Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-55 – DERIVACE FUNKCE XI (derivace funkce a lokální extrémy funkce – úvod, motivace) Anotace Definice lokálních extrémů funkce, hledání lokálních extrémů pomocí první derivace funkce. Animace jako dynamický prvek výuky vedoucí k pochopení pojmů. AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák rozumí definicím, je schopen určovat extrémy funkce z grafu funkce. Žák umí na základě výpočtu první derivace funkce a zjištění monotónnosti funkce určit body, ve kterých má funkce lokální extrémy. Zjišťování extrémů funkce dovede žák využít při vyšetřování průběhu funkce. Klíčová slova Lokální maximum, ostré lokální maximum, lokální minimum, ostré lokální minimum, první derivace funkce, funkce rostoucí, klesajícÍ. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

DERIVACE FUNKCE A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE Při vyšetřování (zjišťování) lokálních extrémů funkce nás zajímá, ve kterých bodech nabývá funkce (lokálně – v okolí určitého bodu) maximální či minimální hodnoty. Na grafu funkce y = f(x), která je spojitá v intervalu (a; b), určete body, ve kterých má funkce lokální maximum (minimum). Může vám pomoci představa zakresleného profilu pohoří, po kterém jdete na procházku z bodu [a; f(a)] do [b; f(b)]. Dovedete říci, ve kterých bodech se ocitnete na procházce nejvýše (v maximální výšce) nebo nejníže (v minimální výšce)?

 DEFINICE LOKÁLNÍHO MAXIMA Funkce f má v bodě x 0 lokální maximum tehdy, když existuje  -okolí bodu x 0 [tedy interval (x 0 –  ; x 0 +  )  D(f)], že pro každé x  (x 0 –  ; x 0 +  ) platí: f(x)  f(x 0 ). Platí-li v zápisu f(x)  f(x 0 ) rovnost pouze pro x = x 0, říkáme, že má funkce f v bodě x 0 ostré lokální maximum. Dovedete určit derivaci funkce y = f(x) v bodě x 0 ?

 PŘIPOMENUTÍ – GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE V BODĚ Podívejte se na obrázek a určete znaménko či hodnotu derivace funkce y = f(x) v bodě z, m, r. f / (z)>0f / (m)=0f / (r)<0 Pro jaká x je hodnota první derivace funkce f kladná, nulová, záporná?

JAK ZJISTIT (VYPOČÍTAT) BOD, VE KTERÉM MÁ FUNKCE OSTRÉ LOKÁLNÍ MAXIMUM? SLEDUJTE POZORNĚ ANIMACI, JISTĚ VÁS VÝPOČET NAPADNE.  Úloha: Vypočítejte bod x 0, ve kterém nabývá funkce f: y = – x x – 1 maximální hodnoty. [řešení úlohy]řešení úlohy

 DEFINICE LOKÁLNÍHO MINIMA Funkce f má v bodě x 0 lokální minimum tehdy, když existuje  -okolí bodu x 0 [tedy interval (x 0 –  ; x 0 +  )  D(f)], že pro každé x  (x 0 –  ; x 0 +  ) platí: f(x)  f(x 0 ). Platí-li v zápisu f(x)  f(x 0 ) rovnost pouze pro x = x 0, říkáme, že má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Dovedete určit derivaci funkce y = f(x) v bodě x 0 ?

 PŘIPOMENUTÍ – GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE V BODĚ Podívejte se na obrázek a určete znaménko či hodnotu derivace funkce y = f(x) v bodě z, m, r. f / (z)<0f / (m)=0f / (r)>0 Pro jaká x je hodnota první derivace funkce f kladná, nulová, záporná?

JAK ZJISTIT (VYPOČÍTAT) BOD, VE KTERÉM MÁ FUNKCE OSTRÉ LOKÁLNÍ MINIMUM? SLEDUJTE POZORNĚ ANIMACI, JISTĚ VÁS VÝPOČET NAPADNE.  Úloha: Vypočítejte bod x 0, ve kterém nabývá funkce f: y = x x minimální hodnoty. [řešení úlohy][řešení úlohy]

 AUTOTEST Určete, pro která x  R nabývá funkce lokálního minima, pro která x  R nabývá lokálního maxima. y = 3 x x = 3 x (x + 4) y = 0  ( x = 0  x = – 4) … body podezřelé z lokálních extrémů jsou 0, – 4 f: y = x x 2  x  (–  ; – 4); f(x) > 0  funkce f je rostoucí v intervalu (–  ; – 4)  x  (– 4; 0); f(x) < 0  funkce f je klesající v intervalu (– 4; 0)  x  (0; +  ); f(x) > 0  funkce f je rostoucí v intervalu (0; +  ) funkce f má v bodě – 4 (ostré) lokální maximum f (– 4) = 32 funkce f má v bodě 0 (ostré) lokální minimum f (0) = 0

MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 158, úloha 44. ISBN p1) p3) p5) p2) p4) f: y = – x x f: y = x x 3 f: y = x 3 – 3 x 2 – 9 x f: y = x 3 – 12 x + 9 f: y = x x 4  ÚLOHY K DOMÁCÍMU PROCVIČENÍ Určete, pro která x  R nabývá funkce lokálního minima, pro která x  R nabývá lokálního maxima. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

f: y = – x x – 1 [návrat na předcházející stránku]návrat na předcházející stránku y = – 2 x + 4 y = 0  – 2 x + 4 = 0  x = 2 Jak je to se znaménkem první derivace funkce?  x  (–  ; 2); f(x) > 0  funkce f je rostoucí v intervalu (–  ; 2)  x  (2; +  ); f(x) < 0  funkce f je klesající v intervalu (2; +  ) funkce f má v bodě 2 (ostré) lokální maximum f(2) = 3 průsečíky funkce s osami souřadnými f(0) = – 1 f(x) = 0  – x x – 1 = 0  x 2 – 4 x + 1 = 0 D = 12

f: y = x x [návrat na předcházející stránku]návrat na předcházející stránku y = 2 x + 4 y = 0  2 x + 4 = 0  x = – 2 Jak je to se znaménkem první derivace funkce?  x  (–  ; – 2); f(x) < 0  funkce f je klesající v intervalu (–  ; – 2)  x  (– 2; +  ); f(x) > 0  funkce f je rostoucí v intervalu (– 2; +  ) funkce f má v bodě – 2 (ostré) lokální minimum f(– 2) = – 4 můžeme určit průsečíky funkce s osami souřadnými f(0) = 0 f(x) = 0  x2 + 4 x = 0  x (x + 4) = 0  x = 0  x = – 4