Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 04 Limity funkcí Matematika II. KIG / 1MAT2

O čem budeme hovořit: Reálné funkce jedné proměnné Limity funkcí v nevlastních bodech Limity funkcí ve vlastních bodech Výpočty limit funkcí

Reálné funkce jedné reálné proměnné

Co je to funkce? Definice: Zobrazení f z množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R budeme nazývat reálnou funkcí jedné reálné proměnné. Nejčastěji bývá funkce zadána „vzorcem“ tvaru y = f(x), který danému reálnému číslu x jednoznačně přiřazuje odpovídající reálné číslo y. Z tvaru vzorce poznáme definiční obor a obor hodnot. Představa funkce.ggb

Poznámka U limit posloupností uvažujeme jen jeden limitní přechod (n   ) a máme tři možnosti pro výslednou vlastní či nevlastní limitu (a  R, + , -  ). U funkcí budou stejně jako u posloupností tři možnosti pro výslednou vlastní či nevlastní limitu (a  R, + , -  ), ale rozšíří se možnosti limitních přechodů na pět případů: x  + , x  - , x  c +, x  c , x  c. Celkem tedy máme 3 x 5 = 15 definic limity funkce!

Limity funkcí v nevlastních bodech

Vlastní limita funkce v nevlastním bodě +  Definice: Reálné číslo a je (vlastní) limitou funkce y = f(x) pro x blížící se plus nekonečnu právě tehdy, když (   0)(  x 0  R)(  x) x  x 0  a -   f(x)  a +  Zapisujeme: Příklad:Vlastní v nevlastním.ggbVlastní v nevlastním.ggb Analogicky se definuje vlastní limita funkce v nevlastním bodě  .

Nevlastní limita funkce v nevlastním bodě +  Zapisujeme: Příklad:Nevlastní v nevlastním.ggbNevlastní v nevlastním.ggb Definice: Funkce y = f(x) má pro x blížící se plus nekonečnu nevlastní limitu +  právě tehdy, když (  K  0)(  x 0  R)(  x) x  x 0  f(x) > K

Nevlastní limity funkce v nevlastních bodech Analogicky se definují i ostatní nevlastní limity funkce v nevlastních bodech: Příklady: Jak vypadají jejich definice?

Limity funkcí ve vlastních bodech

Předjíždění na dálnici Vypočítejte, jak dlouho budete osobním autem, jedoucím rychlostí 130 km/h, předjíždět autobus, který jede rychlostí v ? Jakou dráhu přitom ujedete? Předjíždění.xls 0,030 km v.t 0,030 km 130.t

Jednostranné limity funkce ve vlastním bodě – „limity zleva“ (  K  0)(   0)(  x) c    x  c  f(x) > K (  L  0)(   0)(  x) c    x  c  f(x)  L (   0)(   0)(  x) c    x  c  a -   f(x)  a + 

Jednostranné limity funkce ve vlastním bodě – „limity zprava“ (  K  0)(   0)(  x) c  x  c +   f(x) > K (  L  0)(   0)(  x) c  x  c +   f(x)  L (   0)(   0)(  x) c  x  c +   a -   f(x)  a + 

Oboustranná (vlastní) limita funkce ve vlastním bodě (  > 0)(   0)(  x) c    x  c  c  x  c +   a    f(x)  a +  Tuto definici můžeme zapsat jednodušeji pomocí absolutních hodnot: (  > 0)(   0)(  x) 0   x  c      f(x)  a   

Příklady a problémy Jak definovat nevlastní limity ve vlastním bodě? Může mít funkce při tomtéž limitním přechodu dvě různé limity? Nechť platí, že f(x)  g(x)  h(x) pro všechna x, a nechť lim f(x) = lim h(x) = a. Co z toho lze usoudit? Příklady: Příklady limit.ggbPříklady limit.ggb Problémy:

Výpočty limit funkcí

Důležité věty o vlastních limitách viz předchozí P03 Nechť lim f(x) = a  R, lim g(x) = b  R. Pak lim ( f(x) + g(x) ) = a + b, lim ( f(x) – g(x) ) = a – b, lim ( f(x). g(x) ) = a. b, a je-li navíc b  0, pak lim ( f(x) : g(x) ) = a : b.

„Algebra nekonečna“ viz předchozí P03 Pro případ nevlastních limit užíváme tyto rovnosti: +  +  = +  –  –  = –  (+  ). (+  ) = +  (–  ). (–  ) = +  (+  ). (–  ) = –  Pro vlastní limitu a pak užíváme rovnosti: +  + a = +  –  + a = –  a : (+  ) = 0 a : (–  ) = 0 Je-li a > 0, pak (+  ). a = + , (–  ). a = – , je-li a < 0, pak (+  ). a = – , (–  ). a = + .

Pozor na „neurčité výrazy“ !! viz předchozí P03 U výpočtu limit se někdy setkáváme s případy, které popisují tyto symboly:  –   –   :  0.  0 : 0 Tyto symboly nazýváme neurčité výrazy. Neurčitým výrazům nelze definicí určit přesnou hodnotu, příslušnou limitu je třeba počítat v každém konkrétním případě zvlášť.

Co je třeba znát a umět? Znát důležité reálné funkce, jejich definiční obory a obory funkčních hodnot, pochopit pojmy vlastní a nevlastní limity funkce ve vlastních i nevlastních bodech (též jednostranné i oboustranné limity), umět počítat limity funkcí.

Děkuji za pozornost