Soustava lineárních rovnic Řešení nerovnic Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Lineární rovnice se dvěma neznámými: Rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a, b, c  R jsou konstanty a x, y R jsou dvě neznámé. Příkladem takové rovnice jsou například rovnice: Ale i rovnice tvaru: A samozřejmě i rovnice, které k uvedeným tvarům vedou použitím ekvivalentních úprav:

Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými: Dvojice rovnic tvaru L1(x, y) = P1(x, y) a L2(x, y) = P2(x, y), které musí platit zároveň. Systém rovnic je třeba chápat jako celek. Příkladem takové soustavy jsou například rovnice: Ale i rovnice tvaru: A samozřejmě i rovnice, které k základním tvarům lineárních rovnic vedou použitím ekvivalentních úprav:

Ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic: Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí s ní ekvivalentní. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné další rovnice soustavy. Dosazení neznámé z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice. Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané dvojice [x; y], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice. Základním principem těchto operací je vyloučení (eliminace) jedné z neznámých, a tím výpočet té druhé. Následně pak pomocí ní výpočet té první.

i možnosti řešení si ukážeme na několika konkrétních příkladech. Početní metody a možné výsledky soustavy lineárních rovnic: Existují tři základní početní metody řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: Metoda dosazovací. Jednotlivé metody i možnosti řešení si ukážeme na několika konkrétních příkladech. Metoda sčítací. Metoda srovnávací. Existují i tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y  R: Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice. Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic. Soustava rovnic nemá žádné řešení.

Metoda dosazovací Z jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice. Řešme v R soustavu rovnic: Ze druhé rovnice si vyjádříme neznámou x: Vyjádřenou neznámou x ze druhé rovnice dosadíme dle třetí ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic do rovnice první: Vypočítáme neznámou y:

Metoda dosazovací Z jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice. Řešme v R soustavu rovnic: Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

Metoda dosazovací Z jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice. Řešme v R soustavu rovnic: Správnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:

Sečteme pod sebou sobě odpovídající členy. Metoda sčítací Každá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Vynásobíme druhou rovnici dvěma, abychom po následném sečtení rovnic vyloučili neznámou y. Jinými slovy dle první ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic nahradíme druhou rovnici rovnicí s ní ekvivalentní: Sečteme pod sebou sobě odpovídající členy.

Metoda sčítací Každá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Vypočítanou neznámou x dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

Metoda sčítací Každá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Správnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:

Metoda srovnávací Z obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá. Řešme v R soustavu rovnic: Z obou rovnic vyjádříme jednu z neznámých. Většinou tu, která jde vyjádřit snadněji. V našem příkladu to vyjde na stejno, tak vyjádříme třeba neznámou x: Ze vzniklých výrazů sestavíme novou rovnici. Oba se totiž rovnají stejnému číslu – neznámé. V našem případě neznámé x.

Metoda srovnávací Z obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá. Řešme v R soustavu rovnic: V předcházejícím kroku jsme vyloučilli neznámou x a nyní tedy již hravě vypočítáme neznámou y.

Metoda srovnávací Z obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá. Řešme v R soustavu rovnic: Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

Metoda srovnávací Z obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá. Řešme v R soustavu rovnic: Správnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic Tak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení. Řešme v R soustavu rovnic: Pro řešení zvolím intuitivnější metodu dosazovací a vyjádřím například ze druhé rovnice neznámou x.

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic Tak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení. Řešme v R soustavu rovnic: Pozor na dosazení! Docela častou chybou bývá, že se dosazuje do stejné rovnice, ze které se „vyjadřovalo“! Vyjadřovali jsme neznámou x ze druhé rovnice, dosadit tedy musíme za x do první rovnice.

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic Tak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení. Řešme v R soustavu rovnic: Této rovnici nevyhovuje žádné reálné číslo y! To tedy znamená, že rovnice, ale tím pádem i celá soustava rovnic, nemá řešení. Výsledkem tedy je, že soustava rovnic nemá řešení:

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic A zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Pro řešení zvolím opět intuitivnější metodu dosazovací a tentokrát pro změnu vyjádřím z první rovnice neznámou y.

Otázkou však zůstává, jakých řešení? Jak víme, řešením soustavy rovnic Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic A zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Otázkou však zůstává, jakých řešení? Jak víme, řešením soustavy rovnic o dvou neznámých je uspořádaná dvojice [x; y]. Je tedy řešením této soustavy libovolná dvojice nebo snad existuje nějaká podmínka, která všechna možná řešení jasně vymezí? Zkusme nějakou libovolnou dvojici dosadit a uvidíme. Této rovnici vyhovuje každé reálné číslo x! To tedy znamená, že rovnice, ale tím pádem i celá soustava rovnic, má nekonečně mnoho řešení.

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic A zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Zvolíme si například uspořádanou dvojici [2; 1] a dosadíme ji do obou rovnic soustavy. Prakticky provedeme zkoušku řešení: Tak již první rovnici zvolená uspořádaná rovnice nevyhovuje! Libovolná uspořádaná dvojice tedy řešením naší soustavy není. Z řešení nám však vyplynulo, že neznámá x může být libovolné reálné číslo. „Podmíněnou“ tedy bude neznámá y. Dá se samozřejmě předpokládat, že na neznámé x bude záviset. Ale jak? Vrátím vám snímek s řešením této soustavy a věřím, že onu podmínku již nyní snadno odhalíte.

Tak to je ona! Samozřejmě, že ji můžeme ještě trochu zkrátit. Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic A zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Tak to je ona! Samozřejmě, že ji můžeme ještě trochu zkrátit. Jak tedy pak ale bude definitivně vypadat obecný zápis všech možných řešení této soustavy rovnic?

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnic A zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Řešme v R soustavu rovnic: Uspořádaná dvojice již tedy není zcela libovolná. Libovolná je v našem případě jen neznámá x. Tou je pak však již jednoznačně určena souřadnice y. Jedním z možných řešení tak může být například uspořádaná dvojice [-1; -1]. Ověřme si to provedením zkoušky.

Příklady k procvičení Vyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou: V případě rovnic vedoucích k rovnicím lineárním tyto nejdříve pomocí ekvivalentních úprav uvedeme do základního tvaru lineární rovnice, nejlépe do tvaru ax + by = c.

Příklady k procvičení Vyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou: Použiji sčítací metodu. Druhou rovnici vynásobím dvěma a následně vyeliminuji neznámou y.

Příklady k procvičení Vyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou: Nyní dosadíme vypočtenou hodnotu neznámé x do kterékoliv rovnice z řešení. Většinou samozřejmě volíme tu nejjednodušší pro následný výpočet druhé neznámé.

Správnost výsledku samozřejmě ještě ověříme zkouškou. Příklady k procvičení Vyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou: Správnost výsledku samozřejmě ještě ověříme zkouškou.

Příklady k procvičení Vyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou: Zkouška:

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>