Riziko zbytečného signálu v regulačním diagramu

Stabilní proces Ve výrobě je nutné používat regulační diagramy k tomu, aby se zjistilo působení vymezitelných (nenáhodných) příčin v procesu. Jejich případným odstraněním se sníží variabilita procesu na nejmenší možnou míru. Tou nejmenší možnou mírou rozumíme stav, kdy na proces působí pouze náhodné příčiny. Takový proces se pak nazývá stabilním procesem, protože je reprodukovatelný, a kolísání jeho výstupů je předvídatelné.  

Typy Shewhartových diagramů Spojitá náhodná proměnná Diagram , R Diagram , s Diagram I, MR Diskrétní náhodná proměnná Diagram p Diagram np Diagram c Diagram u

Regulační meze Regulační meze UCL, LCL se vypočtou tak, aby byly od celkové průměrné hodnoty vzdáleny o ks Většinou se volí k=3 V tomto případě pravděpodobnost, že bod bude uvnitř regulačních mezí je p=0,9973 Pravděpodobnost bodu mimo regulační meze je a=0,0027

Předpoklady Normální rozdělení hodnot Nekorelované naměřené hodnoty Hodnoty v jedné podskupině rozsahu n>1, z níž se určuje , tvoří logickou podskupinu Regulační meze se vypočtou alespoň z k>25 podskupin

Metoda Monte Carlo Bylo vygenerováno N=20 000 n-členných podskupin s normálním rozdělením Rozsahy podskupin byly n=1,3,5,10 V každém tomto výběru se určily regulační meze UCL, LCL z postupně k=10 až 1000 podskupin Vždy se zjistil počet bodů mimo regulační meze Tento postup se opakoval 300 krát

Vztah ARL a rizika a Pravděpodobnost a je chyba I. druhu a představuje vlastně riziko zbytečného signálu Sledovat hodnotu rizika a lze pomocí hodnoty průměrného počtu bodů v regulačním diagramu, kdy narazíme na bod, jenž je mimo regulační meze. Tato hodnota se označuje ARL (Average Run Length). Jestliže pozorované hodnoty procesu jsou nekorelované, pak platí jednoduchý vztah pro teoretickou hodnotu

Geometrické rozdělení Náhodná proměnná x=RL, tj. počet bodů (podskupin) za sebou ležících uvnitř regulačních mezí v regulačním diagramu, má geometrické rozdělení s monotónně klesající pravděpodobnostní funkcí a parametrem p=a. Směrodatná odchylka s tohoto rozdělení je pro malé hodnoty pravděpodobnosti p přibližně rovna střední hodnotě m :

Interval spolehlivosti pro ARL Náhodná veličina RL má směrodatnou odchylku i střední hodnotu přibližně 370, a proto průměrná hodnota veličiny RL z 20 000 podskupin má směrodatnou odchylku přibližně (jestliže a=0,0027) . Průměrné hodnoty ze 300 veličin již vykazují normální rozdělení, takže 95%-ní interval spolehlivosti pro ARL je přibližně (za předpokladu a=0,0027, tzn. pro vysoké hodnoty k)

Je skutečně a konstantní? Známá odpověď: Není Hodnota a se mění s hodnotou n, tzn. rozsahem podskupiny Hodnota a se mění s hodnotou k, tzn. s počtem podskupin, z nichž se určí meze Hodnota a se mění podle toho, zda se se zajímáme o , a to ještě rozdílně pro jeden či druhý diagram Ale jak ?

Nelineární model pro a Všechny tyto závislosti se dají popsat jediným modelem: Regresní koeficienty se liší nejen podle hodnoty n, ale i podle toho, zda se jedná o z regulačního diagramu ( , R) či (I, MR) Koeficient b4 je asymptotická hodnota pro a

Tabulka regresních koeficientů x MR R 9869,5 1248,0 24,7193 10,3328 -300,477 -43,1886 99,4633 72,2512 0,5114 1,2410 15,5615 7,9983 74,3558 19,3510 8,7226 19,0101 4,5089 3,5810 1,2382 1,0620 1,6683 0,8989 1,1647 1,0792 -0,3359 -0,3658 -0,9131 -1,0374 -0,6967 -1,1164 -1,1501 -1,0379 0,00274 0,0098 0,00270 0,0058 0,0046 0,0043

Riziko a pro rozpětí k a 0,0027 n=1 n=3

Detail a k 0,0027 n=1 n=3 n=5 n=10

Riziko a k 0,0027 a n=1

Detail a k 0,0027 n=1 n=3