Dedukce v TIL1 Dedukce v TIL Dedukce v TIL: Přechod od jednoduché k rozvětvené hierarchii typů Marie Duží VŠB-Technická Universita Ostrava Katedra Informatiky FEI

Dedukce v TIL2 Pavel Tichý a dedukce v TIL 1. Foundations of Partial Type Theory (1982) 2. Indiscernibility of Identicals (1986)  Pre-1988 TIL: jednoduchá teorie typů  Pěkné shrnutí v Filozofická logika: Nová cesta? (Štěpán, Materna), dodatek (Štěpán).

Dedukce v TIL3 Extenzionální pravidla. Problém substituce (Leibniz) a) Problém substituce (Leibniz): a = b; C(a/x) |  C(b/x) Toto odvození není (zdánlivě) obecně platné. Př.: Prezident ČR je manžel Livie. Prezident ČR je ekonom. Manžel Livie je ekonom. Ale:Prezident ČR je manžel Livie. Miloš Zeman chce být prezidentem ČR. Miloš Zeman chce být manželem Livie.

Dedukce v TIL4 Extenzionální pravidla. Existenční generalizace b) Existenční generalizace C(a/x) |   x C(x) Př.:Prezident ČR je ekonom. Prezident ČR existuje. Ale:Miloš Zeman chce být prezidentem ČR. Prezident ČR existuje.

Dedukce v TIL5 Indiscernibility of identicals  Řešení pro tzv. lingvistické konstrukce: 1.  w  t [C 1 C 2 … C m ] 2.  w  t [  x 1 … x m C]

Dedukce v TIL6 Indiscernibility of identicals 1. Hospitability – „vstřícnost“ k substituci:  Proměnná z je (1,1) hospitable: konstrukce tvaru [X wt ] je substituovatelná za z  Extenzionální (de re) výskyt (pokud to není ve vyšším kontextu)  Proměnná z je (1,0) hospitable: konstrukce tvaru [X w ] je substituovatelná za z  Intenzionální (de dicto) vzhledem k času t  Proměnná z je (0,1) hospitable: konstrukce tvaru [X t ] je substituovatelná za z  Intenzionální (de dicto) vzhledem ke světu w  Proměnná z je (0,0) hospitable: konstrukce tvaru X je substituovatelná za z  Intenzionální (de dicto) vzhledem k w, t

Dedukce v TIL7 Indiscernibility of identicals 2. Exposure a existenční generalizace jako kvantifikace do extensionálního kontextu: Proměnná x je volná a (1,1)-hospitable, Proměnná x je volná a (1,1)-hospitable, D (k,l) je substituovatelné za x v C: Pravidlo: Pravidlo: C(D (k,l) /x) |   w  t  x C(x) Př.:  w  t [Ekonom wt PCR wt ] |   w  t  x [Ekonom wt x] Ekonom/(  )  ; PCR/   ; x  v .

Dedukce v TIL8 Sekvent kalkul  Match (párování, shoda).  a:C, kde a, C   a a je atomická konstrukce;  Valuace v splňujea:C  Valuace v splňuje a:C, pokud a a C v-konstruují tentýž objekt (tj. jsou v-kongruentní);  Valuace v splňuje:C  Valuace v splňuje :C, pokud C je v-nevlastní;  Nekompatibilní párování  Nekompatibilní párování. a:C # b:C, kde a, b konstruují různé objekty a:C # :C

Dedukce v TIL9 Sekvent kalkul  sekvent.  a 1 :C 1, …, a m :C m  b:D  Notace:   , kde  je množina shod a  je shoda  Platný sekvent  Platný sekvent: každá valuace, která splňuje levou stranu, splňuje také pravou stranu.  Pravidla (zachovávající platnost), notace:  1   1, …,  k   k ||   

Dedukce v TIL10 Sekvent kalkul: strukturální pravidla 1. ||   , pokud    (triviální sekvent) 2.    ||  s  , pokud    s (redundantní pár) 3. ,    ;    ||    (simplifikace) 4. ||   y:y(triviální pár) 5.    1 ;    2 ||   , pokud jsou  1 a  2 nekompatibilní 6. , :    ; , y:    ||    (y není nikde volná)

Dedukce v TIL11 Sekvent kalkul: pravidla pro aplikaci funkce 7. a-instance (modus ponens):   y:[FX 1 …X m ], , f:F, x 1 :X 1,…,x m :X m   ||   , (f, x i, různé proměnné, ne volné v , , F, X i ) 8. a-substituce: (i)   y:[FX 1 …X m ],   x 1 :X 1,…,   x m :X m ||   y:[Fx 1 …x m ] (ii)   y:[Fx 1 …x m ];   x 1 :X 1,…,   x m :X m ||   y:[FX 1 …X m ] 9. Extensionalita: , y:[f x 1 …x m ]  y:[g x 1 …x m ]; , y:[g x 1 …x m ]  y:[f x 1 …x m ] ||   f:g (y, x 1,…,x m jsou různé proměnné, které ne volné v , f, g.)

Dedukce v TIL12 Sekvent kalkul:  - pravidla 11. , f:  x 1 …x m Y   ||    (f není volná v , Y,  ) 12.  -redukce:   y:[[  x 1 …x m Y] X 1 …X m ] ||   y:Y(X 1 …X m /x 1 …x m ); (X i je substituovatelné za x i ) 11.  -expanze:   x 1 :X 1 ;…;   x m :X m ;   y:Y(X 1 …X m /x 1 …x m ) ||   y:[[  x 1 …x m Y] X 1 …X m ]

Dedukce v TIL13 Zobecnění kalkulu (TIL 2010)  Zobecnění se týká a) Rozvětvená teorie typů b) Libovolné konstrukce (nejen lingvistické) c) Existenční generalizace do jakéhokoli kontextu d) Substituce identit v jakémkoli kontextu  Definice tří druhů kontextu (top-down, ne-kruhem): a) hyperintenzionální, intenzionální extenzionální a) hyperintenzionální, intenzionální a extenzionální b) Substituce a existenční generalizace c) Obecné  -pravidlo (substituce „hodnotou“)

Dedukce v TIL14 Tři druhy kontextu (postupujeme shora dolů) 1.Nechť C je podkonstrukce konstrukce D. Rozlišíme „Use-Mention“ výskyt C v D: všechny podkonstrukce hyperintenzionální výskyt  Výskyt konstrukce C je mentioned v D, jestliže C samotná je v D objektem predikace, tj. je argumentem funkce f konstruované nějakou podkonstrukcí D; (f může být i nulární, tedy 0 C). Pak všechny podkonstrukce C mají v D hyperintenzionální výskyt. konstituentem D  Jinak je C used v D, tedy C je konstituentem D.

Dedukce v TIL15 Definice „Use/Mention“ hyperintenzionální  Charakteristika: Výskyt C v D zmíněn, tj. tento výskyt je hyperintenzionální, pokud je C v D podkonstrukcí konstrukce 0 D’, která není v D podkonstrukcí konstrukce 2 D’’.  Přesněji: je-li n počet Trivializací a m-počet Dvojích Provedení, která předcházejí výskytu C, pak je-li n > m, je výskyt C v D zmíněn.

Definice (výskyt konstrukce užit jako konstituent). Nechť C je konstrukce a D podkonstrukce C. užit v C jako konstituent i.Je-li D identická s C (tj. 0 C = 0 D), pak výskyt D je užit v C jako konstituent. užit v C jako konstituent ii.Je-li C identická s [X 1 X 2 …X m ] a D je jedna z konstrukcí X 1, X 2,…, X m, pak výskyt D je užit v C jako konstituent. užit v C jako konstituent iii.Je-li C identická s [  x 1 …x m X] a D je X, pak výskyt D je užit v C jako konstituent. užit v C jako konstituent. iv.Je-li C identická s 1 X a D je X, pak výskyt D je užit v C jako konstituent. užit v C jako konstituent. v.Je-li C identická s 2 X a D je X, nebo 0 D se vyskytuje jako konstituent X a tento výskyt D je konstituentem konstrukce Y v-konstruované X, pak výskyt D je užit v C jako konstituent. vi.… tranzitivita užití …

Dedukce v TIL17 Výskyt konstituentu C v D výskyt konstituentu 2.Rozlišíme intenzionální a extenzionální výskyt konstituentu C v D. Nechť C konstruuje funkci f: Intenzionální výskyt celá funkce f Intenzionální výskyt: objektem predikace v D (argumentem …) je celá funkce f. Extenzionální výskyt hodnota funkce f Extenzionální výskyt: objektem predikace v D (argumentem …) je hodnota funkce f. vyšší kontext „přebíjí“ nižší To je ale zjednodušené, protože musíme počítat s tím, že vyšší kontext „přebíjí“ nižší. Dominance hyperintensionální už je vyřešena, protože víme, že C je konstituent D (tedy užit a ne hyperintenzionálně zmíněn).

Dedukce v TIL18 Výskyt konstituentu C v D Proto postupujeme dále shora dolů. 2.a) Nejdříve definujeme výskyt konstituentu C v D s intensionální vs. extensionální supozicí. Zde pouze sledujeme to, zda konstruovaná funkce f je či není aplikována na (všechny) své argumenty příslušných typů. Přitom nulární funkce (atomický objekt) se vždy vyskytuje s intenzionální supozicí, „nečeká na žádný argument“.

Dedukce v TIL19 Supozice konstituentu C v D: Definice 1. Nechť C je atomická konstrukce a nechť D je identická s C, D  v (β 1 …β n ), n  1. Pak D se vyskytuje v C s (β 1 …β n )-intenzionální supozicí. 2. Nechť C je Uzávěr [  x 1 …x m X], x1  v  1,…,x m  v  m, X  v . Pak: a) Je-li D identická s C, pak D se vyskytuje v C s (  1 …  m )-intenzionální supozicí. b) Je-li D konstituentem X, pak D se vyskytuje v C se stejnou supozicí jako D v X. 3. Nechť C je Kompozice [X Y 1 …Y m ], m  1, a X  v (  β 1 …β m ), Y 1  v  1, …, Y m  v  m. Pak: a) Je-li D identická s C, pak D se vyskytuje v C s  -intenzionální supozicí. b) Je-li D identická s X, pak D se vyskytuje v C s (  1,…,  m )-extenzionální supozicí. c) Je-li D konstituentem X, který není identický s X nebo je-li D konstituentem Y i (1  i  m), pak D se vyskytuje v C se stejnou supozicí jako D v X nebo Y i. 4. Nechť C je 1 X nebo 2 X, kde X je konstrukce. Pak konstituenty X se vyskytují v C se stejnou supozicí jako v X. 5. Nechť C je 1 X, kde X je objekt typu řádu 1, a nechť D je C. Pak D se vyskytuje v C s extenzionální supozicí. 6. Nechť C je 2 X, kde X je objekt typu řádu 1 nebo X v-konstruuje objekt typu řádu 1, a nechť D je C. Pak D se vyskytuje v C s extenzionální supozicí. 7. Výskyt konstrukce s intenzionální / extenzionální supozicí v C je pouze dle (1) – (6).

Dedukce v TIL20 Supozice konstituentu C v D: Důsledek extenzionální supozicí Konstituent D se vyskytuje v C s extenzionální supozicí pouze v těchto případech:  C je Komposice [D Y 1 …Y m ]  C je Provedení 1 [D Y 1 …Y m ], 2 [D Y 1 …Y m ]  D je identická s C a C je 1 X, kde X je objekt typu řádu 1  D je identická s C a C je 2 X, kde X je objekt typu řádu 1 nebo X v-konstruuje objekt typu řádu 1.

Dedukce v TIL21 Výskyt konstituentu C v D extenzionální supozicí nevlastní  Pouze konstrukce, která se vyskytuje s extenzionální supozicí, může být v- nevlastní.  Tento případ může nastat ze dvou důvodů. 1. Je prováděna procedura aplikace funkce f na argument a, na kterém je f nedefinována 2. Je prováděna procedura provedení objektu, který není konstrukcí.

Dedukce v TIL22 Výskyt konstituentu C v D výskyt intensionální  Výskyt konstituentu C v D s intensionální supozicí znamená výskyt intensionální.  Výskyt konstituentu C v D s extensionální supozicí je extensionální, pokud to není výskyt v nějakém vyšším (intenzionálně generickém) kontextu.  Není-li výskyt C v dosahu  -Uzávěru, pak se jedná o negenerický kontext, a tedy výskyt C je extenzionální.  Je-li výskyt C v dosahu n  -Uzávěrů, pak se jedná o generický kontext, a tedy výskyt C je intensionální.

konstituent typkontext [X0X][X0X] 00 negenerický  x 1 [X 0 X](01)(01)(  1 )-generický [  x 1 [X 0 X] X 1 ] 00 negenerický  x 2 [  x 1 [X 0 X]]((  0  1 )  2 )(  2  1 )-generický [  x 2 [  x 1 [X 0 X]] X 2 ](01)(01)(  1 )-generický [  x 2 [  x 1 [X 0 X]] X 1 ](02)(02)(  2 )-generický [  x 2 [  x 1 [X 0 X] X 1 ] X 2 ] 00 negenerický  x 2 x 1 [X 0 X](012)(012)(  2,  1 )-generický [  x 2 x 1 [X 0 X] X 1 X 2 ] 00 negenerický

Dedukce v TIL24 Intenzionální vs. extenzionální výskyt konstituentu intenzionální supozicí nebo v generickém kontextu  Jestliže D se vyskytuje s intenzionální supozicí nebo v generickém kontextu C, pak D se vyskytuje intenzionálně v C. extenzionální supozicí a v negenerickém kontextu  Jestliže D se vyskytuje s extenzionální supozicí a v negenerickém kontextu C, pak D se vyskytuje extenzionálně v C.

De dicto vs. de re výskyt De dicto vs. de re výskyt v [  w  t C] (  -)de dicto supozicí  D v C s (  )-intenzionální supozicí (pro nějaký typ  ) nebo v (  )-generickém kontextu C, pak se D vyskytuje v C s (  -)de dicto supozicí. (  -)de dicto supozicí  D v C s (  )-intenzionální supozicí (pro nějaký typ  ) nebo v  -generickém kontextu C, pak se D vyskytuje v C s (  -)de dicto supozicí. (  -)de dicto supozicí  D v C s ((  )  )-intenzionální supozicí (pro nějaký typ  ) nebo v (  )-generickém kontextu C, pak se D vyskytuje v C s (  -)de dicto supozicí.  Výskyt D v [  w  t C] je stejný jako v C.

Dedukce v TIL26 Extenzionální kalkul hyperintenzí a) Existenční generalizace (do libovolného kontextu) b) Substituce identit (Leibniz) v libovolném kontextu  -redukce ‘hodnotou’ substituční metody c) Sekventový kalkul … Ale:  -redukce ‘hodnotou’ pomocí substituční metody

Dedukce v TIL27 a) Existenční generalizace  Nechť F/(  ); a/ . 1)extenzionální kontext.  Nechť je výskyt Kompozice […[ 0 F 0 a]…] extenzionální a tato Kompozice v-konstruuje pravdivostní hodnotu P. Pak následující pravidlo zachovává pravdivost:  […[ 0 F 0 a]…] |   x […[ 0 F x] …]; x  v  Př.: „Papež je moudrý.“ |= „Někdo je moudrý“.  w  t [ 0 Moudrý wt 0 Papež wt ] ╞  w  t  x [ 0 Moudrý wt x];

28 a) Existenční generalizace 2)intenzionální kontext.  Nechť se [ 0 F 0 a] vyskytuje intenzionálně v konstrukci […  y [ … [ 0 F 0 a] …]], která v-konstruuje P. Pak následující pravidlo zachovává pravdivost: […  y [ … [ 0 F 0 a] …]] |   f […  y [ … [f 0 a] …]]; f  v (  ) Př.: „b si myslí, že papež je moudrý“. |= „Existuje úřad takový, že b si myslí, že ten, kdo jej zastává, je moudrý“. (Myslet/(   )  : intenzionální postoj k propozici; f  v  .)   w  t [ 0 Myslet wt 0 b  w  t [ 0 Moudrý wt 0 Papež wt ]] ╞  w  t  f [ 0 Myslet wt 0 b  w  t [ 0 Moudrý wt f wt ]];

Dedukce v TIL29 a) Existenční generalizace 3)hyperintenzionální kontext.  Nechť se [ 0 F 0 a] vyskytuje hyperintenzionálně v konstrukci [… 0 [ … [ 0 F 0 a] …]], která v-konstruuje P. Pak následující pravidlo zachovává pravdivost:  [… 0 [ … [ 0 F 0 a] …]] |   c 2 [ 0 Sub c 00 F 0 [… 0 [ … [ 0 F 0 a] …]]]; c  v  n ; 2 c  v (  ) Př.: „b si myslí*, že papež je moudrý“. |= „Existuje pojem úřadu takový, že b si myslí*, že ten, kdo jej zastává, je moudrý“.  w  t [ 0 Myslet* wt 0 b 0 [  w  t [ 0 Moudrý wt 0 Papež wt ]] ╞  w  t  c [ 0 Myslet* wt 0 b [ 0 Sub c 00 Papež 0 [  w  t [ 0 Moudrý wt 0 Papež wt ]]]]; (Myslet*/(  n )  : hyperpropoziční postoj; c  v  n ; 2 c  v  .)

Dedukce v TIL30 b) Substituce identit (Leibniz) extenzionálnímv- kongruentních a) V extenzionálním kontextu je substituce v- kongruentních konstrukcí platná. intenzionálním ekvivalentních b) V intenzionálním kontextu (modality, pojmové postoje, …) je substituce ekvivalentních (ne však pouze v-kongruentních) konstrukcí platná. hyperintenzionálním procedurálně isomorfních c) V hyperintenzionálním kontextu (propoziční postoje, matematické věty, …) je substituce procedurálně isomorfních (ne však pouze ekvivalentních) konstrukcí platná.

Dedukce v TIL31 b) Substituce identit (příklady) a) “President ČR je manžel Livie Klausové” “President ČR je ekonom”  “Manžel Livie Klausové je ekonom” b) “President ČR je nejvyšší představitel ČR” “Tom chce být presidentem ČR”  “Tom chce být nejvyšším představitelem ČR’’ c) “Tom si myslí*, že Sněžka je sopka”  “Tom si myslí*, že Sněžka je vulkán ”

Dedukce v TIL32 c) Kompozicionalita a neexistence Compositionextensional context Composition used in an extensional context: F has no-value at a if F has no-value at a (value gap) then [ 0 F 0 a] is improper partiality is strictly propagated up: and so is any C occurring extensionally and containing [ 0 F 0 a] as a constituent; partiality is strictly propagated up: [… [ … [ 0 F 0 a] …] …] is improper hyper/intensional until the context is raised up to hyper/intensional intensional: intensional:  x… [… [ … [ 0 F 0 a] …] …] is proper hyperintensional: hyperintensional: 0 [… [ … [ 0 F 0 a] …] …] is proper

Dedukce v TIL33  -redukce („jménem“), problémy: 11.  -redukce:   y:[[  x 1 …x m Y] X 1 …X m ] ||   y:Y(X 1 …X m /x 1 …x m ); (X i je substituovatelné za x i ) logice parciálních funkcí  V logice parciálních funkcí transformace [[  x 1 …x m Y] X 1 …X m ] |  Y(X 1 …X m /x 1 …x m ) není ekvivalentní, pokud je levá strana v-nevlastní (v sekvent kalkulu to nevadí díky systému shod), ale … ztrátě analytické informace  Může dojít ke ztrátě analytické informace

Dedukce v TIL34  -redukce („jménem“), problémy: parciálních V logice parciálních funkcí to není ekvivalentní transformace: [[  x [  y [ 0 : y x]]] [ 0 Cot 0  ]]   [  y [ 0 : y [ 0 Cot 0  ]]] Typy: x, y   ; :/(  ), funkce dělení; Cot/(  ): funkce kotangens;  / . Konstrukce na levé straně je nevlastní, nekonstruuje nic. Funkce konstruovaná Uzávěrem [  x [  y [ 0 : y x]]] neobdrží argument, na který by mohla být aplikována. Konstrukce na pravé straně konstruuje degenerovanou funkci (jakožto zobrazení) typu (  ), která je nedefinována na všech svých argumentech.

Dedukce v TIL35  -redukce („jménem“), problémy: Ztráta analytické informace (): Ztráta analytické informace (i v případě ekvivalentní  -redukce): [  x [ 0 + x 0 1] 0 3]  [ ] [  y [ y] 0 1] Která funkce byla aplikována na jaký argument?

Dedukce v TIL36  -redukce („jménem“), problémy: „mít rád svou ženu“ vs. „mít rád Janovu ženu“  w  t  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]] vs.  w  t  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt 0 Jan]] „Jan má rád svou ženu“   „Jan má rád Janovu ženu“  w  t [  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]] 0 Jan] =  -redukce  w  t [ 0 Rád wt 0 Jan [ 0 Žena wt 0 Jan]] =  -expanze  w  t [  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt 0 Jan]] 0 Jan] „a Petr také“ má rád svou (vzorný manžel) nebo Janovu ženu (trable na obzoru)?

Dedukce v TIL37  -redukce ‘hodnotou’ Řešení:  -redukce ‘hodnotou’ Nechť x i  v  i jsou navzájem různé proměnné a D i  v  i konstrukce (1  i  m).  -redukce hodnotou Pravidlo  -redukce hodnotou: [[  x 1 …x m Y] D 1 …D m ] |– 2 [ 0 Sub [ 0 Tr  1 D 1 ] 0 x 1 … [ 0 Sub [ 0 Tr  m D m ] 0 x m 0 Y]] Funkce Sub/(  n  n  n  n ) Funkce Sub/(  n  n  n  n ) operuje hyperintensionálně, na konstrukcích: [ 0 Sub 0 Co 0 ZaCo 0 Kam] konstruuje konstrukci D … Je to obecně platné a vždy použitelné pravidlo, které nevede ke ztrátě analytické informace.

Dedukce v TIL38  -redukce ‘hodnotou’ Řešení:  -redukce ‘hodnotou’ „Jan má rád svou ženu“  w  t [  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]] 0 Jan] =  w  t 2 [ 0 Sub 00 Jan 0 x 0 [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]]] „Ostravský primátor také (má rád svou ženu)“  w  t [také wt 0 PMO wt ] =  w  t 2 [ 0 Sub 0 [  w  t  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]]] 0 také 0 [také wt 0 PMO wt ]] =  r  w  t [  x [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]] 0 PMO wt ] =  w  t 2 [ 0 Sub [ 0 Tr 00 PMO wt ] 0 x 0 [ 0 Rád wt x [ 0 Žena wt x]]]

Dedukce v TIL39 Závěr  Problémy:  Zjednodušení definic?  Vlastnosti kalkulu  Implementace kalkulu  Inferenční stroj pro TIL (TIL-Script)