Analogie elektrostatiky (dle Richarda P. Feynmana) Zpracoval: Ing. Jiří Primas Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií TUL 1.6. 2009

1a. Stejné rovnice mají stejná řešení na rovnicích elektrostatiky si ukážeme, že rovnice pro mnohé odlišné fyzikální problémy vypadají stejně liší se pouze symboly, matematický tvar rovnic je tentýž vyjdeme z následujících rovnic elektrostatiky, které platí pro homogenní prostředí: (1) (2) kde E je intenzita el. pole [V/m], φ je el. Potenciál [V], εr je relativní permitivita [-], ε0 je permitivita vakua [F/m] a ρvol je hustota volných nábojů [C/m3]

Poznámka ač se v dalším textu nebudeme zabývat obecně Maxwellovými rovnicemi, uveďme jen jako poznámku, že původní rovnice, z které byla rovnice (2) odvozena má následující tvar: přidejme k této rovnici ještě tzv. Lorentzovu podmínku: pak fyzikální význam těchto rovnic je tentýž jako význam Maxwellových rovnic, tento zápis má ale i další hluboký smysl – ukazuje invarianci elektrodynamiky vzhledem k Lorentzově transformaci, a tedy popisuje elektrodynamiku v pohybujících se inerciálních soustavách

1b. Stejné rovnice mají stejná řešení jde o to, že existuje mnoho fyzikálních problémů, jejichž matematické rovnice mají tento tvar existuje potenciál (φ), jehož gradient vynásobený skalární funkcí (εr) má divergenci rovnající se jiné skalární funkci (- ρvol/ε0) cokoliv tedy víme o řešení těchto rovnic v elektrostatice, můžeme ihned transformovat na analogický problém a naopak (konkrétní příklady uvidíme na dalších stranách) nyní si uvedeme několik příkladů z různých oblastí fyziky, které vedou k rovnicím tohoto tvaru

2. Proudění tepla rovnice popisující stacionární proudění tepla: (3) vidíme, že rovnice (3) má stejný tvar jako rovnice (2) => úlohy o stacionárním proudění tepla a elektrostatické úlohy jsou tedy stejné můžeme tedy například tvrdit, že bodový zdroj tepla vytváří tepelné pole, které se mění se vzdáleností r jako 1/r (přenesli jsme pouze tvrzení z elektrostatiky, že bodový náboj generuje potenciál, který se mění jako 1/r) (3) kde λ je tepelná vodivost, T je teplota a s je tepelná energie uvolněná za sekundu přepočtená na jednotkový objem

3a. Napnutá membrána dá se ukázat, že pro malé deformace pružné membrány platí následující rovnice: opět máme rovnici, která je stejná jako v elektrostatice, i když se omezuje jen na dva rozměry výchylka u odpovídá potenciálu φ a f/γ odpovídá ρ/ε0 (4) kde u je výchylka, f představuje sílu, která směřuje nahoru, připadá na jednotku plochy a působí na blánu následkem vnějších sil a γ je povrchové napětí

3b. Napnutá membrána nyní předpokládejme, že v některých bodech vytáhneme membránu do určité výšky, tj. na vybraných místech fixujeme hodnotu u (to je analogie s elektrostatickou situací, ve které je na příslušných místech předepsaný potenciál) na obr.1 vidíme situaci, kde je na membránu tlačeno okrouhlou tyčí – pak výchylka u je stejná jako elektrostatický potenciál φ nabité válcové tyče tato analogie se často využívá i ve zpětném směru – různými tyčemi a pruty se membrány vysouvají do výšek, které odpovídají potenciálům soustavy elektrod měřením výšky se pak zjišťuje elektrický potenciál v daných podmínkách obr.1: Napnutá membrána

4. Bezvírové proudění kapaliny předpokládejme, že zkoumáme bezvírové proudění nestlačitelné a neviskózní kapaliny pak pro potenciál rychlosti ψ platí následující rovnice: potenciál rychlosti ψ tedy vyhovuje téže diferenciální rovnici jako elektrostatický potenciál v prázdném prostoru (tj. tam, kde ρ=0)

5. Shrnutí chtěli jsme ukázat, že mnoho různých fyzikálních jevů popisují analogické diferenciální rovnice Kde je příčina této podobnosti tak odlišných jevů? pokud jsou věci v prostoru dostatečně hladké, budou v jejich popisu důležitými rychlosti změny veličin v závislosti na poloze v prostoru proto vždy dostáváme rovnice s gradientem, derivace se musí objevit ve formě gradientu nebo divergence, protože zákony fyziky jsou nezávislé na směru, musí být možné vyjádřit je ve vektorovém tvaru jakýkoliv jednoduchý problém, nebo zjednodušení komplikovaného problému, musí vypadat jako elektrostatika to, co je všem úlohám společné, je to, že obsahují prostor a že to, co je ve skutečnosti složitým jevem, jsme imitovali jednoduchou diferenciální rovnicí

Použitá literatura Feynman, R. P. Feynmanovy přednášky z fyziky, díl 2. FRAGMENT Havlíčkův Brod 2001, s. 205-222

MATEMATICKÁ ANALOGIE MEZI ZÁKLADNÍMI ZÁKONY ELEKTRICKÉHO A MAGNATICKÉHO POLE podle prof. Ing. Daniela Mayera, DrSc. zpracoval Ing. Michal Malík Technická univerzita v Liberci Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií 1. 6. 2009

Základní zákony elektrostatického, magnetostatického a stacionárního proudového pole jsou matematicky analogické – mají formálně obdobný tvar

Maxwellovy rovnice Nejprve je třeba říci si něco o Maxwellových rovnicích, které jsou základem pro zkoumání elektromagnetických polí. Proto se na ně podíváme v obecné podobě. Mějme tenzor tvořený složkami vektorů (intenzita el. pole) a (magnetická indukce):

Maxwellovy rovnice pak tenzorová rovnice: je čtyřrozměrným zápisem 1. a 3. Maxwellovy rovnice. Stejně tak tenzorová rovnice: vyjadřuje 2. a 4. Maxwellovy rovnice i v látkovém prostředí bez ohledu na jeho pohyb v soustavě. Tyto zápisy jsou však pro náš případ až příliš obecné, používané v situacích, kdy se zkoumají vzájemně se pohybující soustavy.

Maxwellovy rovnice Ukažme si zde tedy Maxwellovy rovnice ve zjednodušené avšak více známe podobě (platí pro homogenní prostředí):

Elektrostatické pole Existují dvě základní podmínky definující elektrostatiku: zdrojem elektrostatického pole jsou elektrické náboje (III. Maxwellova rovnice) náboje se nepohybují (tj. neteče elektrický proud) a tedy nevzniká magnetické pole (II. Maxwellova rovnice) vztah intenzity elektrického pole a elektrické indukce – vliv prostředí

Stacionární proudové pole Základní rovnice: II. Maxwellova rovnice s nulovou magnetickou složkou stejně jako v elektrostatice Zákon kontinuity, který nám říká, že stacionární proud vtékající do uzavřené plochy S je roven proudu z této plochy vytékající Ohmův zákon

Magnetostatické pole Základní rovnice: Zákon celkového proudu s nulovým posuvným proudem (I. Maxwellova rovnice) náboje se nepohybují (tj. neteče elektrický proud) a tedy nevzniká magnetické pole (II. Maxwellova rovnice) vztah intenzity magnetického pole a magnetické indukce – vliv prostředí

Matematická analogie mezi rovnicemi stacionárních polí

Analogie mezi veličinami stacionárních polí Z předcházejících vztahů se dá usoudit, že některé veličiny elektromagnetického pole spolu vzájemně korespondují. To lze také vidět v následující tabulce: Těchto analogií lze využít například při experimentálním vyšetřování elektrostatických a magnetických polí, protože přímé měření některých veličin je z technických důvodů obtížné (např. nahrazení elektrostatického nebo magnetostatického pole proudovým polem, které se proměřuje snadněji). Jelikož dnes disponujeme výkonnými numerickými metodami, ztrácí metoda analogie svůj dřívější smysl.

Použitá literatura Mayer, D. Teorie elektromagnetického pole, 1. díl. Západočeská univerzita v Plzni – Fakulta elektrotechnická Plzeň 2004 Mayer, D. Teorie elektromagnetického pole, 2. díl. Západočeská univerzita v Plzni – Fakulta elektrotechnická Plzeň 2004 Haňka, L. Teorie elektromagnetického pole, SNTL Praha 1975