Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:* III/2Sada:* I. Ověření ve výuce: oktávaDatum: listopad-duben 12/13 *) Doplňte po konzultaci s ředitelem školy

Anotace: Úvod do základu infinitezimálního počtu pro oktávu gymnázia. Výkladové prezentace s využitím VBA (nutno povolit makra) využitelné pro výuku s interaktivní tabulí, vhodné pro domácí přípravu, doplněné úlohami na procvičení jak přímo v prezentaci tak i formou pracovních listů. Jméno autora: Mgr. Ivana Mastíková Škola - adresa: Základní škola T. G. Masaryka a gymnázium Česká Kamenice, Palackého 535, Česká Kamenice Základy infinitezimálního počtu

Primitivní funkce Základy infinitezimálního počtu

Primitivní funkce Mějme dány funkce F, f definované v otevřeném intervalu (a,b). Jestliže pro všechna x  (a,b) platí F‘(x)=f(x), říkáme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu (a,b)

Primitivní funkce Najděte primitivní funkci k funkci f(x) = 3x v intervalu (-  ;  ). Řešení: Podle pravidla pro derivaci funkce y = x n (y‘ = nx n-1 )platí, že člen 3x 2 vznikl derivací x 3 a člen 2 derivací 2x. Primitivní funkcí k funkci f(x) tedy bude: F(x) = x 3 - 2x. Zkoušku můžeme provést opětovnou derivací. Protože víme, že derivace konstanty C je nula, pak ale i derivace funkce F(x) = x 3 - 2x + 1 a také funkce G(x) = x 3 - 2x + 2 je 3x Tedy pro všechny funkce F(x) = x 3 - 2x + C.  Množinou všech primitivních funkcí k funkci f(x) = 3x je funkce F(x) = x 3 - 2x + C Příklad: Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f, pak každá další primitivní funkce k funkci f má tvar F(x) + C, kde C je reálná konstanta.

Primitivní funkce cvičení 1 F(x) = 3- cos 2 x ; f(x) = sin2x

Primitivní funkce Libovolnou primitivní funkci F k funkci f na otevřeném intervalu (a;b) značíme: Postačující podmínka existence primitivní funkce k dané funkci: Určení primitivní funkce si procvičíme v následujícím cvičení. Ke každé funkci spojité v otevřeném intervalu (a;b) existuje v tomto intervalu primitivní funkce.

Primitivní funkce cvičení 2 Rozhodněte, zda platí:

Primitivní funkce V předchozích úlohách jsme řešili určení primitivní funkce k dané funkci pomocí znalostí o derivaci funkce. Nyní se naučíme hledat primitivní funkci pomocí základních vzorců pro integrování. Víme, je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f v intervalu (a,b), pak platí F‘(x)=f(x). Z tohoto vyjdeme při odvození vzorců pro integraci některých elementárních funkcí.

Primitivní funkce Při výpočtu primitivních funkcí také vycházíme z jejich vlastností. Věty o vlastnostech primitivní funkce Tyto věty si procvičíme na následujících úlohách. Nechť k funkci f existuje primitivní funkce F(x) =  f(x) dx na otevřeném intervalu (a;b) a nechť k  R je libovolná konstanta. Pak existuje na (a;b) také primitivní funkce G(x) =  kf(x) dx a platí  kf(x) dx = k  f(x) dx Nechť k funkcím f a g existují na otevřeném intervalu (a;b) primitivní funkce F(x) =  f(x) dx a G(x) =  g(x) dx. Pak existuje na (a;b) také primitivní funkce H(x) k funkci h = f + g a platí H(x)=  [f(x) + g(x)] dx =  f(x) dx +  g(x) dx

Primitivní funkce cvičení 3

Primitivní funkce shrnutí Připomeneme si nové pojmy: Protože oproti derivování pro integraci součinu neznáme žádné pravidlo, tak se v příštích kapitolách zaměříme na integrační metody, naučíme se integrovat pomocí metody per partes (po částech) a substituční metodou.

Použitá literatura • Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci • Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák • Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát • Matematika, příprava k maturitě a přijímacím zkouškám – Jindra Petáková