Prezentace je dostupná i na http://stemetsou.chytrak.cz TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY STEREOMETRIE Poznámky pro žáky se SPU Prezentace je dostupná i na http://stemetsou.chytrak.cz DOC PDF Milan Hanuš; hanusm@sos-souhtyn.cz

Stereometrie je matematická vědní disciplina zabývající se prostorovými útvary a jejich vztahy. Je to geometrie v prostoru. Tělesa 1. HRANOL a) kolmý hranol pětiboký hranol trojboký hranol kvádr Horní podstava hranolu Boční stěny tvoří plášť hranolu Dolní podstava hranolu V praxi se používá pojmu hranol častěji než kvádr. Např. dřevěný hranol (trám, des-ka - „fošna“), ocelový hranol atd. b) kosý hranol Úkol: Pojmenujte tři předměty kolem sebe tvaru hranolu.

Objem tělesa Základní jednotkou objemu tělesa V je m3. 1m3 = 103 dm3 =1003 cm3 = 10003 mm3 c tisíc milion miliarda a b 1. Objem hranolu se vypočte tak, že plochu podstavy Sp (m2) násobíme výškou hranolu v (m). V = Sp • v Objem kvádru o hranách a,b,c se vypočte tak, že plochu podstavy Sp = a • b (m2) násobíme výškou hranolu c (m). V = Sp • c = a • b • c Objem krychle o hraně a se vypočte tak, že hranu krychle umocníme na třetí. V = a3 Úkol: Je dána krychle o délce hrany 3 m a kvádr o délce hran 2 m, 3 m, a 4 m. Které těleso má větší objem ? Úkol: Je dán trojboký hranol. Podstavné hrany měří 3 m, 4 m, 5 m a jeho délka je 2 m. Může být jeho objem 12 m3? Ano, může. Podstavou je pravoúhlý trojúhelník. Větší objem má krychle, neboť 33>2x3x4 Kalkulačka Kalkulačka v EXCELU

2. Rotační válec V = π • d2 • v • 1/4 = π • r2 • v v d Horní podstava válce Plášť válce v d Dolní podstava válce Objem válce = plocha podstavy krát výška válce. V = π • d2 • v • 1/4 = π • r2 • v Úkol: Do místnosti se vchází dveřmi označenými jako 900L. Lze jimi z místnosti odnést krychlový kontejner o objemu 900 litrů? Úkol: Lze benzín z krychlové nádrže o hraně 0,85 m přelít beze zbytku do pravidelného válce d = v = 0,85m? Nelze √(900 000 000)>900 Nelze Vkrychle>VVálce Kalkulačka

Více písku bude v jehlanu, protože 1/3 > π/12 Objem tělesa 3. Objem jehlanu je 1/3 objemu hranolu o stejné podstavě a výšce. v V = 1/3 • a • b • v b a Jehlan na PC 4. Objem kužele je 1/3 objemu válce o stejné podstavě a výšce. V = π • d2 • v • 1/12 = 1/3 π • r2 • v v d Ve skladu jsou dvě plné násypky písku. Jedna má tvar pravidelného jehlanu a = b = v = 4,2 m a druhá má tvar pravidelného kuželu d = v = 4,2 m. Ve které ná-sypce bude více písku? Více písku bude v jehlanu, protože 1/3 > π/12 Kalkulačka Kalkulačka v EXCELU

Komolá tělesa 5. Komolý jehlan Sh c d v Sd b a Kolik m3 betonu je třeba na hlavici sloupku tvaru komolého jehlanu. Základna má plochu 0,16 m2, plocha horního čtverce je 0,01 m2.. Výška hlavice je 0,3 m. Postup na kalkulačce: 0,3 / 3 x ( 0,16 + √ (0,16 x 0,01) + 0,01) = 0,021 m3 Kalkulačka Kalkulačka v EXCELU

5. Komolý rotační kužel Sh d v Sd D Úkol: Pánvička o Ø 20 cm má tvar komolého kužele s Ø dna 14 cm. Kolik litrů oli-vového oleje je v pánvičce, když jeho vrstva je 0,5 cm silná a Ø hladiny je 16 cm? Postup: Olej v pánvičce má tvar komolého kužele vysokého 0,5 cm. ( V = π•v/12• (D2 + + D•d + d2). Pak cm3 převedeme na dm 3 (litry). Postup na kalkulačce: π ·x 0,5 / 12 x (16^2 + 16 x 14 + 14^2) / 1000 = 0,09 litru Kalkulačka Kalkulačka v EXCELU

6. Koule 7. Kulová úseč d v 2ρ r v´ Kalkulačka v EXCELU Úkol: Uveďte vzorec pro kulovou úseč, jestliže platí v = r. Jak se tato kulová úseč nazývá? Uveďte příklady předmětů tohoto tvaru. Úkol: Hustota železa je 7 800 kgm-3. Kolik váží přibližně kominická koule o průměru 100 mm? V = πv2(v – v/3) = πv22v/3 = 2/3 πv3 a to je ½ koule čili polokoule V = 1/6πd3 = 1/6•π•0,13 •7800 = 4 kg Kalkulačka

8. Kulová vrstva 9. Kulová výseč 2ρ1 v r 2ρ2 v 2ρ r Úkol: Kulová vrstva má výšku a menší poloměr 3 m, větší poloměr je o 2 m větší. Jaký je její objem? Úkol: Nakreslete kulovou vrstvu a kulovou výseč, pro které platí v > r. Kalkulačka:πv/6(3ρ12 + 3 ρ12 + v2) = π·3/6·(3·32 + 3·52 + 32) = 174,328 m3 Kalkulačka Kalkulačka v EXCELU

Větší povrch má krychle, protože 6 x 32 > π x 32 Povrch těles (S) 1. Hranol S = 2 • Spodstavy + SPláště c Kvádr S = 2 • (ab + ac + bc) a b SPláště = 2 • (ac + bc) Krychle S = 6 • a2 2. Rotační válec S = 2 • π • (r + v) v SPláště = 2 • π • r • v SPláště = π • d • v d Úkol: Jsou dána dvě tělesa. Krychle o hraně 3 m a pravidelný válec o d = v = 3 m. Které těleso má větší povrch? Kalkulačka Větší povrch má krychle, protože 6 x 32 > π x 32 Kalkulačka v EXCELU

3. Jehlan 4. Rotační kužel S = SPodstavy + SPláště S = ab + ava + bvb S = πr2 + πrs = πr • (r + s) SPláště = πrs s v d Úkol: Vypočtěte plochu pláště kuželové krytky. Průměr kužele je 258 mm a délka strany je také 258 mm. 104 558,5 mm2 Kalkulačka

S = a · b + c · d + (a + c) · va + (b + d¨) · vb 5. Komolý jehlan S = Sd + Sh + SPláště S = a · b + c · d + (a + c) · va + (b + d¨) · vb Sh c d va vb 6. Komolý rotační kužel Sd b S = Sd + Sh + SPláště S = π · R2 + π · r2 + π · (R + r) · s a Sh 2r s Úkol: Kolik barvy se spotřebuje na nátěr plechového krytu kruhového bazénu Ø 4,8 m? Kryt má tvar komolého kužele o délce strany 1,2 m a Ø stropu 4 m. Na 1 m2 se spotřebuje 0,3 kg barvy. Sd 2R Postup: 1. Plocha bez dolní podstavy: Sh + SPláště = π · r2 + π · (R + r) · s = π · (r2 + (R + r) · s) = mezivýsledek 2. Potřeba barvy: Plocha krytu (m2) x 0,3 Kalkulačka: π x (4^2 +(4,8 + 4) x 1,2) x 0,3 = Kalkulačka 26 kg barvy

6. Kulový vrchlík (bez podstavy) 6. Koule S = πd2 S = 4 πr2 d 6. Kulový vrchlík (bez podstavy) S = 2πrv S = πdv v r Úkol: Jak velká plocha naběračky se zaoblením o Ø 20 cm a hloubce 5 cm se smočí při ponoření do barvy? (Smáčí se pouze z vnějšku.) v´ Kalkulačka: π x 20 x 5 = 314,159 cm2 Kalkulačka v EXCELU Kalkulačka

6. Kulový pás (bez podstav) r S = 2πrv S = πdv Úkol: Kolik pětikilových plechovek zelené barvy se spotřebuje na 2 m široký pás na kulovém vodojemu o Ø 8m? Vydatnost barvy je 0,4 kg/m2. Postup: 1. Plocha kulového pásu: S = πdv S = π . 8 . 2 2. Spotřeba barvy: m = S . 0,4 Počet plechovek = m/5 Kalkulačka: π x 8 x 2 x 0,4 / 5 = 5 plechovek barvy Na natření kulového pásu se spotřebuje 5 plechovek barvy. Kalkulačka

K O N E C T E S T Průměty těles TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY K O N E C T E S T Průměty těles

TEST pro skupiny A, B ................................... ………………. ................................... ………………. Jméno a příjmení Třída Datum: ………………………… Záhon dlouhý 18m a široký 5m byl zalit 80 desetilitrovými konvemi. Kolik milimetrů musí napršet, aby byl záhon stejně zavlažen jako po tomto zalití ? Z krychle o hraně 6 cm byla vysoustruhována koule o poloměru 3 cm. Vypočítej, kolik procent byl odpad. 3. Kolik stojí dřevěná coulová deska („prkno“) dlouhá 3,2 m a široká 12 cm? 1“ je asi 2,5cm, 1m3 řeziva stojí 2 500 Kč. ....................................................................................................................................... Jméno a příjmení Třída Datum: ………………………… 1. Kolik metrů čtverečných plechu je třeba na zhotovení 30 m okapových rour tvaru válce o průměru 10 cm, když počítáme s 5 % odpadem ? 2. Nádrž tvaru krychle má objem 640 hl. Vypočítej délku hrany nádrže. 3. Kolik litrů polévky je v hrnci o Ø 4 dm a výšce 65 cm, je-li hladina polévky 5 cm pod okrajem hrnce? 9 mm asi 47,7 % 24 Kč TEST pro skupiny A, B 9,9 m2 a = 40 dm Asi 75,4 litru