Analýza signálů - cvičení Reprezentace delta funkce Integrální transformace Okénka Spojitá waveletová transformace - úvod

Reprezentace delta funkce 1. Obdélník pro x z intervalu jinde 2. Lorentz 3. Gauss 4. Dirichlet

Fourierova transformace Je třeba rozlišovat Fourierovu transformaci diskrétního signálu DTFT (používá se pro obecný popis algoritmů a signálů ve frekvenční oblasti) a diskrétní Fourierovu transformaci DFT(používá se pro konkrétní výpočet na počítači) kde  je normovaná frekvence a k je diskrétní normovaná frekvence

Rychlá Fourierova transformace (FFT) DFT diskrétní posloupnosti x můžeme zapsat kde Gk a Hk jsou DFT posloupností sudých resp. lichých členů původní posloupnosti (poloviční délky). Protože předpokládáme, že počet členů původní posloupnosti je mocnina dvou, můžeme DFT těchto posloupností vypočítat stejným způsobem (rozštěpením na sudé a liché členy), atd. Tak se po m = log2N krocích dostaneme k posloupnostem délky 2.

Rychlá Fourierova transformace (FFT) V praxi se ukazuje, že optimální je přeskupit členy vstupní posloupnosti x tak, že namísto prvku s indexem i napíšeme prvek s indexem, který získáme zápisem i pozpátku ve dvojkové soustavě. Potom v prvním kroku výpočtu FFT bereme sousední členy přeskupené poslopnosti (k = 0), ve druhém kroku prvky transformované posloupnosti ležící ob jeden prvek (k = 0, resp. k = 2m-2, ve třetím prvky mezi nimiž leží 3 jiné (k = 0, k = 2m-3, k = 2.2m-3, 3.2m-3, atd. Přitom každý prvek posloupnosti v daném kroku beru pouze jednou.

Časová náročnost FFT Pro výpočet FT z definice potřebuji N (počítám N bodů výstupní posloupnosti) krát (2N - 1) (N násobení konstantou + N - 1 sčítání v sumě) operací násobení a sčítání. Časová náročnost výpočtu je tedy úměrná N2. Výpočet FT algoritmem FFT probíhá v m = log2N krocích, v každém kroku děláme N násobení konstantou a N/2 sčítání. Celkem tedy 3/2.N. log2N operací sčítání a násobení. Časová náročnost algoritmu FFT je úměrná pouze N.log2N.

Spektrum signálu Spektrum diskrétního signálu je určeno jeho Fourierovou transformací a je obecně komplexní je komplexní spektrum je amplitudové spektrum je fázové spektrum, Diskretizací normované frekvence a přechodem k DFT dostáváme

Spektrum signálu Kromě amplitudového a fázového spektra používáme spektrum energetické a výkonové - periodogramy Spektrum je periodické s periodou 2 - normovaný frekvenční rozsah (- ,  . Diskrétní spektrum má periodu N - buď udáváme v intervalu -N/2+1, N/2, nebo (častěji) 0, N-1. Pro reálné signály je spektrum symetrické kolem 0 (resp. N/2) a stačí ho proto uvádět jen v intervalu 0, N/2. Tomuto intervalu odpovídá rozsah skutečných frekvencí 0, fs/2 = 0, fn, kde fs je vzorkovací frekvence původního signálu a fn je Nyquistova frekvence.

Spektrální výkonová hustota Neboli PSD je to co nás obvykle nejvíc zajímá při analýze náhodného signálu (např. výsledek měření). Můžeme ji definovat např. jako Fourierovu transformaci autokorelační funkce, spočteme ji průměrováním periodogramů (výkonových). pro k=0, …, N-1, kde l = 1, …, L jsou různé realizace náhodného signálu.

Výkonové spektrum x spektrální výkonová hustota Definováno pomocí Fourierovy transformace Má smysl pro všechny funkce (zadané analyticky i náhodné posloupnosti), pro které existuje Fourierova transformace Spektrální výkonová hustota Lze definovat bez použití Fourierovy transformace Uvažujeme jen pro náhodné funkce (přesněji realizace náhodného procesu), což jsou např. výsledky měření.

Spektra - jednotky na ose x Spektrum je obecně periodické s periodou 2. Proto je zvykem ho uvádět pouze v normovaném frekvenčním rozsahu (- ,  (nebo (0, 2) . Diskrétní spektrum má periodu N - buď udáváme v intervalu -N/2+1, N/2, nebo (častěji) 0, N-1. Pro reálné (diskrétní) signály je spektrum symetrické kolem 0 (resp. N/2) a stačí ho proto uvádět jen v intervalu 0, N/2. Nejlepší je na ose x uvádět skutečné frekvence. Platí pro k = 0, …, N - 1. Intervalu 0, N/2 odpovídá rozsah skutečných frekvencí 0, fs/2 = 0, fn, kde fs je vzorkovací frekvence původního signálu a fn je tzv. Nyquistova frekvence.

Spektra - jednotky na ose y Kvůli velké dynamice amplitudových a výkonových spekter je většinou vynášíme ve formě logaritmu původních hodnot. Jednotkou je decibel [dB]. Používají se decibely dvojího druhu: „amplitudové“ decibely dB = 20 log10 A „výkonové“ decibely dB = 10 log10 P Aby byla spektra signálů navzájem srovnatelná je třeba vstupní signály normovat. Např. elektrický signál můžeme normovat tak, aby byla jeho RMS = 1V. Decibely potom značíme dBV. -3 dB znamená pokles amplitudy na 0.707 původní hodnoty, resp. výkon klesne na 0.5 původní hodnoty.

Z transformace Z transformace je důležitá v teorii numerických filtrů. Spojitá Laplaceova transformace se používá k řešení diferenciálních rovnic.

Hilbertova transformace Hilbertova transformace počítá komplexní obálku signálu.

Signálová okénka Obdélník pro n = 0, …, N - 1 pro |n|  N/2 Trojúhelník pro n = 0, …, N/2 - 1 pro n = N/2, …, N - 1 Hamming pro n = 0, …, N - 1

Signálová okénka Hann pro n = 0, …, N - 1 pro |n|  N/2 Blackman pro n = 0, …, N - 1

Výpočet PSD náhodných signálů Pro výpočet PSD hustoty náhodného signálu bychom měli použít více realizací tohoto náhodného signálu a jednotlivá dílčí spektra bychom měli zprůměrovat. To často nebývá možné - nejčastěji se řeší časovou segmentací analyzovaného signálu - Welchova metoda výpočtu PSD. Vstupy: signál s[n] délky N, řád DFT - M, okénko w, krok segmentace m 1. Výpočet počtu oken v signálu délky N (mohou se překrývat) L = celá část ((N - M)/m + 1) 2. Výpočet krátkodobého DFT spektra pro i = 0, …, L - 1, 3. Průměrování krátkodobých výkonových spekter

Spojitá waveletová transformace (CWT) transformované funkce f(t) je funkcí měřítka (scale) s a posunutí . je pro všechna s a  reálná (s  0) množinou funkcí, které tvoří bázi waveletové transformace.  je základní wavelet,  značí komplexně sdružené číslo.