Matematická analýza Lineární algebra Diferenciální rovnice Matematika I RNDr. Marie Polcerová, Ph.D. Matematická analýza Lineární algebra Diferenciální rovnice

Informace www.fch.vutbr.cz/~polcerova www.vutbr.cz/elearning Studijní a zkušební řád Vysokého učení technického v Brně Směrnice fakulty upravující ustanovení studijního a zkušebního řádu Vysokého učení technického v Brně

Organizace výuky v kombinované formě studia Konzultace Organizační záležitosti Test Výklad s procvičováním Domácí příprava E-mail: polcerova@fch.vutbr.cz

Základy analytické geometrie Přímka v rovině Přímka v prostoru Rovina

Přímka v rovině Parametrické rovnice přímky Obecná rovnice přímky Směrnicová rovnice přímky Úseková rovnice přímky Normálová rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky p: X = A + t u, kde t  R A…souřadnice libovolného bodu přímky p t… libovolné reálné číslo (parametr) u…směrový vektor přímky p Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte parametrické rovnice přímky p = AB. Řešení: Směrový vektor přímky p: u = B – A = (1 – 3; 4 – 5) = (–2; –1). Dosazení do symbolického vyjádření: p: x = 3 – 2t y = 5 – t, kde t  R. Význam parametru t: úsečka polopřímka střed těžiště atd.

Obecná rovnice přímky p: ax + by + c = 0, kde a, b, c  R přičemž a a b nejsou zároveň rovny nule Metody výpočtu: Pomocí normálového vektoru Vyloučením parametru Přímo z rovnice

Obecná rovnice přímky Výpočet pomocí normálového vektoru Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte obecnou rovnici přímky p = AB. Řešení: Směrový vektor přímky p: u = B – A = (1 – 3; 4 – 5) = (–2; –1). Normálový vektor n přímky p je kolmý na směrový vektor u, zaměníme pořadí souřadnic a u jedné změníme znaménko  n = (1; –2)  a = 1, b = –2  1x – 2y + c = 0 dosadíme bod A (nebo B) a dostáváme: 13 – 25 + c = 0  3 – 10 + c = 0  –7 + c = 0  c = 7. Obecná rovnice přímky p = AB je x – 2y + 7 = 0 Poznámka: V obecné rovnici se nemění pořadí členů, pokud je a nenulové, tak je vždy kladné a pokud možno celočíselné. Pokud je nulové, tak je kladné a pokud možno celočíselné b.

Obecná rovnice přímky Výpočet vyloučením parametru Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte obecnou rovnici přímky p = AB. Řešení: Směrový vektor přímky p: u = B – A = (1 – 3; 4 – 5) = (–2; –1). Parametrické vyjádření přímky p = AB je: p: x = 3 – 2t y = 5 – t, kde t  R. Vynásobíme druhou rovnici (–2) a obě rovnice sečteme: x = 3 – 2t –2y = –10 + 2t x – 2y = –7  x – 2y + 7 = 0. Obecná rovnice přímky p = AB je x – 2y + 7 = 0

Obecná rovnice přímky Výpočet přímo z rovnice Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte obecnou rovnici přímky p = AB. Řešení: Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0. Dosadíme zadané body A, B: 3a + 5b + c = 0 a + 4b + c = 0 protože přímka neprochází počátkem, tak volíme c = 1 a řešíme: 3a + 5b + 1 = 0 a + 4b + 1 = 0 druhou rovnici vynásobíme (–3) a sečteme

Obecná rovnice přímky Výpočet přímo z rovnice Pokračování řešení: 3a + 5b + 1 = 0 –3a – 12b – 3 = 0 –7b – 2 = 0  b = –2/7 dosadíme do první rovnice a vypočítáme a: 3a – 10/7 + 1 = 0  3a = 3/7  a = 1/7 1/7 x – 2/7 y + 1 = 0 vynásobíme 7: x – 2y + 7 = 0. Obecná rovnice přímky p = AB je x – 2y + 7 = 0. K zamyšlení: Kdy nelze zvolit c = 1?

Směrnicová rovnice přímky p: y = kx + q, kde k, q R k = tan α je tzv. směrnice přímky, kde α je úhel, který svírá přímka p s kladnou poloosou x q… úsek, který vytíná přímka p na ose y, tzv. posunutí Poznámka: Význam k (kladné, záporné, nulové), význam q (kladné, záporné, nulové), význam k = q = 0, použití a význam v praxi. Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte směrnicovou rovnici přímky p = AB.

Směrnicová rovnice přímky Řešení: Pomocí obecné rovnice přímky Přímo z rovnice a) Nalezneme nejprve obecnou rovnici přímky p = AB: p: x – 2y + 7 = 0 a vyjádříte y tedy: 2y = x + 7  y = 1/2 x + 7/2 b) Dosadíme body A, B a dostáváme soustavu rovnic: 5 = 3k + q 4 = k + q druhou rovnici odečteme od první a dostáváme: 1 = 2k  k = 1/2 dosadíme do druhé rovnice: 4 = 1/2 + q  q = 7/2 Směrnicová rovnice přímky p je y = 1/2 x + 7/2.

Úseková rovnice přímky p: x/p + y/q = 1, kde p, q  R a p  0; q  0 p …úsek, který vytíná přímka na ose x q… úsek, který vytíná přímka na ose y Poznámka: Význam p (kladné, záporné), význam q (kladné, záporné), použití a význam v praxi. Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte úsekovou rovnici přímky p = AB.

Úseková rovnice přímky Řešení: Pomocí obecné rovnice přímky Přímo z rovnice a) Nalezneme nejprve obecnou rovnici přímky p = AB: p: x – 2y + 7 = 0 a upravíme na požadovaný tvar: x – 2y = –7  –x/7 + 2y/7 = 1  –x/7 +y/(7/2) = 1 b) Dosadíme body A, B a dostáváme soustavu rovnic: 3/p + 5/q = 1  3q +5p = pq 1/p + 4/q = 1  q +4p = pq druhou rovnici odečteme od první a dostáváme: 2q + p =0  p = –2q dosadíme do druhé rovnice: q – 8q = –2qq  q (2q – 7) = 0  q = 7/2; q = –7 Úseková rovnice přímky p je –x/7 +y/(7/2) = 1.

Normálová rovnice přímky p: a0x + b0y + c0 = 0, kde (a0, b0) je jednotkový normálový vektor přímky p Příklad: Přímka je zadána body A = (3; 5) a B = (1; 4). Nalezněte normálovou rovnici přímky p = AB. Řešení: Nalezneme nejprve obecnou rovnici přímky p = AB: p: x – 2y + 7 = 0 nalezneme velikost normálového vektoru: |n| = (12 + (–2)2) = 5 a celou rovnici touto velikostí podělíme x /5 – 2y/5 +7/5 = 0 Normálová rovnice přímky je x /5 – 2y/5 +7/5 = 0.

Přímka v prostoru Parametrické rovnice přímky Jako průsečnice dvou rovin Kanonická rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky p: X = A + t u, kde t  R A…souřadnice libovolného bodu přímky p t… libovolné reálné číslo (parametr) u…směrový vektor přímky p Příklad: Přímka je zadána body A = (1; 3; 5) a B = (3; 2; 7). Nalezněte parametrické rovnice přímky p = AB. Řešení: Směrový vektor přímky p: u = B – A = (3 – 1; 2 – 3; 7 – 5) = (2; –1; 2). Dosazení do symbolického vyjádření: p: x = 1 + 2t y = 3 – t z = 5 + 2t, kde t  R. Význam parametru t: úsečka polopřímka střed těžiště atd.

Jako průsečnice dvou rovin p: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0, kde a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2  R a a1, b1, c1 nejsou zároveň rovny nule a a2, b2, c2 nejsou zároveň rovny nule Příklad: Přímka p je dána jako průsečnice těchto dvou rovin: x + 2y + 3z + 1 = 0 2x – y + z + 2 = 0 nalezněte parametrické rovnice této přímky.

Jako průsečnice dvou rovin Řešení: Pro volbu z = 1 dostáváme soustavu rovnic: x + 2y + 3 + 1 = 0 2x – y + 1 + 2 = 0 druhou rovnici vynásobíme dvěma: x + 2y + 4 = 0 4x – 2y + 6 = 0 rovnice sečteme: 5x + 10 = 0  x = –2; dosazením do první rovnice –2 + 2y + 4 = 0  2y = –2  y = –1 Jeden bod průsečnice P = (–2; –1; 1). Analogicky volíme x = 0 a postupně dostáváme: 2y + 3z + 1 = 0 –y + z + 2 = 0 /2 5z + 5 = 0  z = –1; y = 1 Druhý bod průsečnice R = (0; 1; –1).

Jako průsečnice dvou rovin Pokračování řešení: Přímka p je určena dvěma různými body P, R. Její směrový vektor u = R – P = (2; 2; –2)  použijeme vektor (1; 1; –1) a dostáváme parametrické rovnice hledané průsečnice: p: x = –2 + t y = –1 + t z = 1 – t, kde t  R. K zamyšlení: Lze vždy směrový vektor „zkrátit“? Poznámka: Jednodušší způsob nalezení průsečnice si ukážeme až po zavedení vektorového součinu.

Kanonická rovnice přímky p: (x – a1)/u1 = (x – a2)/u2 = (x – a3)/u3 A = (a1; a2; a3)…souřadnice libovolného bodu A přímky p u = (u1; u2; u3)…směrový vektor přímky p Příklad: Přímka je zadána svou kanonickou rovnicí: p: (x + 7)/(–2) = (7 – y)/(–3) = (–8 – z)/4 Nalezněte parametrické rovnice této přímky p. Řešení: t = (x + 7)/(–2)  –2t = x + 7  x = –7 – 2t t = (7 – y)/(–3)  –3t = 7 – y  y = 7 + 3t t = (–8 – z)/4  4t = –8 – z  z = –8 – 4t Parametrické rovnice přímky p: x = –7 – 2t y = 7 + 3t z = –8 – 4t, kde t  R.

Rovina Parametrické rovnice roviny Obecná rovnice roviny

Parametrické rovnice roviny  : X = A + t u + s v kde t, s  R A…souřadnice libovolného bodu roviny  t, s… libovolná reálná čísla (parametry) u, v…dva lineárně nezávislé vektory ležící v rovině  Příklad: Rovina  je určena třemi různými nekolineárními body A, B, C, kde A = (1; 2; 3), B = (2; –1; 2) a C = (3; 2; –1). Nalezněte parametrické rovnice roviny  = ABC. Řešení: Jeden vektor ležící v rovině : u = B – A = (2 – 1; –1 – 2; 2 – 3) = (1; –3; –1). Druhý vektor ležící v rovině : v = C – A = (3 – 1; 2 – 2; –1 – 3) = (2; 0; –4). Dosazení do symbolického vyjádření:  : x = 1 + t + 2s y = 2 – 3t z = 3 – t – 4s, kde t, s  R. K zamyšlení: Lze dosadit bod B resp. C? Lze použít místo vektoru v vektor (1; 0; –2)?

Obecná rovnice roviny p: ax + by + cz + d = 0, kde a, b, c, d  R přičemž a, b a c nejsou zároveň rovny nule Metody výpočtu: Pomocí normálového vektoru Vyloučením parametrů Přímo z rovnice

Obecná rovnice roviny Výpočet pomocí normálového vektoru Tento výpočet si doplníte až po zavedení vektorového součinu

Obecná rovnice roviny Výpočet vyloučením parametrů Příklad: Rovina  je určena třemi různými nekolineárními body A, B, C, kde A = (1; 2; 3), B = (2; –1; 2) a C = (3; 2; –1). Nalezněte obecnou rovnici roviny  = ABC. Řešení: Nejprve nalezneme parametrické rovnice roviny  :  : x = 1 + t + 2s y = 2 – 3t z = 3 – t – 4s, kde t, s  R. Nyní první rovnici vynásobíme dvěma a sečteme se třetí rovnicí: 2x + z = 5 + t y = 2 – 3t první rovnici vynásobíme třemi a sečteme s druhou: 6x + y + 3z = 17  6x + y + 3z – 17 = 0. Obecná rovnice roviny  : 6x + y + 3z – 17 = 0. Poznámka: Pravidla pro psaní obecné rovnice roviny jsou analogická pravidlům pro psaní obecné rovnice přímky v rovině.

Obecná rovnice roviny Výpočet přímo z rovnice Příklad: Rovina  je určena třemi různými nekolineárními body A, B, C, kde A = (1; 2; 3), B = (2; –1; 2) a C = (3; 2; –1). Nalezněte obecnou rovnici roviny  = ABC. Řešení: Postupně dosadíme zadané body A, B, C a dostáváme soustavu rovnic: a + 2b + 3c + d = 0 2a – b + 2c + d = 0 3a + 2b – c + d = 0 protože rovina neprochází počátkem, tak volíme d = 1 a dostáváme: a + 2b + 3c + 1 = 0 2a – b + 2c + 1 = 0 3a + 2b – c + 1 = 0 z první rovnice vyjádříme a = –2b – 3c – 1 a dosadíme do zbývajících dvou rovnic: –4b – 6c – 2 – b + 2c + 1 =0 –6b – 9c – 3 + 2b – c + 1 = 0 a po úpravě dostáváme:

Obecná rovnice roviny Výpočet přímo z rovnice Pokračování řešení: –5b – 4c – 1 = 0 –4b – 10c – 2 = 0 první rovnici vynásobíme 4 a druhou (–5): –20b – 16c – 4 = 0 20b + 50c +10 = 0 po sečtení dostáváme: 34c = –6  c = –6/34 = –3/17 jestliže první rovnici vynásobíme 5 a druhou (–2), tak dostáváme: –25b – 20c – 5 = 0 8b + 20c + 4 = 0 po sečtení: –17b = 1  b = –1/17 a dosazením do a = –2b – 3c – 1 dostáváme: a = 2/17 +9/17 – 1 = –6/17  –6/17x – 1/17y –3/17z + 1 = 0  po vynásobení (–17), že obecná rovnice roviny : 6x + y + 3z – 17 = 0.

Obecná rovnice roviny Procvičování: Nalezněte obecnou rovnici roviny, jestliže je rovina zadána: Jinými třemi různými nekolineárními body Dvěma různoběžkami Dvěma různými rovnoběžkami Přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Přitom kombinujte různá zadání přímek: Dvěma různými body Směrnicovou rovnicí Jako průsečnice dvou rovin Kanonickou rovnicí.

Domácí úloha Zvolíte si v rovině souřadnice tří různých nekolineárních bodů A, B, C a nalezněte: 1. Obecnou rovnici strany a trojúhelníka ABC a její velikost 2. Obecnou rovnici těžnice ta trojúhelníka ABC 3. Obecnou rovnici výšky va trojúhelníka ABC 4. Obecnou rovnici osy strany c trojúhelníka ABC 5. Obecnou rovnici střední příčky trojúhelníka ABC, která je rovnoběžná se stranou a 6. Souřadnice středu kružnice opsané trojúhelníku ABC 7. Obecnou rovnici osy úhlu α v trojúhelníku ABC 8. Souřadnice paty P výšky va (výška na stranu a) v trojúhelníku ABC 9. Souřadnice těžiště trojúhelníka ABC 10. Velikost úhlu α v trojúhelníku ABC ve stupních minutách a vteřinách. Úlohu odevzdejte elektronicky (Word 2003 nebo .pdf, NE Word 2007) na e-learningu, nebo e-mailem nejpozději do 12. 10. 2013 do 23:55 hodin.