Užití Thaletovy kružnice Konstrukce trojúhelníku (jedna strana a dvě výšky v zadání) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Výška trojúhelníku - kolmá vzdálenost strany a příslušného vrcholu Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. - kolmá vzdálenost strany a příslušného vrcholu - úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně Protože trojúhelník má tři vrcholy a k nim příslušné (protější) tři strany, má i tři výšky.

Výška trojúhelníku Bodům Pa, Pb a Pc říkáme pata výšky. Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Bodům Pa, Pb a Pc říkáme pata výšky. Výšky se protínají v jednom bodě V, v tzv. ortocentru. Výšky označujeme obvykle malým písmenem v s indexem názvu strany, ke které příslušná výška patří. Slovem výška označujeme v trojúhelníku jak úsečku, tak její délku.

Výšky v trojúhelníku ostroúhlém Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. K sestrojení výšky nám z pohledu konstrukčního, jak již bylo řečeno, pomáhá kolmice na stranu procházející příslušným vrcholem.

Výšky v trojúhelníku pravoúhlém Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. V případě pravoúhlého trojúhelníku jsou paty dvou výšek shodné s jedním z vrcholů, tedy i dvě výšky jsou shodné se dvěma stranami trojúhelníku!

Výšky v trojúhelníku tupoúhlém Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Pokud je trojúhelník tupoúhlý, nenáleží paty dvěma stranám samotným, ale přímkám, na nichž strany leží. Díky tomu i příslušné dvě výšky leží mimo trojúhelník, stejně jako ortocentrum.

Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Pravoúhlý trojúhelník je speciální typ trojúhelníku, tzn. rovinného geometrického útvaru sestávajícího ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů, z nichž jeden je pravý.

Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Všechny vrcholy pravoúhlého trojúhelníku leží na Thaletově kružnici. Thaletova kružnice je taková kružnice, která má střed uprostřed přepony pravoúhlého trojúhelníku a poloměr kružnice je roven polovině délky přepony.

Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Thaletova kružnice sestrojená nad přeponou trojúhelníku je tedy množinou všech bodů, které mohou být vrcholem pravoúhlého trojúhelníku s danou přeponou.

Pravoúhlý trojúhelník a jeho vlastnosti Zopakujeme si základní vlastnosti, které nám často pomohou při pozdějších konstrukcích. Thaletova kružnice sestrojená nad přeponou trojúhelníku je tedy množinou všech bodů, které mohou být vrcholem pravoúhlého trojúhelníku s danou přeponou.

Výška trojúhelníku a Thaletova kružnice - vzhledem ke své kolmosti k jedné ze stran trojúhelníku rozdělují výšky trojúhelník na dva trojúhelníky pravoúhlé! - při jejich konstrukci bychom mohli využít Thaletovu kružnici kTh kTh Sa Sc

Nyní již přikročíme ke konstrukci Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 5 cm a výška vb = 4,5 cm. Náčrt: Pb Pa . . va vb

Náčrt a rozbor: C c Pb Pa kTh 1) Začneme jako vždy zadanou stranou, v tomto případě stranou c. 2) Sestrojíme Thaletovu kružnici nad průměrem AB (množinu všech bodů, z nichž je vidět úsečka AB pod úhlem 90°, všech pat výšek příslušných ke stranám a a b). 3) Sestrojíme kružnice l a m, tzn. množiny všech bodů, které mají od bodu B vzdálenost 4,5 cm (odpovídá výšce vb = 4,5 cm) a od bodu A vzdálenost 5 cm (odpovídá výšce va = 5 cm). 4) V průsečících Thaletovy kružnice a kružnic l a m leží paty výšek Pa a Pb, přes které vedeme polopřímky z bodů A a B, jež se protnou v bodě C. m C l Sestrojíme střed přepony c, tj. střed Thaletovy kružnice. Poloměr je dán vzdáleností středu přepony od jejích krajních bodů, tj. AS = SB. Pb Pa o kTh S p c

Zápis a konstrukce: C c 1) AB; AB = c = 6 cm 4) l; l(B; vb = 4,5 cm) 7) Pa; Pa  kTh  m 2) S; S je střed AB 5) m; m(A; va = 5 cm) 8)  APb,  BPa 3) kTh; kTh(S; ½ AB = AS) 6) Pb; Pb  kTh  l 9) C; C  APb  BPa 10) Trojúhelník ABC m C l Pb Pa o kTh S p A c B

Výsledný trojúhelník Úloha má jedno řešení (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C). Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 5,5 cm a výška vb = 5,5 cm. Klikni pro ukázku řešení.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 5,5 cm a výška vb = 5,5 cm.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 5 cm a výška vb = 2 cm. Klikni pro ukázku řešení.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 5 cm a výška vb = 2 cm.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 3 cm a výška vb = 3 cm. Klikni pro ukázku řešení.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 3 cm a výška vb = 3 cm.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 6,5 cm a výška vb = 4 cm. Klikni pro ukázku řešení.

Pár příkladů k procvičení Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: |AB|= 6 cm; va = 6,5 cm a výška vb = 4 cm. Úloha nemá řešení. Neexistuje bod (pata kolmice, výšky), který má od bodu B vzdálenost rovnu velikosti výšky vb, ze kterého by byla vidět strana AB pod úhlem 90°.

Přeji Vám mnoho přesnosti při rýsování! Obrázek č. 1

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na <http://www.clker.com> Obrázek na pozadí: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html> Obrázek č. 1: <http://www.clker.com/clipart-drawing-a-circle.html> Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.