt přičemž tento tvar lze zapsat i pomocí tzv. Laplaceova obrazu funkce: F (p) = L [ f (t) ] = ∫ f (t) * e-pt * dt = f (t) * e-pt * dt . © VR - ZS 2009/2010

KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Za splnění výše uvedených podmínek platí, že Laplaceova transformace splňující uvedené podmínky je jednojednoznačná a že každé funkci f(t) náleží jediný obraz F(p) a naopak. Laplaceova transformace je tedy přiřazením obrazu F(p) každé funkci f(t) . Aplikace je možná pouze pro určité systémy a za určitých pod-mínek (přesně definovaných). Pro běžnou praxi jsou knižní formou k dispozici tabulky vzájemného převodu různých funkcí originálu f(t) a jeho Laplaceova obrazu F(p). A © VR - ZS 2009/2010

Definice Laplaceova obrazu funkce KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Definice Laplaceova obrazu funkce Nechť funkce f (t) je takovou komplexní funkcí jedné reálné proměnné t, že integrál na pravé straně konverguje alespoň pro jedno komplexní číslo p. Pak funkce f (t) je nazývána předmětem nebo originálem a funkce F (p) je definována rovnicí: F (p) = f (t) * e-pt * dt a je nazývána Laplaceovým obrazem originálu funkce f (t). © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Důležité vlastnosti - funkcí a jejich obrazů patří: linearita transformace – pro: f (t) = a1* f1 (t) + a2 * f2 (t) + a3 * f3 (t) + ... + an * fn (t) existují jednotlivé obrazy a tedy i: F(p) = a1* F1 (p) + a2 * F2 (p) + a3 * F3 (p) + ... + an * Fn (p) a platí to i obráceně pro zpětnou Laplaceovu transformaci. A © VR - ZS 2009/2010

F1 (p) = L [ c * f (t) ] = c * F(p) KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Obraz funkce násobené konstantou – pro: f1(t) = c * f (t) pro obraz F(p) bude platit: F1 (p) = L [ c * f (t) ] = c * F(p) A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Obraz posunuté funkce – pro: f1 (t) = 0 když t < d a d > 0 , pak bude: f1 (t) = f (t – d ) pro t ≥ d to znamená, že funkce f1 (t) je posunuta o čas d vpravo (směrem rostoucího času) a …. A © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace …. její obraz bude: F1 (p) = L [ f (t – d) ] = f (t - d) * e-pt * dt = = e-pd * f (u) * e-pu * du neboli F1 (p) = e-pd * F (p) pro posun vlevo platí: F2 (p) = epd * F (p) - e-pd * f (t) * e-pt * dt © VR - ZS 2009/2010

F(k) (p) = L [df(k) (t) / dtk ] = pk * F (p) - pi * f(k-i-1) (+0) KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Obraz derivace funkce – pro: F(k) (p) = L [df(k) (t) / dtk ] = pk * F (p) - pi * f(k-i-1) (+0) Věta o počáteční hodnotě – pro: f (+0) = f (t) = p * F (p) Věta o konečné hodnotě – pro: f (∞) = f (t) = p * F (p) © VR - ZS 2009/2010

F (p) = L [ f1 (t) * f2 (t) ] = F1 (p) * F2 (p) KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Obraz integrálu funkce f (t) pro obraz F (p) – pak pro zpětnou transformaci bude platit: L [f (t) * dt ] = F (p) / p konvoluce obrazů – pro F1 (p) a F2 (p), které jsou obrazy funkcí f1 (t) a f2 (t) platí: F (p) = L [ f1 (t) * f2 (t) ] = F1 (p) * F2 (p) (kde !!! znak * znamená konvoluci). © VR - ZS 2009/2010

f (t) = (1 / 2*π*j) * F (p) * ept * dp = Res [ F (pi) * epit ] KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Zpětná Laplaceova transformace je definována vztahem: f (t) = (1 / 2*π*j) * F (p) * ept * dp = Res [ F (pi) * epit ] kde p = pi ... jsou póly funkce F (p) Res [ F (pi) * epit ... je residuum pólu pi. Integrace musí být provedena v komplexní rovině a integrační cesta G musí obcházet (obepínat) všechny póly. © VR - ZS 2009/2010

Laplaceova transformace KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Laplaceova transformace Je-li funkce F (p) racionální, ryze lomená, pak platí její rozklad na podíl mnohočlenů v čitateli a ve jmenovateli – pro m ≤ n : F (p) = = a k tomu je časová funkce (lze ji určit L´Hopitalovým pravidlem) jako rozvojový vzorec: f (t) = * epit © VR - ZS 2009/2010

......... 310.... … a to by bylo zatím vše T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR … a to by bylo zatím vše ......... 310.... © VR - ZS 2010/2011

KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY T- MaR Témata © VR - ZS 2010/2011