Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 02 Opakování II. jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Reálné funkce jako speciální zobrazení, definiční obory funkcí, monotonie a omezenost funkcí, sudost, lichost a periodičnost funkcí, elementární funkce, inverzní funkce, operace s funkcemi.

Reálné funkce (speciální zobrazení)

Co je to reálná funkce? Definice: Příklady: Reálnou funkcí f nazýváme zobrazení z množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R: x  f(x) . Chceme-li vyznačit i druhou proměnnou, budeme psát y = f(x). Příklady: Funkce-uvod.ggb

Definiční obory funkcí

Proč je důležité stanovit definiční obor? Definice Definiční obor je prvním oborem zobrazení f . Definičním oborem funkce f nazýváme tedy takovou podmnožinu reálných čísel Df , pro niž platí: x  Df  existuje číslo f(x) . Druhý obor zobrazení f nazýváme oborem hodnot a značíme jej Hf . Příklady:

Monotonie funkce

Rostoucí a neklesající funkce Intuitivně je zřejmé, co znamená, že funkční hodnoty funkce rostou, resp. neklesají. Definice: Funkce f je rostoucí právě tehdy, když (x1,x2  Df) x1  x2  f(x1)  f(x2) . Funkce f je neklesající právě tehdy, když (x1,x2  Df) x1  x2  f(x1)  f(x2) . Příklady:

Klesající a nerostoucí funkce Analogicky se definují následující pojmy: Definice: Funkce f je klesající právě tehdy, když (x1,x2  Df) x1  x2  f(x1) > f(x2) . Funkce f je nerostoucí právě tehdy, když (x1,x2  Df) x1  x2  f(x1)  f(x2) . Jak se definuje konstantní funkce? Co znamená, že funkce není rostoucí (klesající, atd.) ?

Omezenost funkce

Funkce omezené shora či zdola Funkce je omezená shora, když existuje jakási „mez“, kterou žádná funkční hodnota nepřevýší. Podobně se vymezuje funkce omezená zdola. Definice: Funkce f je omezená shora právě tehdy, když (KR) (x  Df) f(x)  K Funkce f je omezená zdola právě tehdy, když (LR) (x  Df) f(x)  L

Omezené funkce Funkce je omezená právě tehdy, když je omezená shora a současně omezená zdola. Definice: Funkce f je omezená právě tehdy, když (K,L R (x  Df) L  f(x)  K Příklady: Co znamená, že funkce není omezená shora (omezená zdola, omezená) ?

Sudost a lichost funkce Periodicita funkce

Sudá funkce Definice Funkci f s definičním oborem Df budeme nazývat sudou právě tehdy, když platí: je-li x  Df , pak i - x  Df , a f( -x ) = f( x ) . Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Příklady: Funkce f(x) = x 2 , f(x) = x 4 , f(x) = cos x , f(x) = x , atd. jsou sudé .

Lichá funkce Definice Funkci f s definičním oborem Df budeme nazývat lichou právě tehdy, když platí: je-li x  Df , pak i - x  Df , a f( -x ) = - f( x ) . Graf sudé funkce je souměrný podle počátku. Příklady: Funkce f(x) = x , f(x) = x 3 , f(x) = sin x , f(x) = tg x , atd. jsou liché .

Periodická funkce Definice Funkci f s definičním oborem Df budeme nazývat periodickou právě tehdy, když platí: existuje číslo k  R takové, že je-li x  Df , pak i x + k  Df , a f( x+k ) = f( x ) . Nejmenší z takových čísel k se nazývá perioda. Příklady: Funkce f(x) = sin x, f(x) = tg x , atd. jsou periodické .

Elementární funkce

Lineární funkce Definice: Lineární funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar: y = k . x + q , k, q  R. Grafem lineární funkce je přímka. Jaký je význam parametrů k, q? Lineární funkce.ggb

Kvadratické funkce Definice: Kvadratickou funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = a.x2 + b.x + c , a, b, c  R , a  0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Kvadratické funkce.ggb

Polynomy Polynomem (mnohočlenem) nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a1.x + a0 , kde všechny koeficienty jsou reálná čísla a an  0. Příklad: Funkce_příklady.ggb

Racionální funkce Racionální funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = P(x) / Q(x) , kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Příklady: Funkce_příklady.ggb

Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = ax, a  0. Grafem exponenciální funkce je exponenciela. Příklady: Funkce_příklady.ggb

Goniometrické funkce Definice: Goniometrickou funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má některý z těchto tvarů: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Příklady: Funkce_příklady.ggb

Inverzní funkce

Základní idea Ke každé prosté funkci existuje inverzní funkce. Nez.prom. Záv.prom. …… 1 2 4 5 Inverzní funkce Ke každé prosté funkci existuje inverzní funkce. Sestrojíme ji tak, že zaměníme nezávisle a závisle proměnnou.

Logaritmické funkce Definice: Inverzní funkce k exponenciální funkci y = ax se nazývá logaritmická funkce a označuje y = log a x. Základ logaritmů a je kladné číslo různé od 1. Příklady: Logaritmy.ggb

Cyklometrické funkce Definice: Inverzní funkce ke goniometrickým funkcím se nazývají cyklometrické. Protože goniometrické funkce nejsou ve svých definičních oborech prosté, je třeba jejich definiční obor zúžit. Příklady: Cyklometrické funkce.ggb

Operace s funkcemi

Vytváření složitějších funkcí Z jednodušších funkcí vytváříme složitější funkce dvěma základními způsoby: 1) aritmetickými operacemi například (f+g) (x) = f(x) + g(x) , atd. 2) skládáním například z funkcí y = g(x) a z = f(y) , vytvoříme funkci z = f( g(x) ) , apod. Složitější funkce.ggb

Změny grafu funkce Rozmyslete si, jak pomocí grafu funkce y = f(x) , snadno získáme grafy těchto funkcí: y = f(x) + 2, y = f(x) + k, y = 2 . f(x), y = k . f(x), y = f(x + 2), y = f(x + k), y = f(2.x), y = f(k.x), y = | f(x) | , atd.

Co je třeba znát a umět? Znát všechny zmíněné elementární funkce, znát jejich definiční obory a grafy, určovat jejich monotonii a omezenost, popřípadě jejich sudost, lichost či periodicitu. Rozumět vytváření nových funkcí aritmetickými operacemi a skládáním. U složitějších funkcí umět určit jejich definiční obor a základní vlastnosti. Znát vlivy lineárních transformací na graf.

Děkuji za pozornost