Více náhodných veličin Dvě náhodné proměnné x, y mají rozdělení pravděpodobnosti na intervalech Vx, Vy popsáno funkcemi p(x), q(y) Jaká je pravděpodobnost, že x se nachází v intervalu (x, x+dx) a zároveň y se nachází v intervalu (y, y+dy) ? r(x, y) je rozdělení pravděpodobnosti dvou náhodných proměnných.

Více náhodných veličin Rozdělení pravděpodobnosti dvou náhodných proměnných r(x, y) - funguje podobně jako v případě jedné proměnné: střední hodnota: momenty: centrální momenty: (obecně)

Kovariance, koeficient korelace Jak vypadá rozdělení r(x, y) ? Jsou-li x a y nezávislé, skládá se jejich pravděpodobnost: Obecně (např. nejsou-li nezávislé), vyjadřujeme míru jejich vztahu pomocí kovariance. Kovariance: Koeficient korelace: (ko-variance) antikorelované = 0 nezávislé korelované

Kovariance, koeficient korelace Příklady:

Kovariance, koeficient korelace Příklad: Veličiny x a y jsou lineárně závislé: y = a.x + b

n náhodných veličin Obecný případ pro n náhodných veličin: x1, x2, ..., xn - rozdělení pravděpodobnosti: r(x1, x2, ..., xn) Pro každou veličinu xi lze opět psát: střední hodnotu, momenty, disperzi, ... Součet náhodných veličin: ... a jeho střední hodnota:

Aritmetický průměr - střední hodnota Střední hodnota součtu náhodných veličin: (je rovna součtu středních hodnot) Speciálně: pro n-násobné opakování veličiny x Aritmetický průměr: (Zákon velkých čísel)

Disperze aritmetického průměru A co disperze ? Disperze (variance) součtu náhodných veličin: Jsou-li xi nezávislé, Cov(xi, xj) = 0 Pro aritmetický průměr:

Centrální limitní věta Náhodná veličina x je popsána rozdělením pravděpodobnosti p(x). - střední hodnota: - disperze: Aritmetický průměr při n-násobném opakování veličiny x: - je popsáno rozdělením CLV: S rostoucím n se blíží normálnímu rozdělení Na typu rozdělení p(x) nezáleží!

Centrální limitní věta Náhodná veličina x je popsána rozdělením pravděpodobnosti p(x). - střední hodnota: - disperze: Aritmetický průměr při n-násobném opakování veličiny x: - je popsáno rozdělením CLV: S rostoucím n se blíží normálnímu rozdělení Na typu rozdělení p(x) nezáleží!

Princip maximální věrohodnosti Věrohodnostní funkce náhodné veličiny: Funkce je úměrná pravděpodobnosti realizované hodnoty (pro diskrétní veličiny) hustotě pravděpodobnosti (spojité veličiny). Parametry rozdělení/hustoty pravděpodobnosti neznáme, ale předpokládáme, že tato věrohodnostní funkce je na nich závislá. Hledáme takové hodnoty parametrů rozdělení, ze kterých nejpravděpodobněji vyplývají realizované hodnoty, tj. pro které je hodnota věrohodnostní funkce největší.

Princip max. věrohodnosti - odhad parametrů Příklad: Odhad parametru binomického rozdělení z jediného experimentu. Hledáme tedy odhad pro pravděpodobnost realizace p - známe počet realizací k při N pokusech Hledáme hodnotu , pro niž je pravděpodobnost BN,k maximální. (věrohodnostní funkce) → → střední hodnota odhadu = střední hodnotě veličiny → nevychýlený odhad (nepředpojatý, nestranný, unbiased estimate)

Princip max. věrohodnosti - odhad parametrů Odhad parametru binomického rozdělení z jediného experimentu. střední hodnota odhadu p: disperze odhadu p: Pro posouzení kvality (přesnosti) odhadů zkoumáme jejich střední hodnoty: odhad střední hodnoty: odhad disperze: nevychýlený odhad disperze: → nevychýlený odhad vychýlený odhad

Princip max. věrohodnosti - odhad parametrů Odhad parametru Poissonova rozdělení: odhad střední hodnoty: odhad disperze: Relativní nejistotu odhadu lze zlepšit zvýšením k: Obecně lze zlepšit odhad opakováním experimentu. nevychýlený odhad nevychýlený odhad nevychýlený odhad

Opakování nezávislého experimentu Odhad parametru binomického rozdělení z n-krát nezávisle opakovaného experimentu. Výsledkem opakovaného experimentu jsou hodnoty k1, k2, ..., kn. Pravděpodobnost takového výsledku: Opět z podmínky získáme odhad p: srovn.: (pro 1 experiment) Takový odhad je aritmetickým průměrem odhadů získaných z jediného experimentu. nevychýlený odhad

Opakování nezávislého experimentu Binomické rozdělení: odhad střední hodnoty: odhad disperze: podobně pro Poissonovo rozdělení: nevychýlený odhad vychýlený odhad nevychýlený odhad nevychýlený odhad