Filosofie a metodologie vědy Matematické modely: Problém reálného a virtuálního Zdeněk Kratochvíl

Jednoduchý příklad matematického modelu přírodního děje: Polední (maximální) výška Slunce nad obzorem v průběhu roku Jednoduchá sinusovka s minimem o zimním slunovratu a s průměrem o rovnodennostech. Stačí vědět datum rovnodenností nebo slunovratů, zeměpisnou šířku a sklon ekliptiky. Tady je to pro Mílétos, tedy pro 37,53 stupňů severní šířky a pro sklon ekliptiky v 6. století před n. l. (byl malinko větší než teď).

Polední (maximální) výška Slunce nad obzorem v průběhu roku Jednoduchá sinusovka: y = A0 + A1 . sin (t - ϕ) Průměr A0 je pravý úhel mínus zeměpisná šířka. Amplituda A1 je sklon ekliptiky (ε). Čas t vyjadřujeme v úhlové míře sinusovky tak, že rok = 2π radiánů. Fáze ϕ je daná rozdílem mezi jarní rovnodenností a začátkem roku.

Polední (maximální) výška Slunce nad obzorem v průběhu roku Jednoduchá sinusovka: y = A0 + A1 . sin (t - ϕ) Zanedbání eliptické dráhy Země vede k malé chybě, který by šla zesložitěním modelu napravit. Zanedbání precese nevadí; zanedbání nutace a ostatních Milankovičových parametrů (krom sklonu ekliptiky) je nicotné.

Polední (maximální) výška Slunce nad obzorem v průběhu roku Úplnější model počítá eliptickou dráhu Země kolem Slunce (přísluní 4. ledna) a její nerovnoměrný pohyb podle 2. Keplerova zákona. Projeví se to například tím, že léto (doba od jarního do podzimního slunovratu) je na severní polokouli o několik dní delší než zima. Zanedbání precese nevadí; zanedbání nutace a ostatních Milankovičových parametrů (krom změny sklonu ekliptiky) je nicotné.

Polední (maximální) výška Slunce nad obzorem v průběhu roku Jednoduchá sinusovka: y = A0 + A1 . sin (t - ϕ) Tento model je analytický! Navíc: Všechny jeho členy mají reálný fyzikální význam. Mohli bychom takhle dělat také regresi z měřených dat a tím zjistit délku roku, zeměpisnou šířku a sklon ekliptiky. Vylepšení modelu můžeme dělat buď složitě analyticky (počítat elipsu) – nebo jednodušeji, aproximací. Tedy s dobrým výsledkem, ale ne všechny jeho matematické členy by měly fyzikální význam. (Odpovídá to přístupu MATÉMATIKOS, ne FYSIKOS.) Například Fourierovým rozvojem: y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) + A3 . sin (3 . (t + ϕ3)) …

Jean Baptiste Joseph Fourier (21. března 1768 – 16. května 1830) Francouzský matematik a fyzik, který se nejvíce proslavil zkoumáním periodických řad a jejich aplikací. Na jeho počest byla jeho jménem nazvána Fourierova transformace. Taky objevitel skleníkového efektu (1824).

Fourierův rozvoj (Fourierova transformace) umožňuje modelovat jakoukoli periodickou změnu, stačí vzít v úvahu dostatečný počet členů: y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) + A3 . sin (3 . (t + ϕ3)) … Fyzikální význam má třeba v akustice při analýze tónu hudebního nástroje: A0 = 0 A1 = amplituda základního kmitočtu tónu t = převrácená hodnota základního kmitočtu (1 / t = f) A2, A3, … = amplitudy vyšších harmonických díky nimž se liší „barvy“ formálně stejných tónů různých nástrojů

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu: Víme, že teplota vzduchu závisí na příkonu energie ze Slunce. Tak zkusíme: y = A0 + A1 . sin (t) y = teplota vzduchu A0 = průměrná teplota vzduchu za den A1 = denní amplituda teploty (polovina rozkmitu mezi minimem a maximem) t = čas vyjádřený v úhlové míře sinusovky tak, že den = 2π radiánů.

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu Příkladem je jeden slunovratovým den na Slapské přehradě. Rozumně vyšlo: A0 = 19 A1 = 10 Jenže teplota vzduchu má za Sluncem zpoždění, takže zkusíme: y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) Maximální teplota je teď rozumně kolem 14 h skutečného času, Ale minimální je moc brzo, měla by být spíš při východu Slunce.

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu Takže zkusíme: y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) Model dostává rozumný průběh nočních teplot. Vadou zůstává symetrie nárůstu a poklesu teploty ve dne. Dopoledne by měl být rychlejší nárůst, odpoledne pomalý pokles.

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu Takže zkusíme: y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) + A3 . sin (3 . (t + ϕ3)) V praxi se tohle používá. (Na našich reálných datech to dává propad před ránem, to je buď „prolomením rosného bodu“ - nebo spíš tím, že jsem nechtěl fixlovat.)

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) + A3 . sin (3 . (t + ϕ3)) Proč se v praxi používají zrovna členy A0 až A3, ϕ1 až ϕ3 ? Vždyť zařazením dalších členů by se to zpřesnilo a výraz by zůstal analytický. Jenže, jaký by to mělo fyzikální význam? Co by to přinášelo pro pochopení meteorologických dějů?

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) + A3 . sin (3 . (t + ϕ3)) Fyzikální význam prvních členů Fourierova rozvoje: A0 = průměrná teplota vzduchu za den A1 = denní amplituda teploty (polovina rozkmitu mezi minimem a maximem) ϕ1 = průměrné zpoždění teploty za chodem Slunce Meteorologický význam dalších členů Fourierova rozvoje: A2, ϕ2 = spíš jenom matematický fígl, trochu popisuje vztah povrchu a atmosféry. A3, ϕ3 = asymetrie dopoledne a odpoledne popisuje tepelné kapacity povrchu a změny vodní páry v atmosféře. Na některých stanovištích je typický odpolední „pozitivní hrb“ také parametrem lokálních poměrů (svah, blízkost vodní hladiny), „negativní hrb“ zase někdy svědčí o pravidelné odpolední oblačnosti. Další členy by sice zdokonalily regresi („vyložily by“ větší procento variance), ale nepřispěly by k našemu poznání . Meteorologii neumíme převést na fyziku úplně. Podrobnější fourierovský popis by jenom předstíral, že víme něco, co nevíme, co je nutné zkoumat jinak.

Fourierovský model denního chodu teploty vzduchu y = A0 + A1 . sin (t + ϕ1) + A2 . sin (2. (t + ϕ2)) + A3 . sin (3 . (t + ϕ3)) Přísně vzato, jsou v tomto případě všechny členy rozvoje pouze virtuální, i když několik prvních má aproximativní fyzikální nebo aspoň meteorologický význam. Na rozdíl od analýzy hudebního tónu totiž žádné „vyšší harmonické“ teplotního průběhu reálně neexistují, jsou čistě virtuálními entitami. Můžeme si je ovšem zobrazit:

y = A2 . sin (2. (t + ϕ2)) y = A3 . sin (3 . (t + ϕ3))

Co se stane, když v elektrickém obvodu zapneme vypínač? Nakonec příklad, který ze zdánlivě pouze virtuálních průběhů vykutá realitu, dokonce užitečnou: Co se stane, když v elektrickém obvodu zapneme vypínač? (Předpokládejme stejnosměrný proud, spotřebič s konstantním odporem a dostatečně tvrdý zdroj.) Skočí proud z nuly na hodnotu danou ohmovým zákonem okamžitě? Vždyť příroda nemá ráda skoky, ba ani fyzika nezná bezčasové změny! Elektrický obvod – navíc idealizovaný – sice není dobrým příkladem přirozenosti, ale příroda se i tady ukáže jako mocná čarodějka.

Co se stane, když v elektrickém obvodu zapneme vypínač? Proud začne strmě narůstat, chtěl by po exponenciále, jak už to bývá zvykem u nestabilních (explozivních) dějů, podobně jako třeba při rozmnožování. Ale bakteriální kolonie nesežere celou planetu - a ani proud neroste do nekonečna. Ustálí se na hodnotě, kterou popisuje Ohm. Jak z toho prudkého růstu dojde ke stabilní hodnotě? Opět průběhem, který připomíná obrácenou exponenciálu. Obecně popisují změny stavu logistické křivky. Nejjednodušší z nich je sigmoida: je symetrická inflexní bod má uprostřed.

Sigmoida: Jednoduchý případ logistické funkce y = 1 / (1 + exp (-x))

Co se stane, když v elektrickém obvodu blikáme vypínačem? Pokud budeme vypínačem pravidelně blikat, můžeme tento periodický děj analyzovat fourierovým rozvojem. Budou mít vyšší harmonické reálný fyzikální význam, Nebo budou pouze a jen virtuální? Necháme se překvapit fourierovskou analýzou teoreticky obdélníkového průběhu proudu v závislosti na čase. (Kdo už myslí na klasický bzučák, Wagnerovo kladívko, nebo na membránový převodník stejnosměrného proudu na střídavý, dělá dobře.)

Co se děje, když v elektrickém obvodu blikáme vypínačem? Body označují teoretický průběh, při podmínkách skoro ideálních by to mohly být i skutečně měřené hodnoty. Zkusíme to proložit průměrem a základním kmitočtem blikání, tedy 1. harmonickou.

Co se děje, když v elektrickém obvodu blikáme vypínačem? Teorie i praxe v tomto případě radí přidávat liché harmonické kmitočty. Takže přidáme 3. harmonickou:

Co se děje, když v elektrickém obvodu blikáme vypínačem? Teď jsme potrápili fourierovskou regresi až do 5. harmonické frekvence. Je to lepší, ale k úplné technické dokonalosti (třeba pro kybernetické klopné obvody) je dobré vzít v úvahu ještě až 15. harmonickou frekvenci.

Co se děje, když v elektrickém obvodu blikáme vypínačem? Jsou ty sinusové průběhy při cvakání vypínačem reálné? A taky ty vyšší harmonické? Do kolikáté až? To při sepnutí vypínačem vybudím i gigahertzové kmitočty? Ano, ano, do mocté (i když se zmenšující se amplitudou), ano. Dokladem je například to, že do obvodu můžu zařadit kondenzátor a proud dál teče, pokud ovšem cvakám vypínačem dost rychle a pokud je kondenzátor dost velký. Odstraní totiž jenom stejnosměrnou složku (člen A0) a může omezovat nižší harmonické. Smutným dokladem je i potřeba přenášet mnohem vyšší kmitočty než je frekvence spínání.

Co se děje, když v elektrickém obvodu blikáme vypínačem? Samotné 3. a 5. harmonická:

Závěrečná naučení: Příroda se chová docela rozumně, leč většinou složitě a někdy překvapivě. Kvůli poznávání z ní vydělujeme jednoduché situace, které jsou rozumné. Ne vždy si jsme jistí, která rozumnost je reálná a která jen virtuální. Reálné rozumné poznatky nemusí jednotlivý případ vystihovat úplně. V biologii asi potkáte záludnější projevy přírody než v elektrotechnice, ba i než v meteorologii.