NEJKRATŠÍ CESTY MEZI VŠEMI UZLY Nejkratší cesty - kap. 7
Nejkratší cesty mezi všemi uzly Seznámíme se s následujícími pojmy: matice w-délek, matice w-vzdáleností, matice předchůdců Floydův-Warshallův algoritmus Johnsonův algoritmus, přehodnocení hran Skripta kap. 7, str. 123 – 138 Nejkratší cesty – kap. 7
Jak zjistíme nejkratší cesty mezi všemi páry uzlů ? Označme |U| = n Pro nezáporné ohodnocení hran lze uvažovat O(n2 . lg n + n . |H|) Fibonacci-ho halda n x Dijkstra ... O(|H| . n . lg n) binární halda O(n3) fronta jako sekvenční seznam A pro záporné ohodnocení hran n x Bellman-Ford ... O(n2 . |H|) ~ O(n4) !? ? Jde to lépe ? ANO ! Nejkratší cesty - kap. 7
matice w-vzdáleností D = [ dij ] : dij = dw(ui,uj) Graf G reprezentujeme maticí w-délek W (vychází z matice sousednosti V a zahrnuje současně délky hran w): 0 pro i = j wij = w(ui, uj), i j, (ui,uj)H + jinak Výsledky získáme ve formě matice w-vzdáleností D = [ dij ] : dij = dw(ui,uj) Doplňující informace o samotných cestách ukládáme do matice předchůdců P = [ pij ] pij = nil ... i=j nebo neexistuje cesta ui uj, uk ... uk je předchůdce uj na cestě ui uj Cesty a matice - odst. 7.1
Algoritmus Floyda-Warshalla Základní myšlenka: postupně rozšiřujeme povolené vnitřní uzly minimálních cest: , {u1}, {u1, u2},..., {u1, u2, ..., uk},..., {u1, u2, ..., un} cesta P : ui uj s vnitřními uzly z {u1, u2, ..., uk} dij(k) - délka minimální cesty P ui uk uj {u1, u2, ..., uk-1} dij(0) = wij dij(k) = min (dij(k-1) , dik(k-1) + dkj(k-1)) dij(n) = dij Floyd-Warshall - odst. 7.2
Algoritmus Floyda-Warshalla 1 D(0) W 2 for k 1 to n { 3 for i 1 to n { 4 for j 1 to n { 5 dij(k) min (dij(k-1) , dik(k-1) + dkj(k-1)) 6 } } } 7 return D(n) !!! Časová složitost : O(n3) !!! ? A co paměťová složitost ? ?A co, když chceme znát cesty, ne jen vzdálenosti ? Floyd-Warshall - odst. 7.2
Výpočet matice předchůdců: pij(0) = nil pro i=j nebo wij= i jinak (tedy pro (ui,uj) H) pij(k) = pij(k-1) pro dij(k-1) dik(k-1) + dkj(k-1) pkj(k-1) pro dij(k-1) > dik(k-1) + dkj(k-1) Reflexivně-tranzitivní uzávěr grafu (relace) W = V + E dij(k) = dij(k-1) (dik(k-1) dkj(k-1)) Floyd-Warshall - odst. 7.2
Kontrolní otázky Podobně jako je při provádění Floyd-Warshallova algoritmu možné počítat matici P předchůdců uzlů na nejkratších cestách, je možné také počítat matici Q následníků uzlů na nejkratších cestách. Určete pravidlo, podle něhož se nastaví počáteční hodnoty prvků qij(0) této matice, a pravidlo pro přechod od (k-1)-ní ke k-té iteraci hodnot qij. Dalším rozšířením Floyd-Warshallova algoritmu zajistěte, aby po ukončení výpočtu byl znám počet hran na nejkratších cestách mezi všemi uzly (opět ve formě matice označené např. R). (Návod: Inspirujte se řešením obdobného problému pro algoritmus Dikstrův a Bellman-Fordův.) Zdůvodněte, proč je provádění Floyd-Warshallova algoritmu možné všechny iterace matice D(k) uchovávat v jediném poli. (Návod: Ověřte, že vnitřní dva cykly nemění hodnotu prvků v k-tém řádku a k-tém sloupci, na nichž závisí hodnoty prvků v nové iteraci.) Jak se při použití Floyd-Warshallova algoritmu zjistí případná existence záporných cyklů v grafu? Nejkratší cesty – kap. 7
Johnsonův aloritmus Úvaha: (označíme |U|=n) Pro řídké grafy (|H|<<O(n2)) je O(|H|.n) lepší než O(n3) takže O(n.(|H| + n.lg n)) je lepší než O(n3) Idea: n x Dijkstra (+ Fib. heap), ale co s w(h) < 0 ?? Přehodnocení w w' takové, že pro každé u,v je cesta u v minimální podle w' minimální také podle w w'(u,v) 0 Johnson - odst. 7.3
Zbývá nalézt vhodné h, aby bylo w'(u,v) 0 !!! ? Jak najít přehodnocení w' , které bude zachovávat minimálnost cest? V: Nechť je pro graf G = H, U s ohodnocením hran w: H R dána funkce h: U R. Nechť je ohodnocení w' pro každou hranu (u,v) dané vztahem w'(u,v) = w(u,v)+h(u)-h(v) Potom pro cestu L: u v platí, že L je minimální podle w, právě když je minimální podle w'. D: platí w'(L) = w(L)+h(u)-h(v) cesta minimální pro w je minimální i pro w' a naopak Zbývá nalézt vhodné h, aby bylo w'(u,v) 0 !!! Johnson - odst. 7.3
w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) 0 !!! Úprava G na G': přidáme uzel s: U' = U {s} a hrany H = H {(s,u): u U}, w(x) = 0 pro nové hrany x v s u položíme h(u)=d(s,u) ... platí h(v) h(u) + w(u,v), tedy w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) 0 !!! Johnson - odst. 7.3
O(n.|H|.lg n) pro binární heap Johnsonův algoritmus 1 G G' 2 Bellman-Ford(G',w,s) pokud false STOP 3 for každý uzel uU { h(u) d(s,u) } 4 for každou hranu (u,v)H { 5 w'(u,v) w(u,v) + h(u) - h(v) 6 for každý uzel uU { 7 Dijkstra(G, w', u) 8 for každý uzel vU { 9 d(u,v) d'(u,v) - h(u) + h(v) 10 } 11 } O(n.|H|) O(n2.lg n + n.|H|) (pro Fib. heap) O(n.|H|.lg n) pro binární heap Johnson - odst. 7.3
h(u) = min (0, délka nejkratší cesty s u) -2 -2/0 3/1 2/3 3/1 3/3 4/4 6/7 4/4 1/0 -1/0 -1 h(u) = min (0, délka nejkratší cesty s u) w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) Johnson - odst. 7.3
Algebraické souvislosti Floyd-Warshall: dij(k) = min (dij(k-1) , dik(k-1) + dkj(k-1)) dvojoperace min, + označíme , efekt složení dvou spojení u v v x efekt kombinování alternativních spojení u v ?Jaké vlastnosti musí tyto operace mít, aby to fungovalo? Algebraické souvislosti - odst. 7.4
Teď přijde trochu matematiky, podrobněji viz skripta ... Polookruh Teď přijde trochu matematiky, podrobněji viz skripta ... P = P, , , 0, 1 : a (b c) = (a b) c P, , 0 a 0 = 0 a = a je komutativní a b = b a monoid a a = a idempotence a (b c) = (a b) c P, , 1 a 1 = 1 a = a je monoid a 0 = 0 a = 0 s nulovým prvkem a (b c) = (a b) (a c) distributivnost (b c) a = (b a) (c a) zleva a zprava Algebraické souvislosti - odst. 7.4
Kdy máme mnoho spojení? Když máme cykly! Uzavřený polookruh: a1 a2 a3 ... je definováno pro lib. a1, a2, a3, ... a je asociativní, komutativní, idempotentní a navíc distributivní vůči Kdy máme mnoho spojení? Když máme cykly! Uzávěr c* = 1 c (c c) (c c c) ... 0* = 1, c c* = c* c, c* = 1 (c* c), ... Příklady polookruhů R+ {}, min, +, , 0 a* = min (0, a, a+a, a+a+a, ...) = 0 R {, -}, min, +, , 0 a* = 0 nebo - (pro a<0) Algebraické souvislosti - odst. 7.4
Řešení obecné úlohy o spojeních Máme jednoduchý OG G = H,U a ohodnocení : H P , (h) 0, kde P = P, , , 0, 1 je polookruh. Doplníme ohodnocení o (u,v) = 0 pro (u,v) H. Spojení L = u1,u2,...,uk ohodnotíme pomocí jeho hran (L) = (u1,u2) (u2,u3) ... (uk-1,uk) takže platí (L1 L2) = (L1) (L2) (L1 L2 ... Lr) = (L1) (L2) ... (Lr) Rozšíříme i na množiny spojení {Li}iI mezi stejnými uzly ({Li}iI) = iI (Li) Algebraické souvislosti - odst. 7.4
Ta trocha matematiky pokračuje ... F-W algoritmus zobecníme, aby pro všechna u,v U počítal suv = L : uv (L) Předpokládáme U = {1,2, ...|U|}, L(i,j,k) - všechna spojení z i do j s vnitřními uzly pouze z množiny {1,2,...,k}. Postupně se počítají sij(k) = L L(i,j,k) (L) pomocí rekurence sij(k) = sij(k-1) (sik(k-1) (skk(k-1))* skj(k-1) ) a počátečního nastavení sij(0) = (i,j) pro i j, sij(0) = 1 (i,j) pro i=j Algebraické souvislosti - odst. 7.4
Zobecněný F-W algoritmus Floyd-Warshall-G(G, ) 1 for i1 to n { for j 1 to n { sij(0) (i,j) } sii(0) 1 (i,i) 4 } 5 for k 1 to n { 6 for i 1 to n { 7 for j 1 to n { 8 sij(k) sij(k-1) (sik(k-1) (skk(k-1))* skj(k-1) ) 9 } } } 8 return S(n) za co je tam ta 1 ??? Algebraické souvislosti - odst. 7.4
A tohle je několik výsledků ... Pro polookruh R+ {}, min, +, , 0 a* = min (0, a, a+a, a+a+a, ...) = 0 uzávěrový činitel (skk(k-1))* odpadá sij(k) = sij(k-1) (sik(k-1) skj(k-1) ) Pro polokruh R {, -}, min, +, , 0 a* = 0 nebo - (pro a<0) hodnota (skk(k-1))* je - pokud spojení z u do v prochází cyklem < 0 P = 0,1, max, . , 0, 1 a*=1 - nejspolehlivější spojení P = Rk, max, min , rmin, rmax - spojení s maximální propustností Rk je konečná množina reálných čísel Algebraické souvislosti - odst. 7.4
Kontrolní otázky Jak je třeba definovat operace a a nosič (tj. množinu P) v odpovídajícím polookruhu, aby zobecněný Floyd-Warshallův algoritmus určil počet různých spojení mezi jednotlivými dvojicemi uzlů. Nejkratší cesty – kap. 7