Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika II. KIG / 1MAT2 Přednáška 01 Opakování I. jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Číselné obory, posloupnosti jako speciální zobrazení, rekurentní a explicitní definice, monotonie a omezenost posloupnosti, aritmetické a geometrické posloupnosti.

Číselné obory

Postupné rozšiřování číselných oborů N … přirozená čísla Q … racionální čísla Z … celá čísla I … iracionální čísla D … desetinná čísla R = Q  I … reálná čísla Q I D Z N

Desetinná, racionální a iracionální čísla Každé desetinné číslo lze vyjádřit ve tvaru desetinného zlomku: Každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku: Žádné iracionální číslo nelze vyjádřit ve tvaru zlomku.

Desetinné rozvoje čísel Desetinná čísla mají ukončený desetinný rozvoj. Racionální čísla, která nejsou desetinná mají nekonečný periodický rozvoj. Iracionální čísla mají nekonečný neperiodický rozvoj.

Dlouhé periody Dlouhé periody.xls Jak vypočítat periodu, když její délka převyšuje počet desetinných míst, které počítač zobrazuje? 1 : 7 = 0,142857…. 2 : 7 = 0,285714…. 10 20 30 60 20 40 60 50 40 10 50 30 10 20

Posloupnosti (speciální zobrazení) Rekurentní a explicitní definice

Co je to posloupnost? Definice: Posloupností {an} nazýváme zobrazení množiny přirozených čísel N do množiny reálných čísel R: n  an Příklady: Posloupnosti.xls

Záclonová čísla Záclony věšíme na háčky postupně tak, že zachycujeme středy vytvářejících se oblouků. Několik prvních záclonových čísel je: 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , atd. Dokážete vymyslet, jak lze pro libovolné přirozené číslo n vypočítat n-té záclonové číslo Zn ? Zn = 2 n + 1

Jak vznikají Fibonacciho čísla ? Fibonacciho čísla lze postupně vypočítávat podle této definice: Jaký je tedy začátek posloupnosti? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … atd. Tato čísla Fn mají mnoho zajímavých vlastností. Jak ale vypočítat například padesáté číslo F50 ?

Vzorec pro Fibonacciho čísla Fibonacciho čísla můžeme vypočítávat podle tohoto vzorce: Čísla  a  jsou kořeny kvadratické rovnice x2 – x – 1 =0 . Fibonacci.xls

Rekurentní a explicitní definice Rekurentní definice zadává první člen posloupnosti (nebo několik prvních členů) a pravidlo (vzorec), které určuje, jak z předcházejících členů vypočítat člen za nimi následující. Explicitní definicí rozumíme vzorec typu an = … , který umožňuje pro zvolený index n přímo vypočítat n-tý člen posloupnosti. Problém často bývá převést rekurentní definici na explicitní a naopak.

Monotonie posloupností

Rostoucí a neklesající posloupnosti Intuitivně je zřejmé, co znamená, že členy posloupnosti rostou, resp. neklesají. Definice: Posloupnost {an} je rostoucí právě tehdy, když (n) an  an+1 Posloupnost {an} je neklesající právě tehdy, když (n) an  an+1 Příklady:

Klesající a nerostoucí posloupnosti Analogicky se definují následující pojmy: Definice: Posloupnost {an} je klesající právě tehdy, když (n) an > an+1 Posloupnost {an} je nerostoucí právě tehdy, když (n) an  an+1 Jak se definuje konstantní posloupnost? Co znamená, že posloupnost není rostoucí (klesající, atd.) ?

Omezenost posloupností

Posloupnosti omezené shora či zdola Posloupnost je omezená shora, když existuje jakási „mez“, kterou žádný člen posloupnosti nepřevýší. Podobně se vymezuje posloupnost omezená zdola. Definice: Posloupnost {an} je omezená shora právě tehdy, když (KR )(n) an  K Posloupnost {an} je omezená zdola právě tehdy, když (LR )(n) an  L

Omezené posloupnosti Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená shora a současně omezená zdola. Definice: Posloupnost {an} je omezená právě tehdy, když (K,L R )(n) L  an  K Příklady: Co znamená, že posloupnost není omezená shora (omezená zdola, omezená) ?

Aritmetické a geometrické posloupnosti

Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost je určena prvním členem a1 a tzv. diferencí d , přičemž pro všechna n platí an+1 = an + d Na čem závisí monotonie aritmetické posloupnosti? Může být aritmetická posloupnost zdola omezená, resp. shora omezená, resp. omezená? Explicitní vyjádření: an = a1 + (n – 1).d

Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost je určena prvním členem a1 a tzv. kvocientem q , přičemž pro všechna n platí an+1 = an . q Na čem závisí monotonie geometrické posloupnosti? Může být geometrická posloupnost zdola omezená, resp. shora omezená, resp. omezená? Explicitní vyjádření: an = a1 . q (n – 1)

Problémy Jakou posloupností popíšeme závislost ceny na počtu zakoupených kusů? Jakou posloupností popíšeme závislost uložené částky na počtu úročených let? Jak vypočítat součet prvních n členů u obou posloupností? Může být posloupnost současně aritmetická i geometrická?

Co je třeba znát a umět? Vlastnosti číselných oborů, rekurentní a explicitní popis posloupností, monotonii posloupností, omezenost posloupností, vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností.

Děkuji za pozornost