Planimetrie Mgr. Alena Tichá

obsah obecný trojúhelník obsah trojúhelníka rovnoramenný trojúhelník rovnostranný trojúhelník pravoúhlý trojúhelník Pythagorova věta Euklidovy věty goniometrické funkce rovnoběžníky lichoběžník kruh a kružnice části kruhu

Trojúhelník A B C výška trojúhelníka těžnice trojúhelníka těžiště trojúhelníka b SAB tb T a va ta c

Obvod a obsah trojúhelníka C a b c OBSAH va

Heronův vzorec A B C a b c

Příklad Je dán trojúhelník KLM: k = 4, l = 3 a m = 5. Určete všechny úhly a výšky. Heronův vzorec: úhly:

Příklad Je dán trojúhelník KLM: k = 4, l = 3 a m = 5. Určete všechny úhly a výšky. Heronův vzorec: výšky:

Rovnoramenný trojúhelník b b rameno rameno va = ta   základna a

Rovnostranný trojúhelník va = ta a

Příklad Rovnostranný trojúhelník má výšku 6. Určete jeho strany.

Příklad Délky stran rovnoramenného trojúhelníka ABC jsou (2x+1)cm; (3x+4)cm;(4x-3)cm; kde x є R. Určete číslo x. Určete obsah trojúhelníka. Vypočtěte všechny úhly. Určete délku těžnice na základnu. Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

a) určení čísla x Označme strany trojúhelníka a = 2x + 1; b = 3x + 4; c = 4x – 3 ABC je rovnoramenný, ale nevíme, který rozměr je základna a který rameno – proto nutno počítat: Ze všech variant dopočítáme strany trojúhelníka: neplatí trojúhelníková nerovnost Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

b) určení obsahu z minulé úlohy: jedna z možností je Heronův vzorec: Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

c) určení úhlů využijeme vzorce pro obsah: a = 15cm b = 25cm c = 25cm Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

d) určení těžnice b = 25cm va = ta a = 15cm Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

Pravoúhlý trojúhelník ABC Dohoda o značení: „Prostřední písmeno v názvu trojúhelníka je vždy vrchol pravého úhlu.“ α odvěsna oba úhly jsou ostré přepona přepona je nejdelší strana γ odvěsna

Pravoúhlý trojúhelník ABC OBSAH

Pythagorova věta Pythagoras ze Samu – r. 570 př.n.l. – 510 př.n.l. – Řecko, Itálie Součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou. b2 Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! c2 a2 + =

Pythagorova věta a b c A B C „přepona2 = odvěsna2 + odvěsna2“

Příklad Je dán trojúhelník KLM: k = 5cm, l = 7cm a m = 4cm. Zjistěte, zda je pravoúhlý. - pokud je pravoúhlý, platí Pythagorova věta - přepona je nejdelší strana KLM není pravoúhlý

Dohoda o značení bc ba vb a b c A B C trojúhelník ABC prostřední písmeno – vrchol pravého úhlu bc vb – výška na přeponu ba – úsek přepony přilehlý k odvěsně a bc – úsek přepony přilehlý k odvěsně c ba vb

Eukleidova věta o výšce b c A B C Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! bc vb2 = ba.bc ba vb Eukleidés – 325 př.n.l. – 260 př.n.l. – Řecko, Egypt

Eukleidova věta o odvěsně b c A B C Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku! a2 = ba.b bc c2 = bc.b ba vb Eukleidés – 325 př.n.l. – 260 př.n.l. – Řecko, Egypt

Příklad Odvoďte vzorec pro výšku na přeponu pravoúhlého trojúhelníka v závislosti na délkách stran trojúhelníka. a b c A B C Eukleidovy věty: bc ba vb

Goniometrické funkce a b c A B C Následující definice platí jen v pravoúhlém trojúhelníku !!! přepona Všimněte si názvů a značení!!! přilehlá odvěsna protilehlá odvěsna

Funkce sinus obecná definice: přepona v trojúhelníku ABC: (je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C přepona v trojúhelníku ABC:

Funkce kosinus obecná definice: přilehlá přepona v trojúhelníku ABC: (je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C přepona přilehlá v trojúhelníku ABC:

Funkce tangens obecná definice: protilehlá přilehlá (je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C přilehlá protilehlá v trojúhelníku ABC:

Funkce kotangens obecná definice: přilehlá protilehlá (je lepší si pamatovat toto, než „jakási“ písmena!) a b c A B C protilehlá přilehlá v trojúhelníku ABC:

POZOR! Nikdy nelze: užívat jiné značení funkce, než bylo definováno (na kalkulačkách je nesprávně označeno tlačítko tan pro funkci tangens) uvést název funkce bez názvu úhlu – tedy nelze psát např. sin = 0,987 uvádět velikost úhlu společně s názvem funkce – nelze psát např. sin x = 0,5 = 30o správný zápis je sin x = 0,5 ; x = 30o

Kalkulačka Jedna funkce na kalkulačce chybí – která? Proč? Všimněte si: Výpočet: např. cotg 30o vypočtěte tg 30o použijte tlačítko 1/x (nebo x-1) (1,732) Výpočet: např. cotg x = 1,23 vypočtěte 1 / 1,23 (pomocí tlačítka 1/x) vypočtěte tan-1 z výsledku minulé operace (39o7´)

Příklad protilehlá přilehlá Schodiště je tvořeno schody o výšce 15cm a šířce 30cm. Jaký sklon má a kolika schody je tvořeno, když vede do výšky 2,7 metru? přilehlá protilehlá 30 15 2,7 30 15

Příklad Znáte tuto dopravní značku? Co znamená stoupání 8 promile? 8 ‰ Je to výstražná značka, která upozorňuje na nebezpečné stoupání silnice nebo železniční trati. V tomto případě je stoupání 8 promile. Co znamená stoupání 8 promile? Na každých 1000m ve vodorovném směru připadá zvýšení trati o 8m.

Příklad Dvě železniční stanice jsou vzdálené 4 kilometry. Stoupání trati je 8 ‰. Jaký je výškový rozdíl stanic a úhel stoupání trati? 4 km h α Stoupání 8 ‰ 8 m α 1 000 m Zdroj: Calda a kol.: Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, Praha, Prometheus 1994

Rovnoběžník protější strany jsou rovnoběžné a shodné úhly nejsou pravé, protější jsou shodné všechny úhly jsou pravé (90o) všechny strany shodné vedlejší strany nejsou shodné všechny strany shodné vedlejší strany neshodné

Čtverec u - úhlopříčka a S – střed čtverce Obvod S a a u u Obsah a

Obdélník Obvod u - úhlopříčka a Obsah u u b b a

Příklad Plánek zahrady je v měřítku 1 : 150 a rozměry jsou uvedeny v centimetrech. Kolik arů zahrada zabírá a kolik metrů plotu je třeba zakoupit, když počítáme 10% pletiva na spoje? 4 2 3 6 Před výpočtem je dobré přepočítat rozměry podle měřítka a označit je písmeny. Zahradu si rozdělíme na čtverce a obdélník.

4 2 3 6

Plocha S2 S3 S1

Plot = obvod

Příklad Body E, F, G jsou středy stran čtverce ABCD. Poměr obsahu trojúhelníka AEH a čtverce ABCD je: 1 : 8 1 : 12 2 : 15 1 : 16 2 : 25 A B C D E H F G Zdroj: Zhouf a kol.: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, Praha, Prometheus 2002

A B C D E H F G

Strany Kosočtverec Kosodélník všechny strany shodné protilehlé strany shodné protilehlé strany rovnoběžné

Úhly Kosočtverec Kosodélník protilehlé úhly shodné dva úhly jsou ostré a dva tupé součet úhlů je 360o

Úhlopříčky Kosočtverec Kosodélník navzájem kolmé nejsou kolmé nejsou shodné půlí se

Obvod Kosočtverec Kosodélník b a a

Obsah Kosočtverec Kosodélník va vb b va a a

Příklad Ve čtvercové síti je dán kosodélník. Určete jeho obsah a poměr výšek. va b a Zdroj: www.novamaturita.cz / Testy a zadání / Ilustrační testy 2012 / Matematika / Didaktický test v základní verzi obtížnosti

Lichoběžník čtyřúhelník, jehož právě dvě strany (základny) jsou rovnoběžné a neshodné, ostatní dvě strany (ramena) jsou různoběžné základna c rameno d b rameno a základna

Parametry lichoběžníka v – výška = kolmá vzdálenost základen u – úhlopříčky = spojnice protilehlých vrcholů – nepůlí se, nejsou kolmé, nejsou shodné s – střední příčka – spojnice středů ramen V u s u

Dělení lichoběžníků

Pravoúhlý lichoběžník d = v b d v a

Rovnoramenný lichoběžník o – osa souměrnosti c b b v v o u u a u – úhlopříčky jsou shodné

Obvod a obsah c d b a

Příklad Vypočtěte obsah lichoběžníka, jehož strany jsou 12cm, 5cm, 7cm a 4,5cm. 7 7 4,5 v v 5 12 x y

Kružnice - kruh S – střed kružnice r – poloměr kružnice d - průměr kružnice r kruh S d

Obvod a obsah Obvod S r Obsah

Pojmy tětiva – spojnice libovolných dvou bodů kružnice tětiva r α – středový úhel polovina tětivy β – obvodový úhel r S

Příklad Kružnice má stejný obvod jako čtverec. Poměr obsahu čtverce a obsahu kruhu je:

Příklad Kružnice má stejný obvod jako čtverec. Poměr obsahu čtverce a obsahu kruhu je: obvod kružnice: obvod čtverce: obsah čtverce: obsah kruhu:

Kruhová úseč délka oblouku S r obsah kruhové úseče

Příklad Určete obvod a obsah kruhové úseče, která vznikne z kruhu o poloměru 8cm díky tětivě dlouhé 10cm. S r = 8 5 t = 10 8

S r = 8 t = 10

Kruhová výseč S r obsah kruhové výseče