Algebraické výrazy – početní operace VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.05 Algebraické výrazy – početní operace Anotace: Žák si osvojuje pojmy algebraický výraz, hodnota výrazu, mnohočlen. Zjišťuje vlastnosti početních operace s celistvými výrazy na modelových situacích. Vše procvičuje interaktivně s projekcí. Vzdělávací oblast: Matematika Autor: Mgr. Robert Kecskés Jazyk: Český Očekávaný výstup: Matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určí hodnotu výrazu, sčítá, odčítá a násobí mnohočleny. Druh učebního materiálu: Prezentace Cílová skupina: Žák Stupeň a typ vzdělávání: Druhý stupeň, základní škola Datum (období), ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Školní rok 2011-2012 Ročník, pro který je vzdělávací materiál určen: Osmý ročník základní školy

Algebraický výraz Algebraický výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují konstanty (čísla), proměnné a operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování prováděné s konstantami a proměnnými. Algebraické výrazy se dělí na racionální algebraické výrazy, jež neobsahují odmocniny a iracionální algebraické výrazy, které odmocniny obsahují. Budeme se zabývat výrazy s proměnnou bez odmocnin.

Algebraické výrazy Urči, zda se jedná o algebraický výraz. 3 + 5 4x –4 2(x + y)2 Ano Ne

Algebraické výrazy s proměnnou 2x + 2 = 3a + b + c = 12 - 5c2 + 5c = Písmena a, b, c, x, vyskytující se v daných výrazech s proměnnou anebo jakákoliv jiná písmena vystupující v jakýchkoli jiných výrazech s proměnnou nazýváme proměnná.

Hodnota výrazu Urči hodnotu výrazu 2x + 4 pro x = 5: 2x + 4 = 2·5 + 4 = 10 + 4 = 14 Dosadíme za proměnnou x číslo 5. Dále už jenom spočítáme. Hodnota výrazu 2x + 4 pro x = 5 je 14. Určit hodnotu výrazu pro danou proměnnou znamená, dosadit za danou proměnnou číslo, pro které chceme určit hodnotu výrazu.

Složení výrazů jednočlen a mnohočlen Každý výraz se skládá z členů. Tyto členy jsou od sebe odděleny operátory početních operací sčítání nebo odčítání. Tedy znaménky + nebo –. Výrazy dělíme na jednočleny a mnohočleny. Jednočlen je tvořen jedním jednočlenem. např. 5y, 7xy, 69, –4x2, Mnohočlen je tvořen dvěma a více jednočleny. např. 2x + 5, x – y + 14, 2a + b + 7c + 4

Rozdělení mnohočlenů dvojčlen - mnohočlen složený ze dvou jednočlenů např. 5a + 3 trojčlen - mnohočlen složený ze tří jednočlenů např. 7x + y + 1 čtyřčlen - mnohočlen složený ze čtyř jednočlenů např. x3 + y2 + y + 5 Tak bychom mohli pokračovat dále.

Sčítání a odčítání výrazů Představíme si místo proměnné x jablko a místo proměnné y banán. x = y = např. 2x = Sčítat a odčítat můžeme pouze „stejná ovoce“! 2x + 3y + 5x + 2y = 2 jablka + 5 jablek je 7 jablek. = 2 + 3 + 5 + 2 = 3 banány + 2 banány je 5 banánů. = 7 + 5 = = 7x + 5y

Sčítání a odčítání výrazů Jak jsme si tedy ukázali, sčítat a odčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou. Pozor! x = x2 = Sčítat a odčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou, ale zároveň i se stejným mocnitelem (exponentem). Podtrhneme si členy se stejnou proměnnou a zároveň stejným mocnitelem. 2x2 + 3x + 5x2 + 2x = = 7x2 + 5x

Sčítání a odčítání výrazů Vypočti: 2c + 3c = 2c2 + 5c = 4x + 5y – 2x + 3y = 2c3 + 5c3 – 2c2 + c2 = 5c nelze 2x + 8y 1 7c3 – c2 1 Pozor! 5xy + 3y = nelze 3a2b3 + 5a3b2 = nelze 2cd + 2cde = nelze Pozor! 5xy + 3xy = 8xy 3a2b3 + 5a2b3 = 8a2b3 2cde + 2cde = 4cde Sčítáme a odčítáme pouze čísla stejných mocnin.

Sčítání a odčítání výrazů Při počítání se závorkami postupujeme takto: Spočítáme závorku (pokud lze). Odstraníme závorku. Ve většině příkladů se v zadání nedá závorka počítat, tedy ihned odstraňujeme závorku. Při odstraňování závorky můžeme postupovat dvěma způsoby.

Sčítání a odčítání výrazů První způsob odstraňování závorek (2x + 3) – (5x + 4) = + 1 1 2x + 3 – 5x – 4 = –3x – 1 Pokud před závorkou není znaménko, dopíšeme znaménko +. Mezi znaménko před závorkou a závorku si napíšeme číslo 1. Vynásobíme číslo před závorkou se všemi členy v závorce. Pozor dáme na znaménka. Dopočítáme. Nevýhodou tohoto způsobu je, že násobení výrazů budeme teprve probírat.

Sčítání a odčítání výrazů Druhý způsob odstraňování závorek ( 2x + 3) – ( 5x + 4) = + + + +2x + 3 – 5x – 4 = –3x – 1 Pokud před závorkou nebo členem v závorce není znaménko, dopíšeme znaménko +. Pokud je před závorkou znaménko +, tak po odstranění závorky zůstanou před členy stejná znaménka jako byla v závorce. Pokud je před závorkou znaménko –, tak se po odstranění závorky změní znaménka v opačná než byla v závorce. Dopočítáme.

Násobení výrazů Násobení jednočlenu jednočlenem 2+3 5 7+1 1 8 2x2y7·5x3yz = 10 x y z 1. Vynásobíme čísla před proměnnými. 2. Opíšeme proměnné a exponenty stejných proměnných sečteme. Vynásobíme čísla před proměnnými, opíšeme základy mocnin a exponenty stejných mocnin sečteme.

Násobení výrazů Násobení mnohočlenů 3a3·(2a2 + 5b3) = 6a5 + 15a3b3 Vynásobíme jednočlenem před závorkou všechny členy v závorce.

Vypočti: 4·5x = 20x 2y4 –14ab 4x11y6 –2acd 2x10 –30ab –90r4s7t 10y 18a y3·2y = –2a·7b = x3y4·4x8y2 = cd·(–2a) = –x7 ·(–2x3) = 5·(–6ab) = 9r2s4·(–10r2s3t) = –2y·(–5) = 6·3·a = –4b5·(–4a5b4)= 5x·5·0=

Vypočti: 5·(6x – 4) = 30x – 20 6y5 + 4y8 2a7 + 3a3 7x2y2 + 35xy 4a2b – 4ab 16y + 10 6a2b4 – 9ab x2y + xy2 c3d3 – c2d4 –4r2 + 20rs3 2x2y + 3xy2 y5·(6+4y3) = (2a4 + 3)·a3 = (5+xy)·7xy = –2x2y7·(x – 5y) = –4·(ab – a2b) = 2·(8y + 5) = (3 – 2ab3)·(–3ab) = (x + y)·xy = c2d3·(c – d) = 4·(5rs3 – r2) = (2x+3y)·xy =