Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

8. PŘEDNÁŠKA DOPRAVNÍ PROBLÉM I. © L&K

OSNOVA PŘEDNÁŠKY Distribuční problémy Matematický model dopravního problé- mu Duální problém k dopravnímu problému Výchozí řešení: metoda SZR indexní metoda metoda VAM Nevyrovnaný dopravní problém © L&K

DISTRIBUČNÍ PROBLÉMY Speciální úlohy LP, které se zabývají distribucí určité homogenní komodity - např. rozvoz zboží, rozdělení práce, při-dělení pracovníků, strojů apod., např.: - obecný distribuční problém - přiřazovací problém - kontejnerový problém - okružní dopravní problém - úloha o pokrytí - výrobně-přepravní problém atd. © L&K

Řada z nich je charakteristická požadav-kem celočíselnosti proměnných Liší se od úloh LP, které jsme dosud pro-bírali, svým specifickým matematickým modelem Řada z nich je charakteristická požadav-kem celočíselnosti proměnných Řeší se proto specifickými metodami Nejjednodušším reprezentantem je dopravní problém (DP) © L&K

DOPRAVNÍ PROBLÉM Řeší distribuci homogenní látky od do-davatelů k odběratelům Je dáno: − počet dodavatelů m − počet odběratelů n − kapacity dodavatelů ai, − požadavky odběratelů bj − „cena“ (náklady, vzdálenost atd.) za do- dání jedné jednotky cij Kapacity dodavatelů jsou zadány ve stej-ných jednotkách jako požadavky odběra-telů © L&K

uspokojit požadavky odběratelů tak, aby hodnota stanoveného cíle Úkol: určit kolik jednotek dodá každý dodavatel každému odběrateli Cíl: uspokojit požadavky odběratelů tak, aby hodnota stanoveného cíle byla minimální © L&K

FORMULACE MM Proměnná xij v dopravním problému (DP) určuje množství homogenní látky doda-né i-tým dodavatelem j-tému odběrateli Počet proměnných DP je m.n Předpokládá se rovnost součtu kapacit a součtu požadavků (vyrovnaný DP)* Omezení jsou proto formulována v rov-nicích Počet omezení DP je m+n Pokud DP není vyrovnaný, upravíme ho. Dvojí indexování zvyšuje přehlednost modelu © L&K

Prvních m omezení zajišťuje kapacitu dodavatelů (řádková omezení): xi1 + xi2 + ... + xin = ai , (8.1) i =1, 2, ..., m Další omezení zajistí splnění požadav-ků odběratelů (sloupcová omezení): x1i + x2i + ... + xmi = bj , (8.2) j = 1, 2, ..., n © L&K

Podmínky nezápornosti: xii ≥ 0, (8.3) i =1, 2, ..., m j =1, 2, ..., n Účelovou funkci minimalizujeme: z = c11 x11 + c12 x12 + . . .+ cmnxmn (8.4) Je možno řešit DP s maximalizační úče-lovou funkcí .......................................... ? © L&K

Obecná formulace DP (8.5) Na množině omezení xij ≥ 0, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n minimalizovat účelovou funkci © L&K

Příklad 8.1 Firma Kámen těží ve třech lomech štěrko-písek Štěrkopísek dodává na tři velké stavby Kapacita lomů je 150, 200 a 250 tun Požadavky staveb jsou 220, 200 a 180 tun Vzdálenosti jednotlivých lomů od staveb v km jsou uvedeny v tabulce 8.1 Určete objem dodávek z jednotlivých lomů na stavby tak, aby počet ujetých tuno-kilometrů byl minimální © L&K

1. Volba proměnných Proměnné označíme xij Hodnota proměnné xij určuje množství štěrkopísku v tunách dodané i−tým lomem j−tému odběrateli (stavbě) Proměnných je m.n = 9 Vektor proměnných má složky x = (x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33) Na obrázku 8.1 je znázorněna volba náhodně zvolené proměnné x32 Dvojí indexování usnadňuje orientaci © L&K

Volba proměnné Tab. 8.1 Vzdálenosti v km Obr. 8.1 © L&K

Matematický model x11 + x12 + x13 = 150 x21 + x22 + x23 = 200 xij ≥ 0 i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 (8.6) 9x11 + 3x12 + ... + 11x33 = z © L&K

ZVLÁŠTNOSTI MM Matice strukturních koeficientů A se skládá pouze z nul a jedniček Vektor strukturních koeficientů proměn-né xij má jedničku na i-tém a j+m-tém místě, ostatní prvky jsou rovny nule 3. Ve vyrovnaném DP je vždy jedno vlastní omezení lineární kombinací ostatních Hodnost rozšířené matice [ A│b ] vy-rovnaného DP je m+n-1 4. Všechny proměnné, kapacity i požadav-ky jsou ve stejných jednotkách © L&K

Příklad 8.2 Vypište rozšířenou matici [ A│b ] z úlohy (8.6) a vypočtěte její hodnost (8.7) [ A│b ] = © L&K

Hodnost matice [ A│b ] Upravená matice [ A│b ] : Poslední řádek se vynuloval Hodnost h([ A│b ] ) = 5 © L&K

jehož složky vyhovují všem omezením VLASTNOSTI DP Definice 1: Přípustné řešení DP je vektor x = (x11, x12, ..., xmn)T, jehož složky vyhovují všem omezením Věta (1): DP má přípustné řešení: - položíme xij = ai . bj / K kde K=∑ ai = ∑ bj , i= 1, 2, ..., m, j= 1, 2, ..., n všem omezením, tj. vlastním omezením a podmínkám nezápornosti © L&K

Dosadíme do řádkového omezení (8.1): • Upravíme (vytkneme ai / K) • Srovnáním s (8.1) vidíme, že omezení jsou splněna • Totéž platí pro sloupcová omezení (8.2) © L&K

Základní přípustné řešení DP Definice 2: Základní přípustné řešení DP je přípustné řešení, které má nejvýše (m+n−1) kladných složek. Vektory strukturních koeficientů u kladných složek tvoří lineárně nezávislou soustavu Věta (2): DP má základní přípustné řešení: - dosadíme vždy xrs = min (ar, bs)  (Tím vyškrtneme vždy jeden řádek nebo sloupec, nakonec dva – viz příklad) V každém kroku se jedno omezení vynuluje, v posledním 2 © L&K

které minimalizuje účelovou funkci Definice 3: Optimální řešení je přípustné řešení, které minimalizuje účelovou funkci Věta (3): DP má optimální řešení: - množina přípustných řešení tvoří kon- vexní polyedr (je omezena kapacitami, požadavky a podmínkami nezápornosti) na konvexním polyedru účelová funkce může nabývat maxima i minima © L&K

DUÁLNÍ PROBLÉM K DP Duální proměnné přiřazené řádkovým omezením označíme ui Duální proměnné odpovídající sloupcovým omezením nazveme vj Počet duálních proměnných je m+n Počet vlastních omezení je m.n Vlastní omezení jsou nerovnice typu ≤ Účelovou funkci maximalizujeme (Kvůli úpravě jsem vynechala první odrážku) © L&K

OBECNÝ MODEL Za podmínek + ≤ (8.8) i=1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n + ≤ (8.8) i=1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n maximalizovat účelovou funkci (8.9) Protože jde o nesymetrický duální prob- lém, nemají duální proměnné podmínky nezápornosti + © L&K

Příklad 8.3 Formulujte duální problém k dopravnímu problému (8.6) Duální problém má: ~ 6 proměnných uT=(u1, u2, u3, v1, v2, v3 ) ~ 9 omezení ve tvaru nerovnic typu ≤ Duální proměnné nemají podmínku nezá-pornosti Účelovou funkci maximalizujeme © L&K

Primární problém x11 + x12 + x13 = 150 u1 x21 + x22 + x23 = 200 xij ≥ 0 i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 9x11 + 3x12 + ... + 11x33 = z .................................................... ? Formulujte u1 u2 u3 v1 v2 v3 © L&K

Duální problém Za podmínek u1 + v2 ≤ 3 u1 + v3 ≤ 2 u2 + v1 ≤ 7 maximalizovat f = 150u1+200u2 +250u3 +220v1+200v2 +180v3 © L&K

DOPRAVNÍ TABULKA Řádek tabulky odpovídá řádkovému omezení (8.1) Sloupec odpovídá sloupcovému omeze-ní (8.2) Řádky a sloupce vymezují políčka Políčko tabulky odpovídá jedné dopravní cestě mezi dodavatelem a odběratelem, tj. jedné proměnné xij © L&K

Příklad 8.4 Uspořádejte dopravní problém z příkladu 8.1 do dopravní tabulky Sečteme kapacity: 150+200+250=600 Sečteme požadavky: 220+200+180=600 Dopravní problém je vyrovnaný © L&K

Dopravní tabulka O1 O2 O3 ai D1 150 D2 200 D3 250 bj 220 180 600 9 3 2 7 8 4 200 D3 5 6 11 250 bj 220 180 600 Tab. 8.2 © L&K

VÝCHOZÍ ŘEŠENÍ DP Výchozím řešením může být libovolné základní přípustné řešení DP podle definice 2 Výchozí řešení lze vypočítat přímo (není třeba pomocných proměnných) Z řady aproximačních metod probereme tři typické reprezentanty: metodu severozápadního rohu (SZR) indexní metodu Vogelovu aproximační metodu (VAM) © L&K

METODA SZR 1. Začneme políčkem (1,1), tj položíme r=1, s =1, ar'= ar, bs'= bs 2. Tím určíme obsazované políčko (r,s) a základní proměnnou xrs 3. Určíme hodnotu proměnné xrs : xrs = min (ar’, bs’) = t (8.10) 4. Opravíme kapacitu a požadavek: ar'= ar' - t (8.11) bs'= bs' – t (kde apostrof ' označuje průběžně opravo- vané hodnoty kapacit a požadavků) vysvětlit opravu ve vzorci (8.11) © L&K

Jestliže se vynuluje kapacita, tj. ar' = 0, vyškrtneme r−tý řádek a zvýšíme řádkový index o 1: r = r+1 Vynuluje–li se požadavek, tj. bs' = 0, vyškrtneme s−tý sloupec a zvýšíme sloupcový index o 1: s = s+1 Vracíme se k bodu 3 ......................... ? Obsadíme tak m+n−2 políček Na poslední políčko (m,n) dosadíme xmn = ar' = bs' = t Jaký je test v bodě 7? © L&K

Příklad 8.5 - Metoda SZR O1 O2 O3 ai D1 150 D2 200 D3 250 bj 220 180 9 3 2 150 D2 7 8 4 200 D3 5 6 11 250 bj 220 180 600 150 200 250 600 - 150 - 130 70 130 - Přidat políčko se z ! 180 - 70 180 180 380 450 250 220 200 180 600 70 70 250 180 380 450 Tab. 8.3 © L&K

Metoda SZR - z =5280 Tab. 8.4 © L&K

INDEXNÍ METODA Obsazujeme vždy nevyškrtnuté políčko s nejnižší cenou 2. Určíme hodnotu proměnné podle (8.10) 3. Opravíme kapacitu a požadavek podle (8.11) 4. Vynuluje-li se kapacita, vyškrtneme řádek Vynuluje-li se požadavek, vyškrtneme sloupec Vracíme se k bodu 1. © L&K

Zpřesnění algoritmu Jestliže jsme našli několik stejných nej-menších cenových koeficientů, dáme přednost políčku, na které můžeme do-sadit větší hodnotu proměnné: Je−li např. c23=1 a x23=min(100, 200)=100 a c33=1 a x33=min(300, 200)=200, obsadíme políčko (3,3) Poznámka: V posledním řádku (sloupci) obsadíme všechna volná políčka v libo-volném pořadí © L&K

Příklad 8.6 - Indexní metoda Tab. 8.5 © L&K

VAM Vypočteme rozdíl mezi druhou nejnižší a nejnižší cenou v každém řádku a sloupci Najdeme nejvyšší rozdíl Zde najdeme nejnižší cenu a určíme obsazené políčko Podle (8.10) vypočteme hodnotu základ-ní proměnné Opravíme pravé strany podle (8.11) Vracíme se k bodu 1 © L&K

Zpřesnění algoritmu 1. Jestliže vyškrtneme jen řádek, stačí pře-počítat sloupcové rozdíly, vyškrtneme-li sloupec, přepočteme jen řádkové rozdíly 2. Na konci výpočtu zbude jeden řádek nebo sloupec → obsadíme všechna volná pole 3. Existuje více stejných nejvyšších rozdílů: − dáme přednost políčku s nejnižší cenou − ve druhém pořadí dáme přednost políč- ku, na které můžeme dosadit větší hod- notu (viz indexní metoda) © L&K

Příklad 8.7 - VAM rozdíly Tab. 8.6.a © L&K Existují dva stejné nejvyšší rozdíly (3), menší cena je na poli 1,2. Růžová je hodnota z Tab. 8.6.a © L&K

Příklad 8.7 - VAM 1. krok Tab. 8.6 © L&K Existují dva stejné nejvyšší rozdíly (3), menší cena je na poli 1,2. Růžová je hodnota z Tab. 8.6 © L&K

VAM rozdíly Tab. 8.7.a © L&K

VAM 2. krok Tab. 8.7 © L&K

VAM rozdíly v PRVNÍM SLOUPCI JE CENA 5, VE DRUHÉM 6 Tab. 8.8.a © L&K

VAM 3. krok v PRVNÍM SLOUPCI JE CENA 5, VE DRUHÉM 6 Tab. 8.8 © L&K

VAM – 4. krok volná políčka • V posledním zbylém sloupci obsazujeme Políčka v posledním sloupci (druhém) libovolně Tab. 8.9 • V posledním zbylém sloupci obsazujeme volná políčka © L&K

VAM – 5. krok Tab. 8.10 • V posledním sloupci jsme obsadili zbylé po- líčko (3,2) © L&K

NEVYROVNANÝ DP Nevyrovnaný dopravní problém , kde upravíme na vyrovnaný: 1. Je-li , přidáme fiktivního odběratele s požadavkem bn+1= - (8.12) > (8.13) © L&K

Cenové koeficienty jsou rovny nule Dodávka fiktivnímu odběrateli znamená neprodané zboží Přidáním fiktivního odběratele rozšíříme dopravní tabulku o sloupec Počítáme-li výchozí řešení indexní me-todou, obsazujeme ho jako poslední V metodě VAM počítáme s nulovými cenami ve fiktivním sloupci jako s ostat-ními, tj. považujeme je za nejnižší cenu Postup není nijak dokázán, jen na základě experimentů © L&K

Příklad 8.8 ky a cenové koeficienty DP Tab. 8.11 V tabulce jsou zadány kapacity, požadav- ky a cenové koeficienty DP Vypočtěte výchozí řešení indexní meto- dou a metodou VAM (srovnejte hodnoty účelových funkcí ... ) © L&K

Vyrovnání problému ratele s požadavkem 500-420=80 Tab. 8.12 Tabulku rozšíříme o sloupec fiktivního odbě- ratele s požadavkem 500-420=80 Tab. 8.12 © L&K

Indexní metoda Tab. 8.13 Hodnota účelové funkce z = 2270 © L&K

Metoda VAM Tab. 8.14 Hodnota účelové funkce z = 2110 (menší) © L&K

fiktivního dodavatele s kapacitou am+1= 2. Je-li fiktivního dodavatele s kapacitou am+1= Cenové koeficienty u fiktivního dodavate-le jsou opět rovny nule Dodávka od fiktivního dodavatele zna-mená nesplněný požadavek < , přidáme (8.14) - © L&K

Příklad 8.9 davky (t) a cenové koeficienty (km) DP Tab. 8.14 V tabulce jsou zadány kapacity (t), poža- davky (t) a cenové koeficienty (km) DP Vypočtěte výchozí řešení indexní meto- dou Přidáme fiktivního dodavatele © L&K

Vyrovnání problému • Tabulku rozšíříme o řádek fiktivního doda- vatele s kapacitou 600-550=50 Tab. 8.15 © L&K

Indexní metoda Tab. 8.16 • Hodnota účelové funkce z = 5570 © L&K

Metoda VAM Tab. 8.17 • Hodnota účelové funkce z = 5570 © L&K

KONEC © L&K