Základy infinitezimálního počtu Průběh funkce I Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I - úvod Vyšetřit průběh funkce patří k základním úlohám infinitezimálního počtu. Nejdříve se seznámíme s teoretickým základem nutným pro jeho zkoumání. Věta Rolleova Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: je spojitá v uzavřeném intervalu a; b, v každém bodě otevřeného intervalu (a; b) má derivaci, f(a) = f(b). Potom existuje v otevřeném intervalu (a; b) aspoň jeden bod c, v němž f´(c) = 0. T[c; f(c)] t Na obrázku je nakreslen graf funkce f , která vyhovuje předpokladům Rolleovy věty. Graf funkce má v každém bodě tečnu. Z Rolleovy věty plyne, že aspoň jedna z tečen bude rovnoběžná s osou x. Směrnice této tečny je f´(c) = tg  = 0. f a c b Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I - úvod Zobecnění Rolleovy věty je věta Lagrangeova, která umožňuje odhadnout přírůstek funkce na základě její derivace Věta Lagrangeova o střední hodnotě Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: je spojitá v uzavřeném intervalu a; b, v každém bodě otevřeného intervalu (a; b) má derivaci, Potom existuje v otevřeném intervalu (a; b) aspoň jeden bod c, pro který platí: 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 =𝑓´(𝑐) t T[c; f(c)] Graf funkce má zřejmě v každém bodě tečnu. Tětiva spojující body A[a; f(a)], B[b; f(b)]grafu má směrnici k = tg  = 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 . Pak existuje alespoň jedna tečna, která má stejnou směrnici (je s tětivou AB rovnoběžná) B f A a c b Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I Monotónnost funkce V kapitole základní vlastnosti funkce jsme si připomenuli pojmy funkce rostoucí, klesající a konstantní. Funkce rostoucí nebo klesající nazýváme jedním slovem funkce monotónní. Z předchozích vět vyplývá: Platí-li f´(x) = 0 pro každé x  (a; b), potom je f funkce konstantní. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a; b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a; b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající. Funkce 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , 𝐷 𝑓 =𝑅− 0 má derivaci 𝑓 ´ 𝑥 = 𝑥 −1 ´=− 1 𝑥 2 , v intervalu −∞;0 a taktéž v intervalu 0;+∞ je klesající, protože − 1 𝑥 2 < 0, pro všechna 𝑥∈ 𝐷 𝑓 =𝑅− 0 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Monotónnost funkce cvičení Určete intervaly monotónnosti funkcí: vzor – x<-3 a x>3 klesá, -3<x<3 roste 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −12𝑥 𝑓 𝑥 =3𝑥− 𝑥 3 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥 2 +1 𝑓 𝑥 = 𝑒 − 𝑥 2 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I Extrémy funkce Označení extrémy funkce je souhrnné označení pro maximum a minimum funkce. Pod pojmem extrém funkce rozumíme největší nebo nejmenší hodnotu této funkce v definičním oboru nebo na nějakém uzavřeném intervalu. Tyto extrémy nazýváme lokální extrémy funkce. Obrácená věta k předchozí větě neplatí, protože je-li v bodě x0 derivace f´(x0) = 0, pak nemusí mít funkce v tomto bodě lokální extrém. Říkáme, že bod x0 je „podezřelý z extrému“. Všechny tyto body „podezřelé z extrému“ nazýváme stacionární body Funkce f má v bodě x0 lokální maximum (minimum), existuje-li takové okolí bodu x0, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)). Nutná podmínka existence lokálního extrému funkce. Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f´(x0), pak platí: f´(x0) = 0. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I Extrémy funkce K určení lokálních extrémů jsou důležité následující věty. První věta o postačujících podmínkách pro lokální extrém. Připomeňme si, že lokální extrémy může mít funkce jen v těch bodech, kde je derivace rovna nule nebo neexistuje. Nechť f´(x0) = 0. Jestliže existuje takové okolí U (x0), že v intervalech (x0 - ; x0) a (x0; x0 + ) má f´(x) různá znaménka, má funkce f v bodě x0 ostrý lokální extrém. Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě x0 lokální maximum, Mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě x0 lokální minimum znaménko derivace    x0 x0 x0 x0  rostoucí funkce klesající funkce lokální minimum lokální maximum Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I Extrémy funkce Druhá věta o postačujících podmínkách pro lokální extrém. Je-li f´´(x0) = 0, ke zjištění lokálních extrémů použijeme první větu o postačujících podmínkách pro lokální extrém, zjistíme znaménkové změny 1. derivace v okolí bodu x0. Příklad: Vyšetřete lokální extrémy funkce Nechť x0 je stacionárním bodem funkce f . Existuje-li f´´(x0), pak platí: Je-li f´´(x0) > 0, má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum, Je-li f´´(x0) < 0, má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum, Je-li f´´(x0) = 0, může, ale nemusí mít funkce f v bodě x0 lokální extrém. 𝑓 𝑥 =𝑥+ 1 𝑥 zobrazit postup řešení Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Extrémy funkce příklad 𝑓 𝑥 =𝑥+ 1 𝑥 , 𝐷 𝑓 =𝑅−{0} vypočteme první derivaci funkce 𝑓´ 𝑥 =𝑥´+ (𝑥 −1 )´=1− 𝑥 −2 = 𝑥 2 −1 𝑥 2 položíme f´= 0 a určíme stacionární body 𝑥 2 −1 𝑥 2 =0  𝑥 1 =−1, 𝑥 2 =1 provedeme druhou derivaci 𝑓´´ 𝑥 = (𝑥 2 −1)´ 𝑥 2 − (𝑥 2 −1) 𝑥 2 ´ 𝑥 4 = 2 𝑥 3 Určíme hodnotu druhé derivace ve stacionárních bodech 𝑓´´ −1 =−2<0  má funkce v bodě 𝑥 1 ostré lokální maximum 𝑓´´ 1 =2>0  má funkce v bodě 𝑥 2 ostré lokální minimum Další Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Extrémy funkce cvičení Určete lokální extrémy daných funkcí: vzor – x = 2 max, x = 6 min 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 −9𝑥 𝑓 𝑥 = −𝑥 4 +2+3 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑥+3 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 𝑓(𝑥) = 4𝑥− 𝑥 2 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Průběh funkce I shrnutí Připomeneme si nové pojmy: V další kapitole se seznámíme s pojmem integrálního počtu – primitivní funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, RNDr. Jindra Petáková Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF