Zjištění průběhu funkce Základní pojmy funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 > y1 . funkce f(x) je rostoucí pokud derivace funkce f´(x) je větší než nula. funkce f je klesající v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 < y1 . funkce f je klesající pokud derivace funkce f´(x) je menší než nula. funkce f je konvexní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí t y2 – y1 x2 – x1 y3 – y1 x3 – x1 < Graf je nad tečnou funkce. funkce f je konkávní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí t  y2 – y1 x2 – x1 y3 – y1 x3 – x1 Graf je pod tečnou funkce. Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci. Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)

Zjištění průběhu funkce Extrémy funkce Pouze jeden extrém ostré neostré Lokální (pouze ve vnitřních bodech Df ) funkce f(x) má své extrémy absolutní minimum maximum Při definování extrémů funkce definujeme hodnotu y pro nějaké x. Má-li funkce v bodě A lokální extrém, pak nutně derivace funkce pro A bude rovna nule. (f ´x = 0) Ostré lokální minimum A y´ < 0 y´ > 0 Ostré lokální maximum A y´ > 0 y´ < 0 Pro zjištění absolutního extrému se dosazují hodnoty x z definičního oboru funkce. Absolutní (globální) extrém se zjistí porovnáním extrémů lokálních. Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci. Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)

Zjištění průběhu funkce Postup Zjištění definičního oboru funkce f(x) Derivace funkce f(x)  f´(x) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. Zapsání výsledku v podobě : f je rostoucí (klesající) v intervalu … , … Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x)  f ´´(x) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní. Zápis výsledku Příklady použité v tomto materiálu byly převzaty z webových stránek http://matematika.tf.czu.cz/institut/uvod.htm

Zjištění průběhu funkce Příklad 1 Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, a v kterých rostoucích. 1) Zjištění definičního oboru funkce f(x) 2) Derivace funkce f(x)  f´(x) 3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. = 

Zjištění průběhu funkce Příklad 1 4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. + - f -1 1 8 f je rostoucí na <-1;1>, klesající na <1; ) 8 Pozn.: Už z grafického znázornění je zřejmé, že ostré absolutní maximum je v x = 1. Ostré absolutní minimum bychom zjistili porovnáním zbývajících lokálních extrémů, v našem případě s x = -1 a s x v nekonečnu. Jak se počítá s nekonečnem to nevím a tak mi zbývá už jen to x = -1. Příklad 2 Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, v kterých rostoucích, v kterých konkávní a v kterých konvexní. 1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)

Zjištění průběhu funkce Příklad 2 2) Derivace funkce f(x)  f´(x) 2 3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. 4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. f ´ + - f e 2 8 f je rostoucí na (0; >, klesající na < ; ) e 2 e 2 8

Zjištění průběhu funkce Příklad 2 5) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x)  f ´´(x) 6) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df). Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní. f ´´ + - y = 4 ( 1 – ln 1) = 4 (1 – 0) = + 4 y = 4 (1 – ln e ) = 4 (1 – 2) = - 4 2 f e 8 f je konvexní na (0;e >, konkávní na <e; ) 8 Teď to už jen nechám počítač zkontrolovat, abych to viděl na vlastní oči e e 2