Statické systémy

Statické systémy statika se zaměřuje na studium časově invariantních struktur statická a dynamická stránka reálných systémových jevů zpravidla neoddělitelná v rámci teorie systémů se statika a dynamika zkoumá odděleně

Obecný statický systém definován pomocí relace X  X1  X2  X3  …  Xn Xi … statické formální objekty (nejsou časové proměnné ani funkce času) při definici zde vycházíme z Mesarovičovy matematické teorie

Příklady statických systému soustava m rovnic o n neznámých a11x1 + a12x2 + … a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … a2nxn = b2 … am1x1 + am2x2 + … amnxn = bm hodnoty proměnných xi jsou hodnotami statických formálních objektů Xi

Příklady statických systému modely v ekonomice, marketingu či dalších disciplínách příklad ADBUDG model X … hodnota marketingových výdajů Y … prodej a, b, c, d … koeficienty

Příklady statických systému prutová soustava styčníky = uzly U={u1, u2, …, u16} pruty = hrany H  U  U podmínka statické (tvarové) určitosti: p + m = 2s (p … počet prutů, m … počet vnějších reakcí, s … počet styčníků) u1 u10 u9 u8 u7 u6 u5 u3 u4 u2 u16 u15 u14 u13 u12 u11 zde pro popis systému zvolen graf

Příklady statických systému soustava programových bloků analyzováno je pouze propojení jednotlivých modulů a okolí pomocí vstupů a výstupů modul 1 modul 3 modul 2 modul 4 modul 5 modul 6 okolí zde pro popis systému zvolen blokový diagram

Obecné modely struktur struktura = množina vazeb mezi prvky systému obecné modely slouží k popisu všech modelů reálných struktur pokud P je množina prvků, vazby jsou množina uspořádaných dvojic (pi, pj) – lze definovat pomocí binární relace častěji se používá prostředků teorie grafů – struktura systému zadaná jako orientovaný/neorientovaný graf systémová algebra – aparát pro řešení úloh souvisejících se strukturou systémů, založený na zobrazení systému pomocí grafů

Teorie grafů – připomenutí

Základní pojmy – neorientovaný graf neorientovaný graf G = [U, H] U … neprázdná množina prvků zvaných uzly grafu H … množina hran grafu H  K, kde K je množina všech dvouprvkových podmnožin U U = {q, b, c, d, e} H = {ab, ac, bc, ce} a e d b c

Základní pojmy – neorientovaný graf konečný/nekonečný graf – podle počtu uzlů pokud jsou x a y koncovými uzly hrany h, pak s ní incidují počet hran, které incidují s uzlem = stupeň uzlu izolovaný uzel = uzel se stupněm 0 podgraf G1 = [U1, H1] G2 = [U2, H2] G1 je podgrafem G2, když U1  U2 a H1  H2 sled mezi uzly x0 a xn = posloupnost uzlů a hran x0, x0x1, x1, x1x2, x2 … xn-1xn, xn tah = sled, kde se každá hrana vyskytuje pouze jednou cesta = sled, kde každý uzel se vyskytuje pouze jednou

Základní pojmy – neorientovaný graf souvislý graf = mezi každými uzly existuje sled pravidelný graf = všechny uzly mají stejný stupeň úplný graf = pravidelný graf s n uzly n-1 stupně

Základní pojmy – orientovaný graf orientovaný graf G’ = [U, H] U … neprázdná množina prvků zvaných uzly grafu H … množina uspořádaných dvojic uzlů z U (u1, u2)  H … orientovaná hrana U = {a, b, c, d} H = {(c, a), (b, a), (b, c), (c, d), (d, d)} a b c d

Základní pojmy – orientovaný graf orientovaný graf lze popsat i jako G’ = [U, ], kde  je zobrazení přiřazující každému u  U podmnožinu (U) množiny U (její prvky jsou koncové prvky hran vystupující z uzlu u) (a) = {} (b) = {a, c} (c) = {a, d} (d) = {d} a b c d  … gamma

Základní pojmy – orientovaný graf sled v grafu G’ = [U, ] – posloupnost uzlů (orientované spojení) u1, u2, …, uk  U, pro které platí, že ui+1  (ui) délka – počet hran spojení tah – neopakují se hrany cesta – neopakují se uzly cyklus – cesta, kde u1 = uk smyčka – cyklus délky 1 silně souvislý graf – mezi každými dvěma uzly existuje orientované spojení slabě souvislý graf – mezi každými dvěma uzly existuje spojení dosažitelné změnou orientace hran a b c d  … gamma

Matice sousednosti počet řádků a sloupců = počtu prvků, každému uzlu odpovídá jeden řádek a sloupec prvky matice = počet hran mezi příslušnými uzly u neorientovaného grafu vždy symetrická

Matice incidence počet řádků a sloupců = počtu prvků, každému uzlu odpovídá jeden řádek a sloupec prvky matice orientovaný graf 1 – uzel je počátečním vrcholem hrany -1 – uzel je koncovým vrcholem hrany 0 jinak neorientovaný graf 1 – vrchol inciduje s hranou 0 – jinak

Statické systémy – pokračování

Maticové zápisy pro účely modelování se systémy popisují pomocí matic rychle poskytují řadu informací pro analýzu odhalují vlastnosti struktur méně nákladné než kreslení grafů precedenční matice systému (v teorii grafů se používají incidenční matice či matice sousednosti) existence vazby mezi prvky se znázorní hodnotou 1 na souřadnicích těchto prvků možnost zahrnout i okolí matice

Maticové zápisy transponovaná matice PT k precedenční matici P = matice následnosti matice ohodnocení (algebraická matice) 0 a 1 precedenční matice nahrazeny libovolnými čísly, jež mohou představovat parametry vazeb lze použít i prostorové matice prostorová matice prvky matice nejsou tvořeny skalárními hodnotami, ale vektory

Maticové zápisy (Mitášová, 1984) matice prvků popisuje propojení prvků booleovská, algebraická matice vazeb – popisuje návaznost vazeb matice popisující vztah mezi prvky a vazbami (výstupní vazby z prvků) matice popisující vztah mezi vazbami a prvky (vstupní vazby prvků) příklad: S = (P, R) P = {x0, x1, x2, x3, x4, x5} R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} incidenční zobrazení φ = { 1(x0, x1); 2(x0, x2); 3(x1, x3) 4(x3, x2); 5(x2, x4); 6(x3, x4); 7(x4, x5); 8(x1, x5)}

Úlohy na systémech indexování prvků přiřazování jedinečné číselné hodnoty každému prvku umožňuje využití matic pokud jsou hrany orientované a systém je acyklický, je snahou, aby indexy prvků ve všech cestách byly rostoucí

Operace systémové algebry logické umocňování precedenční matice P2 = (pij2) r … počet řádek m ... pořadová čísla řádek a sloupců U … operace logického součtu Λ … logický součin

Operace systémové algebry interpretace logického umocňování obecně je m-tý prvek v j-tém sloupci matice Pn-1 běžné násobení matic (algebraických) – interpretace

Operace systémové algebry operace výběru (zapisujeme (v)) výběrový vektor (popisuje složení subsystému Sj) pomocí logických operací se vybírají všechny předchůdci subsystému Sj ve vzdálenosti 1 obecně

Úlohy na statických systémech optimalizační úlohy hledání extrémů funkce využívá se metod matematického programování (lineární, nelineární, celočíselné, konvexní obecně mají tvar g(x)  0

Úlohy na statických systémech úlohy o struktuře řeší se většinou na orientovaných grafech a multigrafech uplatnění mají zejména v analýze a syntéze typy úloh: identifikační úlohy o cestách a cyklech úlohy o společném rozhraní ostatní úlohy

Identifikační úlohy vybírají se a třídí se některé prvky či vazby systému podle určitých vlastností či znaků: identifikace hraničních prvků identifikace hranic subsystémů identifikace prvků podle počtu jejich vazeb úlohy precedenční a sekvenční analýzy: identifikace všech předchůdců a následovníků – využívají se algebraické metody teorie grafů nebo systémové algebry (mocniny P, selekční operace)

Úlohy o cestách a cyklech studují se cesty mezi prvky a jejich vlastnosti (délky cest, doby nutné pro realizaci cesty, kapacity cest apod.) vyšetřování cyklů pro studium zpětných vazeb využívají se metody teorie grafů a systémové algebry typy úloh: identifikace cest mezi dvěma prvky identifikace cyklů zjištění délky cest a doby nutné pro realizaci cesty úlohy o tocích mezi dvěma prvky kapacitní úlohy hamiltonovské cesty (cesty spojující všechny uzly) hledání minimální kostry

Úlohy o rozhraní analyzují se vlastnosti sousedních prvků, subsystémů, prvků a vazeb

Ostatní úlohy simplifikační úlohy a další zjednodušení struktury dekompozice agregace eliminace a další