Systémy hromadné obsluhy RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Teorie systémů a operační analýza

Složky systému hromadné obsluhy (SHO) Vstupní proud je tvořen požadavky přicházejícími na obsluhu. Požadavky přicházejí ze zdroje požadavků. Fronta se skládá z požadavků čekajících na obsluhu. Kanál obsluhy je zařízení uskutečňující obsluhu (může to být i člověk nebo skupina lidí). Jeden nebo několik paralelně zapojených kanálů tvoří uzel obsluhy. Výstupní proud je tvořen požadavky odcházejícími z SHO. Zajímá nás tehdy, je-li vstupem do dalšího SHO. TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Struktura jednoduchého SHO vstupní proud výstupní proud fronta uzel obsluhy se 3 obslužnými kanály TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Zdroj požadavků a vstupní proud konečný (je typický pro uzavřené systémy) nekonečný (je aproximací situace, kdy potenciální počet požadavků je velmi velký a značně převyšuje kapacitu systému) Požadavky mohou přicházet: jednotlivě ve skupinách Okamžiky příchodu požadavků: deterministické náhodné TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Charakteristiky fronty Délka fronty: omezená neomezená (neomezená délka fronty reprezentuje případy, kdy maximální počet požadavků ve frontě je velmi vysoký). Disciplina čekání: FIFO (First In First Out) nebo také FCFS (First Come First Served) - požadavky jsou vybírány na obsluhu v tom pořadí, v jakém přišly do systému LIFO (Last In First Out) - nejprve je obsloužen požadavek, který přišel jako poslední výběr požadavků na obsluhu podle priorit náhodný výběr požadavků TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Charakteristiky uzlu obsluhy Počet paralelně zapojených kanálů: jeden kanál více kanálů Doba obsluhy: deterministická náhodná Pozn.: Jestliže skupina pracovníků představující uzel obsluhy pracuje jako tým vždy na jednom požadavku, jde o jednokanálový systém. TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Klasifikace SHO Systémy deterministické nebo stochastické Systémy uzavřené nebo otevřené Systémy s omezeným nebo neomezeným počtem požadavků v systému Systémy beze ztrát (tzn. že žádný požadavek není odmítnut) systémy se ztrátami (systémy s omezenou délkou fronty nebo omezeným počtem požadavků v systému nebo omezenou dobou čekání) s jednofázovou obsluhou (pouze jeden uzel obsluhy) s vícefázovou obsluhou (několik uzlů obsluhy uspořádaných seriově nebo v nějaké síťové struktuře) TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Ukazatele efektivnosti práce SHO Průměrný počet požadavků v systému; průměrná délka fronty. Průměrná doba setrvání požadavku v systému; průměrná doba čekání ve frontě. Průměrný počet obsazených (volných) kanálů; koeficient využití (prostoje) kanálu. Pravděpodobnost, že všechny kanály jsou obsazené (pravděpodobnost čekání); pravděpodobnost, že všechny kanály jsou volné; pravděpodobnost, že je obsazených (volných) právě k kanálů. Pravděpodobnost, že v systému je n požadavků; pravděpodobnost, že počet požadavků v systému je větší (menší) než n. Pravděpodobnost, že doba setrvání požadavku v systému bude menší (větší) než daná hodnota; pravděpodobnost, že doba čekání bude menší (větší) než daná hodnota. TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Účel modelů SHO Kontrola, jak systém vyhovuje daným požadavkům. Výsledky mohou posloužit např. jako podklad pro rozhodnutí, zda je třeba stávající systém upravit nebo nahradit, nebo jako podklad pro rozhodnutí o výběru z nabízených systémů. Optimalizace struktury a chování systému. Při optimalizaci je třeba uvažovat jednak náklady na pořízení a provoz systému, jednak ztráty vyplývající z neobsloužení resp. pozdního obsloužení požadavku. TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Přístupy k modelování SHO Analytický: Je použitelný pro jednoduché systémy se standardními rozděleními náhodných veličin. Spočívá v sestavení matematického modelu ve tvaru diferenciálních rovnic a analytickém řešením tohoto modelu, na jehož základě se pak získají vztahy pro výpočet charakteristik systému. V praxi můžeme takovéto vztahy použít po ověření platnosti předpokladů za kterých byly v teorii hromadné obsluhy (teorii front) odvozeny. Simulační: Spočívá ve vytvoření programu pro simulaci zkoumaného systému. Na základě výsledků simulačních experimentů se pak počítají odhady charakteristik systému. TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Klasifikace modelů jednofázových SHO Kendallova klasifikace: a / b / c Rozšířená klasifikace: a / b / c / d / e / f a … typ vstupu b … typ obsluhy c … počet kanálů d … disciplina čekání e … omezení délky fronty f … omezení vstupního proudu (velikost populace) TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Symboly použité pro označení typu vstupu a obsluhy Typ vstupu určuje typ rozdělení dob mezi příchody dvou po sobě následujících požadavků. Typ obsluhy určuje rozdělení dob obsluhy. D … deterministický vstup nebo obsluha M … exponenciální rozdělení Ek … Erlangovo rozdělení k-tého řádu N … normální rozdělení U … rovnoměrné rozdělení G … obecné rozdělení TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Poissonovský vstupní proud Počet požadavků vzniklých za časový interval (0, t) je náhodná veličina s Poissonovým rozdělením s parametrem t, kde  > 0. Pravděpodobnost vstupu k požadavků za časový interval (0, t) : Střední hodnota a rozptyl počtu požadavků vzniklých za časový interval (0, t): E(Kt) = t D(Kt) = t E(K1) = , což je tzv. intenzita vstupu (průměrný počet požadavků, které do systému vstoupí za jednotku času). Doba mezi příchodem dvou po sobě následujících požadavků je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem . TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Exponenciální rozdělení Hustota rozdělení: kde  > 0 je parametr. Střední hodnota a rozptyl: TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Erlangovo rozdělení Hustota rozdělení: kde  > 0 a celé kladné číslo k jsou parametry. Střední hodnota a rozptyl: Pozn.: Exponenciální rozdělení je tedy speciálním případem Erlangova rozdělení pro k = 1. TSOA: Systémy hromadné obsluhy

Význam symbolů v modelech SHO  … intenzita vstupu (průměrný počet požadavků, které do systému vstoupí za jednotku času)  … intenzita obsluhy (průměrný počet požadavků, které je kanál schopen obsloužit za jednotku času)  … =  /   … koeficient využití systému pn … pravděpodobnost, že v systému je právě n požadavků … průměrný počet požadavků v systému … průměrná délka fronty … průměrná doba setrvání požadavku v systému … průměrná doba čekání c … počet kanálů obsluhy … průměrný počet obsazených kanálů TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Základní vztahy pro modely s nekonečným zdrojem požadavků a neomezenou délkou fronty Aby nedošlo k zahlcení systému, musí platit, že  < 1, tj.  < c . TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Model M/D/1/FIFO// TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Model M/M/1/FIFO// Pravděpodobnost, že počet požadavků v systému je větší než n: TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Model M/M/c/FIFO// Pravděpodobnost čekání (pravděpodobnost, že všechny kanály jsou obsazené): TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Model M/M/c/FIFO/0/ TSOA: Systémy hromadné obsluhy

TSOA: Systémy hromadné obsluhy Model M/M/c/FIFO/r/ kde  =  /c TSOA: Systémy hromadné obsluhy