Testování hypotéz Distribuce náhodných proměnných

Dominantní mládě ve snůšce: samec nebo samice? Domnívám se, že šanci stát se dominantním mládětem nemají samci a samice stejnou Získal jsem údaje z dvaceti náhodně vybraných hnízd Ve 13 případech byl dominantním mládětem samec, v 7 hnízdech to byla samice Jsou tyto údaje ve shodě s mojí hypotézou?

Nulová hypotéza - 1 Ani jasně formulovanou hypotézu nemohu dokázat. Pokud je ale ve zjevném rozporu s daty, mohu ji zamítnout (nemusí to být správné rozhodnutí) Užívám proto „trik“ a formuluji tzv. nulovou hypotézu (H0), která je opakem (doplňkem) mé odborné hypotézy H0 bývá jednoznačnější než výzkumná hypotéza, např. „neliší se“ – „není změna“: zde „četnost samců i samic je shodná“ P(samec) = P(samice) = 0.5

Nulová hypotéza - 2 Pokud by byla H0 správná, stejně nemohu očekávat, že ve výběru 20 hnízd bude vždy 10 hnízd s dominantní samicí / samcem Potřebuji zjistit, s jakou pravděpodobností se tak velká odlišnost (13 : 7) objeví, pokud H0 platí Je-li ta pravděpodobnost (P) malá, dám přednost HA (zamítnu H0), s rizikem chyby rovným P Pokud H0 zamítnu, zvýším tím důvěru ve „svoji“ odbornou hypotézu (HA nebo H1)

Shoda výsledku 13:7 s H0 Shodu svých dat s H0 vyjádřím číselně pomocí testové statistiky (test statistic, testovací kritérium). V mém případě je to: X2 = (13-10)2/10 + (7-10)2/10 = 1.8 f - absolutní frekvence, tj. počty nezávislých pozorování k – počet kategorií (zde 2)

Pravděpodobnost takové shody Tuto pravděpodobnost mohu určit například „počítačovým experimentem“ H0 „předstírám“ tak, že volím mezi 1 (samice) a 0 (samec) s p=0.5 dvacetkrát. Získám tak jeden výběr, o kterém vím, že odpovídá H0 – odpovídá nulovému modelu Pro tento výběr také spočítám testovou statistiku X2 a celý proces opakuji třeba stokrát ...

Simulace nulového modelu nebo taky milionkrát ... a v tom případě můžeme zúžit intervaly ... pokud bychom v každém výběru měli místo 20 třeba 35 hnízd, histogram X2 se nezmění, tvar závisí jen na k – počtu kategorií

Densitní distribuční funkce Histogram konverguje do densitní distribuční funkce, pod její křivkou je plocha rovna 1 To je pravděpodobnost, že X2 bude >= 0 Mne ale zajímá, jak pravděpodobná je hodnota >= 1.8 Kumulativní densitní distribuční funkce: P = 1.0 – 0.82 = 0.18 Chi-square distribuce s 1 stupněm volnosti c21

Lze H0 zamítnout? P = 1.0 – 0.82 = 0.18 (0.1797) Pokud bych H0 zamítl, je pravděpodobnost, že jsem se tím dopustil chyby, rovna 0.18 – proto H0 nezamítám. Nemohu ale říct, že jsem ji „dokázal“. Data s ní jen nejsou v rozporu Kdybych v přírodě našel mezi 20 hnízdy patnáct, ve kterých je dominantní samec, hodnota X2 by byla (25/10)+(25/10) = 5.0 Odpovídající P by bylo 0.025: zamítl bych H0

Tradiční testování hypotéz Dříve, než znám výsledek testu, si zvolím hladinu významnosti a Jen pokud je P <= a, zamítám H0 Tento postup lze alternativně popsat tak, že si pro zvolené a najdu odpovídající hodnotu distribuce, ze které testová statistika pochází za platnosti H0 – tzv. kritickou hodnotu Pokud je testová statistika větší než kritická hodnota, zamítám H0

Chyba 1. a 2. druhu Dosažená hladina významnosti P představuje pravděpodobnost, že udělám chybu zamítnutím H0, která je ve skutečnosti správná (pravdivá): chyba 1. druhu Pozor! Z toho nevyplývá, že by 1-P byla pravděpodobnost, že se rozhodnu správně – protože P je podmíněno pravdivostí H0 Mohu udělat chybu i tím, že H0 nezamítnu, přestože ve skutečnosti není pravdivá: chyba 2. druhu

Chyby v rozhodování o H0 H0 je ve skutečnosti: Já se rozhodnu takto správná nesprávná Chyba 1. druhu Zamítám H0 Správné rozhodnutí Chyba 2. druhu Nezamítám H0 Správné rozhodnutí Pravděpodobnost chyby 2. druhu (b) obvykle neznáme. 1- b je síla testu Čím větší nároky kladu na a (0.05  0.01  0.001), tím vyšší bude b b klesá i s rostoucím počtem pozorování

Co se může stát: házím korunou (1) Skutečnost: koruna je OK, tj. P0=P1=0,5 (ALE TO MY NEVÍME) Ze 100 hodů dostávám 55:45 Kritická hodnota c21 je pro a = 0.05 rovna 3,84 X2=(55-50)2/50+(45-50)2/50 = 1.0 (t.j. < 3,84) Nemohu zamítnout nulovou hypotézu. A to je správné rozhodnutí.

Co se může stát: házím korunou (2) Skutečnost: koruna je OK, tj. P0=P1=0,5 (ALE TO MY NEVÍME) Ze 100 hodů dostávám 60:40 Potom X2=(60-50) 2/50+(40-50) 2/50 = 4,0 (t.j. > 3,84) Zamítám nulovou hypotézu na 5%-ní hladině významnosti. Udělal jsem chybu prvního druhu - Type I error (a pověsím nevinnýho). Pravděpodobnost této chyby známe: je to . Hladina významnosti  je tedy podmíněná pravděpodobnost zamítnutí nulové hypotézy – podmíněná tím, že nulová hypotéza platí.

Co se může stát: házím korunou (3) Skutečnost: koruna je falešná, P0=0,6; P1=0,4 (ALE TO MY NEVÍME) Ze 100 hodů dostávám 60:40 Potom X2=(60-50)2/50 + (40-50)2/50 = 4,0 (t.j. > 3,84) Zamítám nulovou hypotézu na 5%-ní hladině významnosti Správné rozhodnutí (a pověsím lumpa)

Co se může stát: házím korunou (4) Skutečnost: koruna je falešná, P0=0,6; P1=0,4 (ALE TO MY NEVÍME) Ze 100 hodů dostávám 55:45 Potom X2=(55-50)2/50+(45-50)2/50 = 1,0 (t.j. < 3,84) Nemohu zamítnout nulovou hypotézu. Udělal jsem chybu druhého druhu - Type II error (a osvobodím lumpa). 1 -  je síla testu (power of the test). Obecně platí, že síla testu roste s odchylkou od nulové hypotézy a s počtem pozorování. Protože  neznáme, je správnou formulací výsledku: Na základě dat nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu. Formulace Dokázali jsme nulovou hypotézu je nesprávná!

Síla testu Pokud bych místo 20 hnízd sledoval třeba 200, distribuce X2 při platnosti H0 se nezmění (pořád to bude c21), ale síla testu vzroste 13 samců z 20: X2 = (13-10)^2/10+(7-10)^2/10 = 1.8, p = 0.18 (hypotézu nezamítám) 130 samců z 200: X2=(130-100)^2/100+(70-100)^2/100 = 18.0, p = 0.000022 (hypotézu zamítám) Proto musíme pracovat se skutečnými počty případů, ne s procenty!

Přestávka ...

Příklady použití: štěpné poměry 3:1 9:3:3:1 Počet stupňů volnosti je počet kategorií - 1, (pro apriorně danou hypotézu), tedy DF=3

Příklady použití: poměr pohlaví Pozor na předpoklady! Nezávislost pozorování Stejná pravděpodobnost V praxi tedy může být zamítnutí nulové hypotézy důsledkem tří věcí: (1) Nulová hypotéza neplatí (2) Nulová hypotéza platí, ale dopustili jsme se chyby 1. druhu. (3) Nulová hypotéza platí, ale nejsou splněny všechny předpoklady pro užití testu

Příklady použití: etologie Orientace včel podle barvy terče H0 - 1:1:1 Jak zajistit nezávislost? Pevná velikost výběru

Příklady použití: populační genetika Hardy-Weinbergovská rovnováha: (p+q)2 = p2+ 2pq + q2 Pozor: odečítáme ještě jeden stupeň volnosti na parametr, který odhadujeme z dat, takže DF= 3 - 1 - 1 = 1

Náš první statistický test Všechny uváděné příklady srovnávají počty případů ve 2 nebo více kategoriích s teoretickými počty, vypočtenými na základě apriorní hypotézy a znalosti celkového N (s výjimkou H.-W. rovnováhy) Tento test se nazývá test dobré shody (chi-square goodness of fit test)

Jak výsledky tohoto testu prezentuji „výsledek je průkazný při a = 0.05“ („result is significant at the level a = 0.05“) „četnosti pohlaví mezi dominantními mláďaty se průkazně neliší (2 = 1.8, df=1, n.s.)“ nebo – pro jiná data – „rozdíl v četnostech je průkazný (2 = 6.66, df=1, P<0.05)“ případně ... „df=1, P=0.00986)“

Pro všechny testy Míra odchylky našich dat od hodnot očekávaných při platnosti H0 je měřená testovou statistikou Distribuce hodnot testové statistiky za platnosti H0 a splnění dalších předpokladů (přinejmenším nezávislosti pozorování) je známá (c2, t, F distribuce) Je-li málo pravděpodobné, že pro naše data spočtená testová statistika z této distribuce pochází, je také malá šance, že uděláme chybu zamítnutím H0

Užití c2 pro celá čísla Tento histogram ve skutečnosti shrnuje hodnoty proměnné s c2 distribucí, nikoliv hodnoty vytvářené „simulací“ 20 pozorování Ten by vypadal takto: vliv na distribuci, => p Tento problém je výrazný pro malé očekávané četnosti (< 5), v takových případech se doporučuje tzv. Yatesova korekce

Distribuční funkce obecněji Kvantil c25(0.5) Kritická hodnota c25(0.95) – pro a=0.05 Tail area probability

Too good to be true Někdy je hodnota testové statistiky překvapivě nízká – např. zde P=0.99 Nešlo by takovou situaci považovat za „důkaz pravdivosti“ H0 ? „Too good to be true“: málo pravděpodobné, že tak dobrou shodu dostanu ...

Too good to be true ... Děkuji za pozornost  ...