Základy infinitezimálního počtu Limita funkce v bodě Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě Pojem limita patří k nejzákladnějším pojmům matematiky. Pojem limita není pro nás úplně nový, s pojmem limita jsme se již setkali v odvětví matematiky, které se zabývalo posloupnostmi. Posloupnosti jsme si zavedli jako funkce definované na množině přirozených čísel. f Vyjdeme z grafu funkce f. Víme, jestliže se bod x neomezeně blíží k bodu a, pak se f(x) blíží k b , tedy ke každému -okolí bodu b existuje  okolí bodu a, že pro všechna x U (a) je f(x)  U (b). Toto vyjadřujeme slovy, že funkce f(x) má v bodě a limitu b.  f(x) b  a x Zapisujeme 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇 𝒙 =𝒃   Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě Nyní již můžeme definovat limitu funkce v bodě Funkce f má v bodě a limitu b, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu b existuje okolí bodu a tak, že pro všechna x a z tohoto okolí náleží všechny hodnoty f(x) zvolenému okolí bodu b. Věty o limitě funkce v bodě Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu Funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝑓(𝑎) Příklad: Řešení: Vypočtěte lim 𝑥→2 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 +𝑥+1 Funkce f(x) = 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 +𝑥+1 je v bodě 2 spojitá, pak lim 𝑥→2 3 𝑥 2 −1 𝑥 3 +𝑥+1 = 3∙ 2 2 −1 2 3 +2+1 = 11 11 =1 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě Věta o limitě dvou funkcí Jestliže x U (a) – {a} platí, že f(x) = g(x) a současně lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑏 , potom má v bodě a limitu funkce f a platí lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑏 Příklad: Vypočtěte limitu funkce 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥−3 ; 𝐷 𝑓 =𝑅− −1;3 v bodě 3 Řešení: Funkce f(x) = 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥−3 není v bodě 3 spojitá, pak předpis funkce f upravíme tak, aby nově vzniklá funkce g byla v bodě 3 spojitá. 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥−3 = 𝑥−3 ∙ 𝑥+3 𝑥−3 ∙ 𝑥+1 = 𝑥+3 𝑥+1 =𝑔(𝑥), pak lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→3 𝑥+3 𝑥+1 = 6 4 = 3 2 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí Jestliže lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐴 a lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝐵 , potom platí: lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝐴+𝐵 lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 − lim𝑔 𝑥→𝑎 𝑥 =𝐴−𝐵 lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ∙𝑔 𝑥 ]= lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ∙ lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐴∙𝐵 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎 lim 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 = 𝐴 𝐵 za předpokladu, že lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 ≠0 Příklad: Řešení: lim 𝑥→−1 1 𝑥 2 +𝑙𝑛 𝑥+2 = lim 𝑥→−1 1 𝑥 2 + Příklad: Vypočtěte lim 𝑥→−1 1 𝑥 2 +𝑙𝑛 𝑥+2 + lim 𝑥→−1 𝑙𝑛 𝑥+2 = 1 −1 2 +𝑙𝑛 −1+2 =1 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě cvičení 1 Vypočtěte limity funkcí v daném bodě. Řešení ve tvaru zlomku zapisujte a/b f(x) = x2 – 5cosx, a = 0 g(x) = 𝑥+6 +4 1−𝑥 , a = -2 Vypočtěte limitu funkcí v daném bodě. Užijte větu o limitě dvou funkcí h1(x) = 𝑥−2 𝑥 2 −3𝑥+2 , a = 2 h2(x) = 𝑥 2 +5𝑥−6 𝑥−𝑥 2 , a = 1 h3(x) = 𝑥 2 −8𝑥+15 𝑥 2 −2𝑥−15 , a = 5 h4(x) = 𝑥 3 + 𝑥 2 +𝑥+1 𝑥 2 −2𝑥−3 , a = -1 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě Věta o třech limitách. Jestliže xU (a) – {a} platí fx) g(x)  h (x) a současně lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑎 ℎ 𝑥 =𝑏 , potom existuje také limita funkce g v bodě a a platí lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 =𝑏 Tuto větu použijeme k dokázání důležité limity - lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 =1 Při důkazu vyjdeme z jednotkové kružnice Pro každé x > 0 platí x > sin x  sin 𝑥 𝑥 <1 B A x tg x Obsah kruhové výseče PTA = 𝜋 𝑟 2 𝑥 2𝜋 = 𝑥 2 je menší než obsah trojúhelníku PTB = 𝑡𝑔 𝑥 2 = sin 𝑥 cos 𝑥 ∙ 1 2  𝑥 2 < sin 𝑥 2 cos 𝑥  cos 𝑥< 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 <1 a platí lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥= lim 𝑥→0 1=1 1 sinx P 1 T Tedy podle věty o třech limitách je i 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě Využití dokázané limity 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 =𝟏 při výpočtu limit goniometrických funkcí. Příklad: Vypočtěte limitu funkce 𝑓 𝑥 = 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 v bodě x = 0. Řešení: lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 = lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 ∙ 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑥 2 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑥 2 ∙ 1 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑥 2 ∙ lim 𝑥→0 1 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 =1∙ 1 2 = 1 2 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě cvičení 2 Vypočtěte limity funkcí: lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑥 lim 𝑥→0 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 lim 𝑥→0 𝑡𝑔𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥+ 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 lim 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑥 − 3 𝑥 2 +1 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Limita funkce v bodě shrnutí Připomeneme si nové pojmy: Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, RNDr. Jindra Petáková Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF