Shodnost trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků Matematika 7.ročník ZŠ Shodnost trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků Creation IP&RK

Obsah: Shodnost geometrických útvarů Konstrukční úlohy Shodnost  - věta SSS Shodnost  - věta SUS Shodnost  - věta USU

Shodnost Dva geometrické útvary v rovině nazýváme shodné, právě když je lze přemístit (položit na sebe) tak, že se navzájem kryjí. Přímo shodné útvary jsou ty, které lze navzájem překrýt pouze posouváním či otáčením útvarů. Nepřímo shodné útvary jsou ty, které lze navzájem překrýt pouze s pomocí převrácení jednoho z útvarů (zrcadlové).

Shodnost - příklady ÚSEČKA B C D ÚSEČKA Dvě úsečky jsou shodné, pokud mají stejnou délku. |AB| = |CD| => AB ≅ CD A B V C D ÚHEL Dva úhly jsou shodné, pokud mají stejnou velikost. |∢𝑨𝑽𝑩| = |∢𝑪𝑽𝑫| => ∢AVB ≅ ∢CVD

Shodnost - příklady KRUŽNICE Shodnost je přímá i nepřímá!!! Dvě kružnice jsou shodné, pokud mají stejnou délku poloměru. TROJÚHELNÍK

Shodnost - příklady Zkuste odpovědět na řadu otázek ( ANO x NE)  Všechny přímky jsou shodné. ANO Všechny čtverce jsou shodné. NE Všechny pravé úhly jsou shodné. ANO Všechny kružnice se stejným poloměrem jsou shodné. ANO Všechny tupé úhly jsou shodné. NE Všechny polopřímky jsou shodné. ANO Všechny úsečky jsou shodné. NE Všechny rovnostranné trojúhelníky jsou shodné. NE

Postup při konstrukcích ∆: 1) Pozorně si přečteme a analyzujeme zadání úlohy. 2) Náčrt a Rozbor úlohy, kde si načrtneme a zakreslujeme postup budoucí konstrukce. 3) Postup (popis) konstrukce je přesný postup zapsaný pomocí matematických značek - symbolů, písmen a čísel. 4) Konstrukce – samotné (přesné) narýsování trojúhelníku. 5) Důkaz – ověření, zda sestrojený trojúhelník odpovídá zadání. 6) Diskuze – zjištění možného počtu řešení za daných podmínek (využití především od 8. ročníku)

Shodnost trojúhelníků (věta SSS) Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. K a = k k l B b = l m M m c = m b c k a l A  g b ∆𝑨𝑩𝑪≅∆𝑲𝑳𝑴 (𝒔𝒔𝒔) L C

Sestrojte ∆ ABC, je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. Shodnost trojúhelníků (věta SSS) Sestrojte ∆ ABC, je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. 1. Rozbor: Abychom trojúhelník mohli sestrojit musí platit trojúhelníková nerovnost (trojúhelníkové nerovnosti). A k2 k1 c a + c > b b 45 + 56 > 72 B 101 > 72 a ∆ 𝐥𝐳𝐞 𝐬𝐞𝐬𝐭𝐫𝐨𝐣𝐢𝐭 C

Sestrojte ∆ ABC, je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. Shodnost trojúhelníků (věta SSS) Sestrojte ∆ ABC, je-li: a = 45 mm; b = 72 mm a c = 56 mm. 2. Konstrukce 3. Postup (popis) konstrukce: k2 1. BC; |BC| = 45 mm A 2. k1; k1(B; c = 56 mm) k1 3. k2; k2(C; b = 72 mm) 4. A; A ∈ k1 ∩ k2 b c 5. △ ABC a Vzhledem k tomu, že průsečík v jedné polorovině (určené přímkou BC) je pouze jediný, má úloha (v jedné polorovině) jediné řešení. B C

Shodnost trojúhelníků (věta SUS) Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné. K a = k k l b = l m M m c = m b c k a l A  g b ∆𝑨𝑩𝑪≅∆𝑲𝑳𝑴 (𝒔𝒖𝒔) L C

Shodnost trojúhelníků (věta SUS) Sestrojte  ABC, je-li: a = 53 mm; b = 69 mm a g = 56°. Rozbor: Abychom  mohli sestrojit musí být velikost zadaného úhlu menší než 180°. X g < 180° k A A 56° < 180° ∆ 𝐥𝐳𝐞 𝐬𝐞𝐬𝐭𝐫𝐨𝐣𝐢𝐭 c b Vrchol A vznikne jako průsečík CX a kružnice k (C; b=69 mm).  a B C

Sestrojte  ABC, je-li: a = 53 mm; b = 69 mm a g = 56°. Shodnost trojúhelníků (věta SUS) Sestrojte  ABC, je-li: a = 53 mm; b = 69 mm a g = 56°. 2. Konstrukce 3. Postup (popis) konstrukce: X k 1. BC; |BC| = 53 mm A 2. ∢BCX;| ∢BCX| = 56° 3. k; k(C; b = 69 mm) b 4. A; A ∈ k ∩ ↦CX c 5. △ ABC Vzhledem k tomu, že průsečík v jedné polorovině (určené přímkou BC) je pouze jediný, má úloha (v jedné polorovině) jediné řešení. a B C

Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně Shodnost trojúhelníků (věta USU) Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých, pak jsou shodné. L K m l k M a = k C A g b  c a B b = l g = m ∆𝑨𝑩𝑪≅∆𝑲𝑳𝑴 (𝒖𝒔𝒖)

Shodnost trojúhelníků (věta USU) Sestrojte ∆ ABC je-li: a = 53 mm; b = 69° a g = 56°. Rozbor: Abychom trojúhelník mohli sestrojit musí být součet velikostí zadaných úhlů menší než 180°. b + g < 180° Y X 69° + 56° < 180° A 125° < 180° ∆ 𝐥𝐳𝐞 𝐬𝐞𝐬𝐭𝐫𝐨𝐣𝐢𝐭 c b Vrchol A nalezneme v průsečíku → CX a → BY.  b a B C

Sestrojte ∆ ABC je-li: a = 53 mm; b = 69° a g = 56°. Shodnost trojúhelníků (věta USU) Sestrojte ∆ ABC je-li: a = 53 mm; b = 69° a g = 56°. 2. Konstrukce 3. Postup (popis) konstrukce: Y X 1. BC; |BC| = 53 mm A 2. ∢BCX;| ∢BCX| = 56° 3. ∢CBY;| ∢CBY| = 69° b 4. A; A ∈ ↦BY ∩ ↦CX c 5. △ ABC Vzhledem k tomu, že průsečík v jedné polorovině (určené přímkou BC) je pouze jediný, má úloha (v jedné polorovině) jediné řešení. a B C

Shodnost trojúhelníků K O N E C

Velkým pomocníkem při tvorbě této prezentace byly materiály Vladimíra Mezníka ze ZŠ Beroun. Za jejich vytvoření mu patří velké uznání . http://www.2zsberoun.cz/