* 16. 7. 1996 Podobnost Matematika – 9. ročník *

Podobnost Co je to podobnost v matematice

Podobnost Kde se setkáme s matematickou podobností Co to znamená, že je něco podobné? Kde se setkáváme s podobností? Zeměpis – Měřítko mapy Konstrukce – Technické výkresy Fotografování – Zvětšování (zmenšování) fotografií Stavební práce – Plány stavby

Podobnost Matematická podobnost Který z obdélníků je podobný obdélníku ABCD? Proč? D´ C´ ANO 6 cm D C 2× 3 cm A´ 2× 12 cm B´ D´´ C´´ A B 𝟒 𝟑 × 6 cm 4 cm 𝟑 𝟐 × NE A´´ 9 cm B´´

Podobnost Matematická podobnost ANO 6 cm 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 =𝟔 :𝟑=𝟐 D C 3 cm A´ B´ 12 cm A B 6 cm 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 =𝟏𝟐 :𝟔=𝟐 Podobné jsou takové útvary, které mají stejný poměr vzdáleností odpovídajících si bodů. obraz : vzor 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ : 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ : 𝑩𝑫 = …

Podobnost Poměr podobnosti C´ ANO 6 cm 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 =𝟔 :𝟑=𝟐 D C 3 cm A´ B´ 12 cm 𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 =𝟏𝟐 :𝟔=𝟐 A B 6 cm Tento poměr lze vyjádřit číslem 𝒌= 𝑨´𝑩´ 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ 𝑩𝑫 = …; číslo k (k > 0) nazýváme poměr (koeficient) podobnosti.

Podobnost Poměr podobnosti C´ D C 𝑂 1 3 cm 𝑂 2 6 cm A 6 cm B A´ B´ 12 cm Obdélníky ABCD a A´B´C´D´ jsou podobné. Poměr podobnosti těchto obdélníků k = 2 Podobnost zapisujeme: 𝑶 𝟏 ~ 𝑶 𝟐 . V jakém poměru jsou velikosti vnitřních úhlů toho obdélníka? Podobné útvary mají shodné odpovídající si úhly.

Podobnost Poměr podobnosti C´ D C 3 cm 6 cm A 6 cm B D´´ C´´ 1,5 cm A´ B´ 12 cm A´´ 3 cm B´´ Určete poměr podobnosti obdélníků ABCD a A´B´C´D´ a poměr podobnosti obdélníků ABCD a A´´B´´C´´D´´. 𝑘= 𝐴´𝐵´ 𝐴𝐵 = 12 6 =2 𝑘= 𝐵´𝐶´ 𝐵𝐶 = 6 3 =2 𝑘= 𝐴´´𝐵´´ 𝐴𝐵 = 3 6 = 1 2 𝑘= 𝐵´´𝐶´´ 𝐵𝐶 = 1,5 3 = 1 2

Podobnost Poměr podobnosti C´ D C k > 1 3 cm 6 cm zvětšení délek A 6 cm B D C A´ 12 cm B´ D´´ C´´ k < 1 3 cm 1,5 cm zmenšení délek A´´ 3 cm B´´ A 6 cm B D C D´´´ C´´´ k = 1 3 cm zachování délek A 6 cm B (shodnost) A´´´ B´´´

Podobnost Příklad č. 1 𝒌= 𝑷𝑸 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎 𝟖 =𝟏,𝟐𝟓 𝒌= 𝑸𝑹 𝑩𝑪 = 𝟕,𝟓 𝟔 =𝟏,𝟐𝟓 1) Určete, zda jsou obdélníky ABCD ( 𝑨𝑩 =𝟖 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 =𝟔 𝒄𝒎) a PQRS ( 𝑷𝑸 =𝟏𝟎 𝒄𝒎, 𝑸𝑹 =𝟕,𝟓 𝒄𝒎) podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti. 𝒌= 𝑷𝑸 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎 𝟖 =𝟏,𝟐𝟓 𝒌= 𝑸𝑹 𝑩𝑪 = 𝟕,𝟓 𝟔 =𝟏,𝟐𝟓 ABCD ~ PQRS k = 1,25

Podobnost Příklad č. 2 𝒌= 𝑴𝑵 𝑨𝑩 = 𝟗 𝟏𝟐 =𝟎,𝟕𝟓 𝑵𝑶 =𝒌· 𝑩𝑪 =𝟎,𝟕𝟓·𝟖=𝟔 2) Dva obdélníky ABCD a MNOP jsou podobné a platí 𝑨𝑩 =𝟏𝟐 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 =𝟖 𝒄𝒎 𝐚 𝑴𝑵 =𝟗 𝒄𝒎. Vypočtěte délku úsečky NO, a určete poměr podobnosti. 𝒌= 𝑴𝑵 𝑨𝑩 = 𝟗 𝟏𝟐 =𝟎,𝟕𝟓 𝑵𝑶 =𝒌· 𝑩𝑪 =𝟎,𝟕𝟓·𝟖=𝟔 Délka úsečky NO je 6 cm. Poměr podobnosti k = 0,75

Podobnost Příklad č. 3 𝑬𝑭 =𝒌· 𝑨𝑩 =𝟔·𝟔,𝟓=𝟑𝟗 𝑭𝑮 =𝒌· 𝑩𝑪 =𝟔·𝟒,𝟓=𝟐𝟕 3) Obdélník ABCD má rozměry 𝑨𝑩 =𝟔,𝟓 𝒄𝒎 𝒂 𝑩𝑪 =𝟒,𝟓 𝒄𝒎. Vypočtěte rozměry obdélníku EFGH víte-li, že je s obdélníkem ABCD podobný a poměr podobnosti k = 6. Vypočítejte poměr obsahů těchto obdélníků. 𝑬𝑭 =𝒌· 𝑨𝑩 =𝟔·𝟔,𝟓=𝟑𝟗 𝑭𝑮 =𝒌· 𝑩𝑪 =𝟔·𝟒,𝟓=𝟐𝟕 𝑺 𝟏 = 𝑨𝑩 · 𝑩𝑪 =𝟔,𝟓·𝟒,𝟓=𝟐𝟗,𝟐𝟓 𝒌´= 𝑺 𝟐 𝑺 𝟏 = 𝟏 𝟎𝟓𝟑 𝟐𝟗,𝟐𝟓 =𝟑𝟔 𝑺 𝟐 = 𝑬𝑭 · 𝑭𝑮 =𝟑𝟗·𝟐𝟕=𝟏 𝟎𝟓𝟑 Délky stran obdélníku EFGH jsou: 𝑬𝑭 =𝟑𝟗 𝒄𝒎, 𝑭𝑮 =𝟐𝟕 𝒄𝒎. Poměr obsahů obdélníků k´= 36. 𝒌´= 𝒌 𝟐

* 16. 7. 1996 Zdroje: http://www.infobarrel.com/Top_Ten_Things_You_Should_Never_Say_to_Parents_of_Twins *