řešené soustavou rovnic Výuka anglického, německého jazyka a matematiky na středních školách ve třídách s integrovanými žáky se specifickými poruchami učení pomocí informačních a komunikačních technologií TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Slovní úlohy řešené soustavou rovnic Přehled učiva K učebnici Calda, E.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU 2. díl Prometheus, 2002, s. 45 Milan Hanuš

Slovní úlohy řešení pomocí soustavy rovnic a) Slovní úlohy o směsích b) Slovní úlohy o pohybu c) Slovní úlohy o společné práci a) Logické slovní úlohy Obecný postup řešení slovní úlohy pomocí soustavy rovnic 1. Určení neznámých 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti 3. Sestavení dvou rovnic 4. Vyřešení soustavy 5. Zkouška dle slovní úlohy

a) Slovní úlohy o směsích Kolik litrů 80% roztoku fungicidu je třeba k přípravě 200 litrů 0,5% postřiku z 0,2% roztoku? 80% roztok … x litrů 0,2% roztok … y litrů 1. Určení neznámých 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti a) Množství roztoku musí být celkem 200 litrů b) Obsah fungicidu v 80% roztoku … x • 0,8 (litru) Obsah fungicidu v 0,2% roztoku … y • 0,002 (litru) Ve výsledném roztoku musí být celkem fungicidu …200 • 0,5/100 = 1 (litrů) 3. Sestavení dvou rovnic x + y = 200 0,8x + 0,002y = 200 • 0,005

x + y = 200 4. Vyřešení soustavy 0,8x + 0,002y = 200 • 0,005 0,8(200 – y) + 0,002y = 1 160 – 0,8y + 0,002y = 1 160 – 0,798y = 1 -0,798y = 1 – 160 -0,798y = -159 | : (-0,798) y = 199,25 x + y = 200 x + 199,25 = 200 x = 200 – 199,25 x = 0,75 Na přípravu 200 litrů 0,5% postřiku je třeba 199,25 litrů 0,2% roztoku a ¾ litru 80% roztoku fungicidu.

b) Slovní úlohy o pohybu Z Domažlic do Staňkova je 20 km. Kdyby z obou měst vyjeli současně v 8:00 hod. cyklista a motocyklista, potkají se v 8:15 hodin. Kdyby vyjeli ve stejnou dobu ze Staňkova současně, budou v 8:05 hodin od sebe vzdáleni 2 km. Jakou rychlostí jezdí motocyklista a jakou cyklista? Postup: Cyklista jede rychlostí … x km/h Motocyklista jede rychlostí … y km/h 1. Určení neznámých 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti Součet ujetých drah při jízdě proti sobě musí být za 15´… 20 km. Rozdíl ujetých drah při jízdě za sebou musí být za 5´ … 2 km cyklista za 15´ ujede … km (s=vt) motocyklista za 15´ ujede … km cyklista za 5´ ujede … km motocyklista za 5´ ujede … km

3. Sestavení dvou rovnic Zk: ¼ • 52 + ¼ • 28 = 13 + 7 = 20 km 1/12 • 52 - 1/12 • 28 = 2 km Cyklista je pomalejší! 4. Vyřešení soustavy Cyklista jede rychlostí 28 km/h a moto-cyklista 52 km/h.

c) Slovní úlohy o společné práci Z nádrže o objemu 0,99m3 jsou zásobovány dva dieselagregáty. Po 6 hodinách chodu obou agregátů se jeden zastavil. Zbývající agregát s hodinovou spotřebou o 10 l/h vyšší zbytek nádrže spotřebuje za dvě hodiny. Určete hodinové spotřeby obou agregátů. Postup: 1. Určení neznámých Hodinová spotřeba agregátu, který se zastavil jako prvý … x litrů/h Hodinová spotřeba agregátu, který pracoval do vyčerpání nádrže … y litrů/h 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti 1. Množství paliva spotřebovaného oběma agregáty je 0,99 m3 = 990 litrů. Agregát, který se zastavil jako prvý spotřeboval: … 6x litrů. Agregát, končící poslední … (6 + 2)y litrů 2. Agregát, končící poslední má o 10 litrů/h vyšší spotřebu než druhý agregát. 3. Sestavení dvou rovnic 6x + 8y = 990 x + 10 = y

4. Vyřešení soustavy 6x + 8y = 990 x + 10 = y 6x + 8(x + 10) = 990 5. ZK. Celkem vyčerpají … 6 • 65 + 8 • 75 = 990 litrů Druhý agregát má o 10 litrů vyšší spotřebu. První agregát má spotřebu 65 litrů/h a druhý 75 litrů/h.

a) Logické slovní úlohy Ze 2 vzorků mléka a smetany lze získat 45 g mléčného tuku. Každý vzorek má hmotnost ¼ kg. V mléce je 8 krát méně mléčného tuku než je ve smetaně. Kolik procent mléčného tuku je ve vzorcích mléka? Postup: Tučnost mléka … x% Tučnost smetany … y% 1. Určení neznámých 2. Stanovení dvou vztahů rovnosti Celkové množství mléčného tuku je 45 g. V mléce je 8 krát méně mléčného tuku než je ve smetaně. 3. Sestavení dvou rovnic

4. Vyřešení soustavy | • 100 250x + 250y = 4 500 y = 8x 250x + 250 • 8x = 4 500 2 250x = 4 500 | : 2 250 x = 2 y = 8x y = 8 • 2 y = 16 5. ZK.: 250 • 0,02 + 250 • 0,16 = 45 16 = 8 • 2 Ve vzorku mléka byla 2% mléčného tuku a ve vzorku smetany bylo 16% mléčného tuku. Další řešené příklady v učebnici s. 45.

Výuka anglického, německého jazyka a matematiky na středních školách ve třídách s integrovanými žáky se specifickými poruchami učení pomocí informačních a komunikačních technologií TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR K O N E C Milan Hanuš

TEST A B 1. Smícháním 5 dm3 roztoku kyseliny s 10 dm3 roztoku kyseliny získáme roztok kyseliny o koncentraci 30%. Slitím 35 dm3 první a 15 dm3 druhé kyseliny vznikne 19% roztok. Kolika procentní byly obě kyseliny? Řešte v N: x + y = 1 3x = 3 - 3y 2. Určete, kolik litrů 70% lihu je třeba smíchat s 30% lihem, aby vzniklo 50 litrů 45% lihu? 2. Řešte v R: 3x + 2y = 4 x = y + 8

Výsledky testu A B 1. Smícháním 5 dm3 roztoku kyseliny s 10 dm3 roztoku kyseliny získáme roztok kyseliny o koncentraci 30%. Slitím 35 dm3 první a 15 dm3 druhé kyseliny vznikne 19% roztok. Kolika procentní byly obě kyseliny? Řešte v N: x + y = 1 3x = 3 - 3y Rovnice má nekonečně mnoho řešení V 1. roztoku je 10% a ve 2. 40% kyselina. 2. Určete, kolik litrů 70% lihu je třeba smíchat s 30% lihem aby vzniklo 50 litrů 45% lihu? 2. Řešte v R: 3x + 2y = 4 x = y + 8 Je třeba použít 18,75 litrů 70% lihu x = 4; y = -4