Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Měření úhlů Úhly lze měřit ve dvou různých jednotkách r = 1 x φ Jednotková kružnice Stupňová míra Oblouková míra Stupňová míra rozděluje celý úhel (kruh) na 360 jednotek – stupňů. Jeden stupeň dále dělí na 60 minut a 360 vteřin: Oblouková míra využívá délky oblouku, který úhel vytíná na jednot-kové kružnici (x). Jelikož obvod jed-notkové kružnice je O = 2πr = 2π, velikost plného kruhu je v obloukové míře roven 2π. Jednotka obloukové míry se nazývá radián (rad) a je rovna takovému úhlu, pro který platí x = 1. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Měření úhlů Obecně lze mezi stupni a radiány převádět pomocí trojčlenky: Příklad

Goniometrické funkce Základní definice goniometrických funkcí vychází z jednotkové kružnice r = 1 x φ Jednotková kružnice cos x cos φ sin x sin φ V argumentu goniometrických funkcí je tedy úhel. Protože pravoúhlé troj-úhelníky o shodných vrcholových úh-lech jsou podobné, lze říci, že přilehlá odvěsna přepona protilehlá odvěsna

Goniometrické funkce Funkce sinus Lichá : sin (-x) = - sin (x) φ sin x sin φ -π -2π π 2π 1 -1 π/2 -π/2 Funkce sinus Lichá : sin (-x) = - sin (x) Periodická : minimální perioda T = 2π Omezená : -1 ≤ sin (x) ≤ 1 Je prostá na intervalu a obdobných, ne však na celém Df Není monotónní na celém Df

Goniometrické funkce Funkce cosinus Sudá : cos (-x) = cos (x) φ cos x -π -2π π 1 -1 π/2 -π/2 Graf lze nakreslit stejně jako pro sinus, otočíme-li kružnici o devadesát stupňů. Funkce cosinus Sudá : cos (-x) = cos (x) Periodická : minimální perioda T = 2π Omezená : -1 ≤ cos (x) ≤ 1 Je prostá na intervalu a obdobných, ne však na celém Df Není monotónní na celém Df

Goniometrické funkce Funkce tangens Lichá : tan (-x) = tan (x) Periodická : min. p. T = π Není omezená Je prostá na Rostoucí na

Goniometrické funkce Funkce cotangens Lichá : cot (-x) = cot (x) Periodická : min. p. T = π Není omezená Je prostá na Klesající na

Hodnoty goniometrických funkcí V následující tabulce jsou funkční hodnoty goniometrických funkcí pro nejčastěji používané úhly. Tyto hodnoty plynou z jednoduchých geomet-rických vztahů na jednotkové kružnici – ověřte si doma. x sin x cos x tan x cot x n.def.

Součtové vzorce

Součtové vzorce Pozn.: vzorce pro extrémní případy (např. sin x + sin x) musí také platit! To je dobré pro ověřování, zda jste si na tvar vzorce vzpomněli správně . Obdobných vzorců lze odvodit značné množství. Lze je nalézt v libovolném přehledu matematiky.

Goniometrické rovnice Goniometrickou rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá vyskytuje v argumentu goniometrické funkce. Nejjednodušší případy jsou kde -1 ≤ a ≤ +1. Tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení (kořenů) v dů- sledku periodičnosti funkcí sinus a cosinus. Pokud |a| > 1, nemá rovnice žádné řešení (kořen). Postup řešení: Zjistíme kořeny v intervalu . K tomu užijeme zobrazení na jednotko- vé kružnici, tabulku nebo kalkulačku. Kořeny jsou dva, resp. pro |a|=1 jeden. Všechny další kořeny pak díky známé nejmenší periodě určíme jako Příklad Řešte rovnice sin x = 1, cos x = -1, sin x = 1/√2, cos x = ½ .

Goniometrické rovnice Rovnice ve tvaru řešíme obdobně: Zjistíme kořeny v intervalu . K tomu užijeme tabulku nebo kalkulačku. Všechny další kořeny pak díky známé nejmenší periodě určíme jako Při řešení rovnice ve tvaru vyjdeme z faktu, že:

Goniometrické rovnice Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Příklad Vyřešte rovnici Zavedeme substituci y = 2x y1 sin y = - ½ y2

Goniometrické rovnice Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Příklad Vyřešte rovnici Zavedeme substituci y = cos x x1 cos x = - ½ y2 Dořešte doma…

Goniometrické rovnice Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Příklad Vyřešte rovnici Musíme rovnici upravit na takový tvar, ve kterém by se vyskytoval buď pouze sinus, nebo pou-ze cosinus. K tomu využijeme vzorce sin2 x + cos2 x = 1.

Goniometrické rovnice Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců Příklad Vyřešte rovnici Podle součtového vzorce pro sinus platí sin ( x + x0 ) = sin x cos x0 + cos x sin x0. Protože čísla a,b jsou obecně různá, je třeba je zahrnout do nějaké konstanty A spolu se sin x0, cos x0 : Takovou parametrizaci lze zvolit vždy nehledě na velikost a, b, neboť a tangens má obor hodnot všechna reálná čísla a navíc je na intervalu (-π/2,+ π/2) prostý. Levou stranu rovnice lze tedy po dosazení za a a b přepsat jako:

Goniometrické rovnice Za pomoci součtového vzorce A.sin ( x + x0 ) = A.sin x cos x0 + A.cos x sin x0 potom : dále pak řešíme substitucí y = x + x0 . Řešení existuje ovšem pouze v tom případě, že c ≤ A. Rovnice tohoto jsou ve fyzice velmi časté. DÚ Vyřešte rovnici

Harmonické funkce Harmonickou nazveme funkci ve tvaru Tyto funkce mají ve fyzice velkou důležitost. Koeficient a ovlivňuje „výšku“ grafu, parametr b minimální periodu a společně s parametrem c posun grafu podél osy x. -π -2π π 2π 1 -1 2 -2 3

Harmonické funkce -π -2π π 2π 1 -1 -π -2π π 2π 1 -1

Harmonické funkce -π -2π π 2π 1 -1

Cyklometrické funkce Funkce arcussinus Funkce inverzní k sin x na intervalu (-π/2, π/2) Omezená Prostá Rostoucí

Cyklometrické funkce Funkce arcuscosinus Funkce inverzní k cos x na intervalu (0, π) Omezená Prostá Klesající

Cyklometrické funkce Funkce arcustangens Omezená Prostá na Rostoucí

Cyklometrické funkce Funkce arcuscotangens Omezená Prostá na Klesající

Vzorce pro cyklometrické funkce Pozn.: obdobných vzorců je spousta, lze je nalézt v libovolné matematické příručce (netřeba je znát zpaměti  ).

Shrnutí Stupňová x oblouková míra Funkce sin x, cos x Jednotková kružnice Funkce sin x, cos x Funkce tan x, cotan x Součtové vzorce Řešení goniometrických rovnic Harmonické funkce Cyklometrické funkce arcsin x, arccos x Cyklometrické funkce arctan x, arccot x Součtové vzorce pro cyklometrické funkce