Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 07 Skalární součin jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Definice skalárního součinu Příklady skalárních součinů Norma vektorů Ortogonální a ortonormální vektory Vektory ortogonální k podprostoru Ortogonální doplněk podprostoru

Definice skalárního součinu

Definice Vektorový prostor W nad tělesem reálných čísel budeme nazývat vektorovým prostorem se skalárním součinem právě tehdy, je-li definováno zobrazení, které každé dvojici vektorů (u,v)  WW přiřazuje reálné číslo u.v  R, přičemž platí: (u W) u.u  0  ( u.u = 0  u = 0) (u,v W) u.v = v.u (u,v,w W) u.(v+w) = (u.v) + (u.w) (u,v W)(a R) (a.u).v = a.(u.v)

Příklad skalárního součinu Pro vektorový prostor [ Rn; + ] uspořádaných n-tic reálných čísel můžeme definovat skalární součin vektorů takto: ( a1, a2, … , an ).( b1, b2, … , bn ) =D =D a1.b1 + a2.b2 + … + an .bn Příklad: (2; 3; 4).(-2; 0; -1) = 2.(-2) + 3.0 + 4.(-1) = -8 Vektorový prostor [ Rn; + ] je vektorovým prostorem se skalárním součinem (proč?).

Skalární součiny v dalších prostorech Pro vektorový prostor [ V; + ] fyzikálních vektorů se skalární součin vektorů a, b definuje takto: a.b =D a. b. cos  , kde a, b jsou velikosti obou vektorů a  je úhel, který oba vektory svírají. Abychom mohli zavést skalární součin pro vektorový prostor [ F; + ] reálných funkcí, museli bychom mít k dispozici pojem integrálu.

Norma vektoru

Norma vektoru Definice: Pro každý vektor u definujme jeho normu (velikost)u takto (je to nezáporné číslo):  u =D u.u Příklady: Vektor u, pro který platí, že u = 1, budeme nazývat jednotkovým vektorem.

Vlastnosti skalárního součtu a normy Lze dokázat tato tvrzení: (u W) 0.u = 0 (u W) u = 0  u = 0 (u W)(a R) a.u = a.u POZOR! a je absolutní hodnota čísla a

Ortogonalita vektorů

Ortogonalita vektorů Definice: Vektory u, v  W budeme nazývat ortogonální (kolmé) právě tehdy, když platí:  u.v = 0 Příklad: u = ( 2, 1) v = (-2, 4) u.v = 2.(-2) + 1.4 = 0

Definice Nechť je dán vektorový prostor se skalárním součinem nad tělesem reálných čísel a skupina jeho vektorů u1, u2, u3, …, uk . Tuto skupinu budeme nazývat ortogonální právě tehdy, když každé její dva různé vektory jsou ortogonální. Tuto skupinu budeme nazývat ortonormální právě tehdy, když každé její dva různé vektory jsou ortogonální a každý z vektorů je jednotkový.

Příklady Pro vektory u = (-1; 3), v = (6; 2) a w = (3; 1) platí: u.v = 0, u.w = 0, ale v.w = 20 . Tato skupina vektorů tedy není ortogonální. Pro vektory u = (0; 1), v = (1; 0) a w = (0; 0) platí: u.v = 0, u.w = 0, v.w = 0 . Tato skupina vektorů tedy je ortogonální, ale není ortonormální, protože zatímco vektory u a v jsou jednotkové, nulový vektor w má normu rovnu nule.

Ortonormální báze vektorových prostorů

Věta o ortonormálních vektorech Jestliže jsou vektory u1, u2, u3, …, uk ortonormální, pak jsou nezávislé. Důkaz: Nechť a1.u1 + a2.u2 + …+ ak.uk = 0 , potřebujeme dokázat, že všechny koeficienty ai jsou rovny nule. Zvolme libovolně index i a násobením vektorem ui získáme: (a1.u1 + a2.u2 + …+ ak.uk ).ui = 0.ui ai.(ui .ui ) = 0 Tím je důkaz proveden.

Ortonormální báze Když vektory u1, u2, u3, …, un generují vektorový prostor W a když jsou ortonormální, pak jsou podle předchozí věty nezávislými generátory prostoru W, a tvoří tedy jeho ortonormální bázi. Na druhé straně platí tato věta: Každý netriviální konečně generovaný prostor se skalárním součinem má alespoň jednu ortonormální bázi.

Ortogonální doplněk vektorového podprostoru

Vektor kolmý k podprostoru Definice: Nechť je dán vektorový prostor W nad tělesem reálných čísel se skalárním součinem a jeho podprostor V. Budeme říkat, že vektor w je ortogonální k prostoru V právě tehdy, když je ortogonální s každým vektorem z V, tedy když platí: (u V) u.w = 0 Věta: Jestliže je vektor w ortogonální ke všem generátorům prostoru V, pak je ortogonální i k celému podprostoru V. (Důkaz je jednoduchý.)

Ortogonální doplněk podprostoru Definice: Nechť je dán vektorový prostor W nad tělesem reálných čísel se skalárním součinem a jeho podprostor V. Množinu všech vektorů w, které jsou ortogonální k prostoru V, budeme nazývat ortogonálním doplňkem prostoru V, a označovat V. Ortogonální doplněk V prostoru V je také vektorový podprostor prostoru W. Má-li celý prostor W dimenzi n a podprostor V dimenzi k, pak podprostor V má dimenzi n – k .

Příklad Vektorový prostor R5 má dimenzi 5. Nechť je jeho podprostor V je generován vektory: (1; -1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0; 0), (0; 0; 0; 1; 2), má tedy dimenzi 3. Pro každý vektor (a; b; c; d; e) ortogonálního doplňku V platí, že: a – b = 0 , 2b + c = 0 , d + 2e = 0 , libovolný vektor V tedy má tvar (a; a; – 2a ; – 2e; e) . V je tedy generován například vektory (1; 1; -2; 0; 0) a (0; 0; 0; -2; 1) , a má tedy dimenzi 2.

Co je třeba znát a umět? Pojem skalárního součinu (příklady), pojem normy vektoru a její vlastnosti, pojem ortogonality dvou vektorů, pojem ortogonality a ortonormality skupiny vektorů, rozumět pojmu ortonormální báze vektorového prostoru a umět jí nalézt, umět pracovat s ortogonálním doplňkem vektorového podprostoru.

Děkuji za pozornost