Predikátová logika1 Predikátová logika 1. řádu Teď „logika naostro“ !

Predikátová logika2 Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice  Judy má ráda banány Z hlediska VL jsou to jednoduché výroky p, q, r a z p, q nevyplývá r Všichni studenti jsou chytří Karel není chytrý  Karel není student Jaké je zde platné úsudkové schéma?

Predikátová logika3 Úsudkové schéma Schéma připomíná platná schémata VL: p  q, p |= q či p  q,  q |=  p Ale ve VL nemůžeme (roz)analyzovat tyto jednoduché výroky. Zkusme je přeformulovat:  Každé individuum, je-li Opice, pak má rádo Banány  Judy je individuum s vlastností být Opice   Judy je individuum s vlastností mít rádo Banány   x [O(x)  B(x)], O(J) |= B(J), kde x je individuová proměnná, O, B predikátové symboly, J funkční symbol  Jde opět o schéma: Za O, B, J můžeme dosadit jiné vlastnosti či jiné individuum, např. po řadě člověk, smrtelný, Karel. O, B, J jsou zde pouze symboly zastupující vlastnosti a individua

Predikátová logika4 Formální jazyk PL1 Abeceda  Logické symboly individuové proměnné: x, y, z,... Symboly pro spojky: , , , ,  Symboly pro kvantifikátory: ,   Speciální symboly Predikátové: P n, Q n,... n – arita = počet argumentů Funkční: f n, g n, h n,...-- „ --  Pomocné symboly: závorky (, ),...

Predikátová logika5 Formální jazyk PL1 Gramatika  termy: i. každý symbol proměnné x, y,... je term ii. jsou-li t 1,…,t n (n  0) termy a je-li f n-ární funkční symbol, pak výraz f(t 1,…,t n ) je term; pro n = 0 se jedná o individuovou konstantu (značíme a, b, c, …) iii. jen výrazy dle i. a ii. jsou termy

Predikátová logika6 Formální jazyk PL1 Gramatika  atomické formule: je-li P n-ární predikátový symbol a jsou-li t 1,…,t n termy, pak výraz P(t 1,…,t n ) je atomická formule  formule: každá atomická formule je formule je-li výraz A formule, pak  A je formule jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) jsou formule je-li x proměnná a A formule, pak výrazy  x A a  x A jsou formule

Predikátová logika7 Formální jazyk PL1 1. řád  Jediné proměnné, které můžeme používat s kvantifikátory, jsou individuové proměnné  Nemůžeme kvantifikovat přes proměnné vlastností či funkcí  Příklad: Leibnizova definice rovnosti. Mají-li dvě individua všechny vlastnosti stejné, pak je to jedno a totéž individuum  P [ P(x) = P(y)]  (x = y) jazyk 2. řádu, kvantifikujeme přes vlastnosti

Predikátová logika8 Příklad: jazyk aritmetiky Má tyto (speciální) funkční symboly:  nulární symbol: 0 (konstanta nula) – konstanta je nulární funkční symbol  unární symbol: s (funkce následník)  binární symboly: + a  (funkce sčítání a násobení) Příkladem termů jsou (používáme infixní notaci pro + a  ):  0, s(x), s(s(x)), (x + y)  s(s(0)), atd. Formulemi jsou např. výrazy (= je zde speciální predikátový symbol):  s(0) = (0  x) + s(0),  x (y = x  z),  x [(x = y)   y (x = s(y))]

Predikátová logika9 Převod z přirozeného jazyka do jazyka PL1  „všichni“, „žádný“, „nikdo“,...   „někdo“, „něco“, „někteří“, „existuje“,...   Větu musíme často ekvivalentně přeformulovat  Pozor: v češtině dvojí zápor !  Žádný student není důchodce:  x [S(x)   D(x)]  Ale, „všichni studenti nejsou důchodci“ čteme jako „ne všichni studenti jsou důchodci“:  x [S(x)  D(x)]   x [S(x)   D(x)]

Predikátová logika10 Převod z přirozeného jazyka do jazyka PL1  Pomocné pravidlo:  + ,  +  (většinou)   x [P(x)  Q(x)]   x [P(x)   Q(x)] Není pravda, že všechna P jsou Q  Některá P nejsou Q   x [P(x)  Q(x)]   x [P(x)   Q(x)] Není pravda, že některá P jsou Q  Žádné P není Q

Predikátová logika11 Převod z přirozeného jazyka do jazyka PL1  Pouze zaměstnanci používají výtah  x [V(x)  Z(x)]  Všichni zaměstnanci používají výtah  x [Z(x)  V(x)]  Marie má ráda pouze vítěze:  Tedy pro všechny platí: pokud má Marie někoho ráda, pak je to vítěz:  x [R(m, x)  V(x)], „mít rád“ je binární vztah, ne vlastnost !!!

Predikátová logika12 Převod z přirozeného jazyka do jazyka PL1  Everybody loves somebody sometimes   x  y  t L(x, y, t)  Everybody loves somebody sometimes but Hitler doesn’t like anybody   x  y  t L(x, y, t)   z L’(h, z)  Nobody loves anybody – 1 zápor (nikdo nemá nikoho rád) – 3 zápory   x  y  L’(x, y)   x  y L’(x, y)

Predikátová logika13 Volné, vázané proměnné   x  y P(x, y, t)   x Q(y, x) vázané, volnávolná, vázaná Formule s čistými proměnnými: pouze volné výskyty nebo pouze vázané, ale každý kvantifikátor má své proměnné. Např. x ve druhém konjunktu je jiné než v prvním, tak proč jej nazývat stejně?   x  y P(x, y, t)   z Q(u, z)

Predikátová logika14 Substituce termů za proměnné  A  x/t   vznikne z A korektní substitucí termu t za proměnnou x. Má-li být substituce korektní, musí splňovat následující dvě pravidla:  Substituovat lze pouze za volné výskyty proměnné x ve formuli A a při substituci nahrazujeme všechny volné výskyty proměnné x ve formuli A termem t.  Žádná individuová proměnná vystupující v termu t se po provedení substituce x/t nesmí stát ve formuli A vázanou (v takovém případě je term t za proměnnou x ve formuli A nesubstituovatelný).

Predikátová logika15 Substituce, příklad  A(x): P(x)   y Q(x, y), term t = f(y)  Provedeme-li substituci A(x/f(y)), dostaneme: P(f(y))   y Q(f(y), y).  term f(y) není substituovatelný za x v dané formuli A  Změnili bychom smysl formule

Predikátová logika16 Sémantika PL1 !!! P(x)   y Q(x, y) – je tato formule pravdivá? Nesmyslná otázka, vždyť nevíme, co znamenají symboly P, Q. Jsou to jen symboly, za které můžeme dosadit jakýkoli predikát. P(x)  P(x) – je tato formule pravdivá? ANO, je, a to vždy, za všech okolností.

Predikátová logika17 Sémantika PL1 !!!  x P(x, f(x))musíme se dohodnout, jak  x P(x, f(x))budeme tyto formule chápat 1) O čem mluví, přes co „rangují“ proměnné: zvolíme universum diskursu, jakákoli neprázdná množina U   2) Co označuje symbol P; je binární, má dva argumenty, tedy musí označovat nějakou binární relaci R  U  U 3) Co označuje symbol f ; je unární, má jeden argument, tedy musí označovat nějakou funkci F  U  U, značíme F: U  U

Predikátová logika18 Sémantika PL1 !!! A:  x P(x, f(x))musíme se dohodnout, jak B:  x P(x, f(x))budeme tyto formule chápat 1) Nechť U = N (množina přirozených čísel) 2) Nechť P označuje relaci < (tj. množinu dvojic takových, že první člen je ostře menší než druhý: {  0,1 ,  0,2 , …,  1,2 , …}) 3) Nechť f označuje funkci druhá mocnina x 2, tedy množinu dvojic, kde druhý člen je druhá množina prvního: {  0,0 ,  1,1 ,  2,4 , …,  5,25 , …} Nyní můžeme teprve vyhodnotit pravdivostní hodnotu formulí A, B

Predikátová logika19 Sémantika PL1 !!! A:  x P(x, f(x)) B:  x P(x, f(x)) Vyhodnocujeme „zevnitř“: Nejprve vyhodnotíme term f(x). Každý term označuje prvek universa. Který? Záleží na valuaci e proměnné x. Nechť e(x) = 0, pak f(x) = x 2 = 0. e(x) = 1, pak f(x) = x 2 = 1, e(x) = 2, pak f(x) = x 2 = 4, atd. Nyní vyhodnocením P(x, f(x)) musíme dostat pravdivostní hodnotu: e(x) = 0, 0 není < 0 Nepravda e(x) = 1, 1 není < 1 Nepravda, e(x) = 2, 2 je < 4 Pravda

Predikátová logika20 Sémantika PL1 !!! A:  x P(x, f(x)) B:  x P(x, f(x)) Formule P(x, f(x)) je pro některé valuace e proměnné x v dané interpretaci Pravdivá, pro jiné nepravdivá Význam  x (  x): formule musí být pravdivá pro všechny (některé) valuace x Formule A: Nepravdivá v naší interpretaci I: |  I A Formule B: Pravdivá v naší interpretaci I: |= I B

Predikátová logika21 Model formule, interpretace A:  x P(x, f(x)) B:  x P(x, f(x)) Našli jsme interpretaci I, ve které je formule B pravdivá. Interpretační struktura  N, <, x 2  splňuje formuli B pro všechny valuace proměnné x, je to model formule B. Jak upravíme interpretaci I, aby v ní byla pravdivá formule A? Nekonečně mnoho možností, nekonečně mnoho modelů. Např.  N, <, x+1 ,  {N/{0,1}, <, x 2 ,  N, , x 2  Všechny modely formule A jsou také modely formule B („co platí pro všechny, platí také pro některé“)

Predikátová logika22 Model formule, interpretace C:  x P(x, f(y))jaké budou modely této formule (s volnou proměnnou y)? Zvolme opět: 1. Universum U = N 2. Symbolu P přiřadíme relaci  3. Symbolu f přiřadíme funkci x 2 Je struktura IS =  N, , druhá mocnina  modelem formule C? Aby tomu tak bylo, musela by být formule C pravdivá v IS pro všechna ohodnocení proměnné y. Tedy formule P(x, f(y)) by musela být pravdivá pro všechna ohodnocení x a y. Ale to není, např. Pro e(x) = 5, e(y) = 2, 5 není  2 2

Predikátová logika23 Model formule, interpretace C:  x P(x, f(y))jaké budou modely této formule (s volnou proměnnou y)? Struktura  N, , x 2  není modelem formule C Modelem (triviálním) je např.  N, , x 2 . Prázdná množina  dvojic je také relace nad N. Nebo je modelem struktura  N, , F , kde F je funkce, zobrazení N  N takové, že sudým číslům přiřazuje 0, lichým 1.

Predikátová logika24 Intermezzo: relace Relace mezi množinami A, B je podmnožina Kartézského součinu A  B. Kartézský součin A  B je množina všech uspořádaných dvojic  a, b , kde a  A, b  B (Binární) relace R 2 na množině M je podmnožina Kartézského součinu M  M: R 2  M  M n-ární relace R n na množině M: R n  M ...  M n krát

Predikátová logika25 Intermezzo: relace Pozor: dvojice  a,b    b,a , ale množina {a,b} = {b,a}  a, a    a , ale {a,a} = {a} U n-tic záleží na pořadí, prvky se mohou opakovat, na rozdíl od množin Notace:  a,b   R značíme prefixně R(a,b), nebo infixně a R b. Např. 1  3.

Predikátová logika26 Intermezzo relace Příklad: Binární relace na N: < (ostře menší) {  0,1 ,  0,2 ,  0,3 ,…,  1,2 ,  1,3 ,  1,4 , …,  2,3 ,  2,4 ,…,  3,4 ,…,  5,7 ,…,  115,119 ,.…} Ternární relace na N: {  0,0,0 ,  1,0,1 ,  1,1,0 ,…,  2,0,2 ,  2,1,1 ,  2,2,0 , …,  3,0,3 ,  3,1,2 ,  3,2,1 ,  3,3,0 ,…,  115,110,5 ,.…} – množina trojic přirozených čísel takových, že 3. číslo je rozdíl 1. číslo minus 2. číslo Relace adresa osoby: {  Jan Novák, Praha 5, Bellušova 1831 ,  Marie Duží, Praha 5, Bellušova 1827 ,...,}

Predikátová logika27 Intermezzo: funkce (zobrazení) n-ární funkce F na množině M je speciální zprava jednoznačná n+1-ární relace F  M ...  M: (n+1 krát)  a  b  c ([F(a,b)  F(a,c)]  b=c) Parciální F: ke každé n-tici prvků a  M ...  M existuje nanejvýš jeden prvek b  M. n x Značíme F: M ...  M  M, místo F(a,b) píšeme F(a)=b. Množinu M ...  M nazýváme definiční obor funkce F, množinu M pak obor hodnot. Příklad: Relace na N {  1,1 ,1 ,  2,1 ,2 ,  2,2 ,1 , …,  4,2 ,2 , …,  9,3 ,3 , …,  27,9 ,3 ,.…} je parciální funkce dělení beze zbytku. Také relace minus na N (viz předchozí slide) je na N parciální funkcí: např. dvojice  2,4  nemá v N obraz. Aby byla totální, museli bychom rozšířit její definiční obor na celá čísla.

Predikátová logika28 Intermezzo: funkce (zobrazení) Jako interpretace funkčních symbolů formulí PL1 používáme pouze totální funkce: Totální funkce F: A  B: Ke každému prvku a  A existuje právě jeden prvek b  B takový, že F(a)=b:  a  b F(a)=b   a  b  c [(F(a)=b  F(a)=c)  b=c] Zavádíme někdy speciální kvantifikátor  ! s významem „existuje právě jedno“ a píšeme:  a  !b F(a)=b

Predikátová logika29 Intermezzo: funkce (zobrazení) Příklady: Relace + {  0,0,0 ,  1,0,1 ,  1,1,2 ,  0,1,1 , …} je na N (totální binární) funkce. Každým dvěma číslům přiřadí právě jedno, jejich součet. Místo  1,1,2   + píšeme 1+1=2 Relace  není funkce:  x  y  z [(x  y)  (x  z)  (y  z)] Relace {  0,0 ,  1,1 ,  2,4 ,  3,9 ,  4,16 , …} je na N totální funkce druhá mocnina (x 2 )

Predikátová logika30 Zobrazení f: A  B je surjekce (zobrazení A na B), jestliže k libovolnému b  B existuje a  A takový, že f(a)=b. –  b [B(b)   a (A(a)  f(a)=b)]. Zobrazení f: A  B je injekce (prosté zobrazení A do B), jestliže pro všechna a  A, b  A taková, že a  b platí, že f(a)  f(b). –  a  b [(A(b)  A(a)  (a  b))  (f(a)  f(b))]. Zobrazení f: A  B je bijekce (prosté zobrazení A na B), jestliže f je surjekce a injekce.

Predikátová logika31 Intermezzo: funkce (zobrazení) Příklad: surjekceinjekcebijekce { }{2 3 4 }{ } { }{ }{ } Existuje-li mezi množinami A, B bijekce, pak říkáme, že mají stejnou kardinalitu.

Predikátová logika 32 Intermezzo: kardinalita, spočetné množiny Množina A, která má stejnou kardinalitu jako množina N přirozených čísel, se nazývá spočetná. Příklad: množina sudých čísel S je spočetná. Prosté zobrazení f množiny S na N je dáno předpisem: f(n) = 2n. Tedy 0  0, 1  2, 2  4, 3  6, 4  8, … Jeden z paradoxů Cantorovy teorie množin: S  N (vlastní podmnožina) a přitom počet prvků obou množin je stejný: Card(S) = Card(N)!

Predikátová logika33 Intermezzo: kardinalita, nespočetné množiny Množina racionálních čísel R je rovněž spočetná. Bijekce N na R je např.: 0  0, 1  1, 2  ½, 3  2, 4  1/3, 5  2, 6  3, 7  ¼, 8  2/3, 9  3/2, 10  4, … Existují však nespočetné množiny: nejmenší z nich je množina reálných čísel R Už v intervalu  0,1  je reálných čísel více než je všech přirozených, ale stejně mnoho jako všech R! (Cantorův diagonální důkaz: Kdyby bylo v tomto intervalu čísel R spočetně mnoho, pak by šly uspořádat do posloupnosti 1.,2.,3.,…, každé z nich je tvaru 0,i 1 i 2 i 3 …V posloupnosti desetinných míst i 1 i 2 i 3 … přičteme každému n-tému číslu i n v jeho rozvoji číslo 1. Dostaneme číslo, které v původní uspořádané posloupnosti nebylo.) – viz další snímek

Predikátová logika34 Cantorův diagonální důkaz nespočetnosti reálných čísel i 11 i 12 i 13 i 14 i 15 i 16 i 17 2 i 21 i 22 i 23 i 24 i 25 i 26 i 27 3 i 31 i 32 i 33 i 34 i 35 i 36 i 37 4 i 41 i 42 i 43 i 44 i 45 i 46 i 47 5i 51 i 52 i 53 i 54 i 55 i 56 i 57 …. Nové číslo, které v tabulce není: 0,i i i i i …