STŘÁDÁNÍ Užití GP v praxi 1

Nejjednodušší případ, kterým se budeme zabývat v hodinách matematiky Pravidelně ve stejných časových intervalech ukládáme stále stejnou částku, tzv. vklad (anuita). 2

Důležité pojmy: nastřádaná částka vklad, anuita úroková míra úročitel 3

Nastřádaná částka, ozn. an finanční hodnota, kterou nastřádáme, (naspoříme) po n úrokovacích obdobích Vklad, anuita, ozn. a pravidelně ukládaná částka, vždy počátkem úrokovacího období Úroková míra, ozn. p výše odměny vyjádřená v procentech Úročitel, ozn. r 4

Označení definovaných veličin odpovídá označení v MFCHT: strana 29, Vzorce finanční aritmetiky.

Ukázkový příklad: = 1,05 a = n = p = an = 10 000,- Kč 4 roky 5 % p.a. Kolik nastřádáme pravidelnými ročními vklady 10 000,- Kč placenými vždy počátkem roku za 4 roky při 5 % p.a.? Zápis: a = n = p = an = 10 000,- Kč 4 roky 5 % p.a.  r = 1,05 ? 6

úroky (5 %) / Kč za 1. rok za 2. rok za 3. rok za 4. rok z vkladu z úroku z vkladu z úroku z vkladu z úroku z vkladu 500 25 500 1,25 25 500 2x 3x 3x 1. vklad 10 000 500 25 500 1,25 25 500 0,0625 1,25 25 500 2x an 2. vklad 10 000 500 25 500 1,25 25 500 3. vklad 10 000 500 25 500 4. vklad 10 000 500 Za daných podmínek nastřádáme za 4 roky 45 256,– Kč.

ODVOZENÍ VZORCE (střádání) Jednotlivé vklady se neúročí stejně vklad z prvního roku „vynese“ rozhodně více, než vklad vložen rok poslední Pro úročení vkladů za jednotlivá období využijeme vzorce z předešlé kapitoly – úrokování: konečná jistina určována vždy za 1 rok počáteční jistina vklad na počátku jednotlivých období

vklad a z něj vzniklé úroky 2x 3x 3x 1. vklad se úročí nejdéle a proto „vynese“ největší část zisku. 1. vklad 10 000 500 25 500 1,25 25 500 0,0625 1,25 25 500 2x 2. vklad 500 10 000 25 500 1,25 25 500 Naopak poslední vklad „vynese“ pouze jeden úrok z vkladu. 3. vklad 10 000 500 25 500 4. vklad 10 000 500 an ... celková nastřádaná částka Sčítance seřazeny tak, aby měli postupně vzrůstající hodnotu, tj. od posledního vkladu až po první vklad a z nich vzniklých úroků.

Celková nastřádaná částka součet n členů GP: a1 q = ar = r (každý následující sčítanec – člen GP je r krát větší) zúročený vklad + 2. zúročený vklad + ... + poslední zúročený vklad 10

VZORCE Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost nastřádané částky po n letech, odvodíme obecné vztahy pro výpočet velikostí veličin: vklad, anuita, a počet let, po které vklady střádáme, n 11

a = ? strany nejprve zaměníme pro lepší orientaci 12

n = ? záměna stran neznámá v exponentu  rovnici logaritmujeme 13

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Příklad 1: Kolik nastřádáme pravidelnými ročními vklady 10 000,- Kč placenými vždy počátkem roku za 5 let při 2,5 % p.a.? Řešení: a = 10 000,- Kč n = 5 let p = 2,5 % p.a. an = ?  r = 1,025

Příklad 2: Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 20 let nastřádali 1 000 000,- Kč při 3,5 % p.a.? Řešení: n = 20 let an = 1 000 000,- Kč p = 3,5 % p.a. a = ?  r = 1,035

Příklad 3: Za jak dlouho nastřádám 150 000,- Kč pravidelnými počátkem roku placenými vklady 18 000,- Kč při 2 % p.a.? Řešení: an = 150 000,- Kč a = 18 000,- Kč p = 2 % p.a. n = ?  r = 1,02

PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ

4. Kolik nastřádáme pravidelnými ročními vklady 5 000,- Kč placenými vždy počátkem roku za 6 let při 9 % p.a.? 5. Kolik nastřádáme za 10 let pravidelnými počátkem roku placenými vklady 24 000,- Kč při a) 8 % p.a., b) 10 % p.a., c) 12 % p.a.? [41 002,- Kč] [375 492,- Kč, b) 420 748,- Kč, c) 471 710,- Kč] 19

6. Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 5 let nastřádali 1 000 000,- Kč při 9,5 % p.a.? 7. Kolik musíme ukládat počátkem každého roku, abychom za 10 let nastřádali 500 000,- Kč při a) 7 % p.a., b) 9 % p.a., c) 11 % p.a.? [151 084,- Kč] [33 821,- Kč, b) 30 193,- Kč, c) 26 938,- Kč] 20

8. Za jak dlouho nastřádám 400 000,- Kč pravidelnými počátkem roku placenými vklady 40 000,- Kč při 10,5 % p.a.? 9. Za jak dlouho nastřádám 120 000,- Kč pravidelnými počátkem roku placenými vklady 10 000,- Kč při a) 5 % p.a., b) 10 % p.a., c) 15 % p.a.? [6 let a 8 měsíců] [a) 9 let a 3 měs., b) 7 let a 9 měs., c) 6 let a 9 měs.] 21

Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 3, s. 70–77